1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |1Ax x， 2 |20Bx xx，则(AB ) A | 12xx B |1x x C | 11xx D |12xx 2 （5 分）已知复数z满足(1)|3|i zi，i为虚数单位，则z等于( ) A1i B1i C 11 22 i D 11 22 i
2、3 （5 分）已知向量| 1a ， 1 ( ,) 2 bm，若()()abab，则实数m的值为( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 4 （5 分）设 1.1 log0.5a ， 1.1 log0.6b ， 0.6 1.1c ，则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( ) A6 斤 B7 斤 C9 斤
3、D15 斤 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k ，通过x块 这样的玻璃以后强度为y，则 * 0.9 () x ykxN，那么光线强度减弱到原来的 1 3 以下时，至 少通过这样的玻璃块数为( )（参考数据：1 30.477)g A9 B10 C11 D12 7 （5 分）已知F为抛物线 2 4yx的焦点，过点F且斜率为 1 的直线交抛物线于A，B两 点，则|FAFB的值等于( ) A8 2 B8 C4 2 D4 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 1 A， 2 A， 16 A，图 2
4、是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该 程序框图输出的结果是( ) 第 2 页（共 18 页） A6 B10 C7 D16 9 （5 分）函数 4 ( ) lnx f x x 的大致图象是( ) A B C D 10 （5 分）已知函数 32 11 ( )(0,0) 32 f xaxbxx ab在1x 处取得极小值，则 2 27ab的 最大值为( ) A27 B9 C4 D1 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均与圆 22 650xyx相 切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为( ) A 6 3 B 6 2 C
5、 3 5 5 D 5 2 12 （5 分） 在四面体ABCD中，3ABBDADCD，4ACBC， 用平行于AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为( ) A 4 3 B 9 4 C 9 2 D3 第 3 页（共 18 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 等比数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 4a， 2 2a，3a成等差数列 若 1 1a ， 则 4 S 14 （5 分）设变量x，y满足约束条件 25 0 1 0 1 xy xy y ，则2xy的最小值为 1
6、5（5 分） 一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点， 在几何体ADFBCE 内任取一点，则该点在几何体FAMCD内的概率为 16 （5 分）已知函数 sin ,0 ( ) , xxx f x x x ，( )( )g xf xx则方程( )0g x 有 个实 数根 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）某市
7、在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保 护问题情况的问卷调查， 现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人， 并将这 200 人按年龄 分组： 第 1 组15，25)， 第 2 组25，35)， 第 3 组35，45)， 第 4 组45，55)， 第 5 组55， 65)，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出a的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随机抽 取 3 人进行问卷调查，求第 2 组恰好抽到 2 人的概率 第 4 页
8、（共 18 页） 18 （12 分）已知函数( )2sin()cos 3 f xxxt 的最大值为 1 （1）求t的值； （2）设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 2a ，ABC的面 积为3，且f（A） 3 2 ，求bc的值 19（12 分） 如图， 菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为 2， 它们所在平面互相垂直，FD 平面ABCD，/ /EF平面ABCD （1）求证：平面ACF 平面BDF； （2）若60CBA，求多面体ADFBCE的体积 20 （12 分）已知函数( ) x f xae，( )g xlnxlna，其中a为常数，e是自然对数的底数， 曲线( )yf
9、 x在其与y轴的交点处的切线记作 1 l，曲线( )yg x在其与x轴的交点处的切线 记作 2 l，且 12 / /ll （1）求 1 l， 2 l之间的距离； （2）若存在x使不等式 ( ) xm x f x 成立，求实数m的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长 轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于5， 直线l与椭圆C交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点 （1）求椭圆C的方程； 第 5 页（共 18 页） （2）过点O作直线l的垂线，垂足为D若OAOB，求动点D的轨迹方程 请考
10、生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以坐 标原点为极点，
11、以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为 2 3sin （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设点(1,3)P，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 22 |PAPB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |21| 1()f xxaxaR的一个零点为 1 （1）求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若 12 (0,1) 1 a mn mn ，求证：211mn 第 6 页（共 18 页） 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参
12、考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |1Ax x， 2 |20Bx xx，则(AB ) A | 12xx B |1x x C | 11xx D |12xx 【解答】解： 2 20xx，即为(2)(1)0xx，解的12x ，即 | 12Axx ， 又 |1Ax x， 则 |12ABxx， 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足(1)|3|i zi，i为虚数单位，则z等于( ) A1i B1i
13、 C 11 22 i D 11 22 i 【解答】解：(1)|3|312i zi， 22(1) 1 1(1)(1) i zi iii ， 故选：A 3 （5 分）已知向量| 1a ， 1 ( ,) 2 bm，若()()abab，则实数m的值为( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解： 222 1 1, 4 abm； ()()abab； 222 1 () ()1()0 4 abababm ； 解得 3 2 m 故选：D 4 （5 分）设 1.1 log0.5a ， 1.1 log0.6b ， 0.6 1.1c ，则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 第 7
14、页（共 18 页） 【解答】解：因为对数函数 1.1 logyx在(0,)上单调递增，且0.50.61 所以0ab， 又 0.6 1.11c ， 所以abc， 故选：A 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( ) A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 【解答】解：由每一尺的重量构成等差数列 n a， 1 4a ， 5 2a ， 该金锤共重 5(42) 15 2
15、斤 故选：D 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k ，通过x块 这样的玻璃以后强度为y，则 * 0.9 () x ykxN，那么光线强度减弱到原来的 1 3 以下时，至 少通过这样的玻璃块数为( )（参考数据：1 30.477)g A9 B10 C11 D12 【解答】解：设通过这样的玻璃x块，则由题意得0.9(0) 3 x k kk，化得 1 0.9 3 x ， 两边同时取常用对数，可得 1 0.9 3 xlglg， 因为0.90lg，所以 1 30.477 3 10.37 0.923 10.046 lg lg x lglg ， 则至少通过 11
16、 块玻璃， 故选：C 7 （5 分）已知F为抛物线 2 4yx的焦点，过点F且斜率为 1 的直线交抛物线于A，B两 点，则|FAFB的值等于( ) A8 2 B8 C4 2 D4 【解答】解：(1,0)F，故直线AB的方程为1yx， 第 8 页（共 18 页） 联立方程组 2 4 1 yx yx ，可得 2 610xx ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由根与系数的关系可知 12 6xx， 12 1x x 由抛物线的定义可知： 1 |1FAx， 2 |1FBx， 2 121212 | |()43644 2FAFBxxxxx x 故选：C 8 （5 分）图 1 是某学
17、习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 1 A， 2 A， 16 A，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该 程序框图输出的结果是( ) A6 B10 C7 D16 【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数， 所以由茎叶图知：数学成绩大于等于 90 的人数为 10， 因此输出结果为 10 故选：B 9 （5 分）函数 4 ( ) lnx f x x 的大致图象是( ) A B 第 9 页（共 18 页） C D 【解答】解：函数的定义域为 |0x x ，函数 4 ( ) lnx f x x 为奇函数，排除B
18、，C；又函数 4 ( ) lnx f x x 的零点为1和 1，排除D； 故选：A 10 （5 分）已知函数 32 11 ( )(0,0) 32 f xaxbxx ab在1x 处取得极小值，则 2 27ab的 最大值为( ) A27 B9 C4 D1 【解答】解：由 32 11 ( ) 32 f xaxbxx，可得 2 ( )1fxaxbx， 则 f （1）10ab ，即1ab， 所以 2232 (1)abb bbb ，记g（b） 32 bb ，01b， 则 g （b） 2 32bb ，令 g （b）0，解得 2 0 3 b， 所以g（b）在区间 2 (0, ) 3 上单调递增，在区间 2 (
19、 ,1) 3 上单调递减， 24 ( )( ) 327 max g bg， 此时 2 274ab ， 故选：C 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均与圆 22 650xyx相 切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为( ) A 6 3 B 6 2 C 3 5 5 D 5 2 【解答】解：因为圆 2222 :650(3)4C xyxxy， 由此知道圆心(3,0)C，圆的半径为 2， 又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心 而双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 22 9ab 又双曲线 22 22 :1(0,0) xy
20、Cab ab 的两条渐近线均和圆 22 :650C xyx相切， 而双曲线的渐近线方程为：0 b yxbxay a ， 第 10 页（共 18 页） 22 3 2 b ab 连接得 2 2 5 b a ，可得3c ， 所以双曲线的离心率为： 3 5 5 c a 故选：C 12 （5 分） 在四面体ABCD中，3ABBDADCD，4ACBC， 用平行于AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为( ) A 4 3 B 9 4 C 9 2 D3 【解答】解：直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG， / /HGAB， 同理：/ /EFAB
21、，/ /FGCD，/ /EHCD， / /FGEH，/ /EFHG 四边形EFGH为平行四边形 又ADBD，ACBC的对称性，可知ABCD 四边形EFGH为矩形 设:BF BDBG BCFG CDx，(01)x剟， 3FGx，3(1)HGx， 2 19 9 (1)9(),01 24 EFGH SFG HGxxxx ， 当 1 2 x 时，四边形EFGH的面积有最大值 9 4 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）等比数列 n a的前n项和为 n S，且 1 4a， 2 2a， 3 a成等差数列若 1 1a
22、，则 4 S 15 第 11 页（共 18 页） 【解答】解： 2132 242aaaa， 2 242qqq， 2 440qq， 2q ， 1 1a， 2 2a ， 3 4a ， 4 8a ， 4 124815S 答案：15 14 （5 分）设变量x，y满足约束条件 25 0 1 0 1 xy xy y ，则2xy的最小值为 1 【解答】解：由约束条件 25 0 1 0 1 xy xy y 作出可行域如图： 联立 10 1 xu y ，解得(0,1)A 令2zxy，由图可知，当直线2zxy过点(0,1)A时，z有最小值为 1， 即2xy的最小值为 1， 故答案为：1 15（5 分） 一个多面体
23、的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点， 在几何体ADFBCE 内任取一点，则该点在几何体FAMCD内的概率为 1 2 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：因为 3 11 34 FAMCDAMCD VSDFa ， 3 1 2 ADFBCE Va ， 所以该点在几何体FAMCD内的概率为 3 3 1 1 4 1 2 2 a P a 故答案为： 1 2 16 （5 分）已知函数 sin ,0 ( ) , xxx f x x x ，( )( )g xf xx则方程( )0g x 有 1 个 实数根 【解答】解：当0x时，( )( )sin0g xf xxxxx，得sin1x ，解得 2 x
24、； 当x时，( )( )0g xf xxxx，此时无解 综上：方程( )0g x 有 1 个实数根，且 2 x 故答案为：1 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保 护问题
25、情况的问卷调查， 现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人， 并将这 200 人按年龄 分组： 第 1 组15，25)， 第 2 组25，35)， 第 3 组35，45)， 第 4 组45，55)， 第 5 组55， 65)，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出a的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随机抽 取 3 人进行问卷调查，求第 2 组恰好抽到 2 人的概率 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由10 (0.0100.0150.0300.010)1a，解得0.035a （2）第 1，2 组的人数分别为 20
26、 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法共抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数依次为 2 人，3 人，分别记为 1 a， 2 a， 1 b， 2 b， 3 b； 设从 5 人中随机抽取 3 人，则有 1 (a， 2 a， 1) b， 1 (a， 2 a， 2) b， 1 (a， 2 a， 3) b， 1 (a， 1 b， 2) b， 1 (a， 1 b， 3) b， 1 (a， 2 b， 3) b， 2 (a， 1 b， 2) b， 2 (a， 1 b， 3) b， 2 (a， 2 b， 3) b， 1 (b， 2 b， 3) b 共 10 个基本事件； 其中第 2 组恰好抽到
27、 2 人包含 1 (a， 1 b， 2) b， 1 (a， 1 b， 3) b， 1 (a， 2 b， 3) b， 2 (a， 1 b， 2) b， 2 (a， 1 b， 3) b， 2 (a， 2 b， 3) b共 6 个基本事件； 所以第 2 组抽到 2 人的概率 63 105 P 18 （12 分）已知函数( )2sin()cos 3 f xxxt 的最大值为 1 （1）求t的值； （2）设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 2a ，ABC的面 积为3，且f（A） 3 2 ，求bc的值 【解答】解：（1） 2 11cos23 ( )2sin()cossin cos3
28、cossin23sin(2) 32232 x f xxxtxxxtxtxt ， ( )f x的最大值为 1， 3 0 2 t ，解得 3 2 t ， （2） 3 ( ) 2 f A ， 3 sin(2) 32 A ， 第 14 页（共 18 页） 又ABC是锐角三角形，得0 2 A ， 2 2 333 A 2 33 A ，解得 3 A ， 由三角形面积公式得， 1 sin3 2 SbcA，可得4bc ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA， 可得 2 8()3bcbc， 2 ()20bc，而0bc， 2 5bc 19（12 分） 如图， 菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为 2， 它们
29、所在平面互相垂直，FD 平面ABCD，/ /EF平面ABCD （1）求证：平面ACF 平面BDF； （2）若60CBA，求多面体ADFBCE的体积 【解答】证明： （1）ABCD是菱形，ACBD， FD 平面ABCD，FDAC， BDFDD，AC平面BDF， AC 平面ACF，平面ACF 平面BDF 解： （2）多面体ADFBCE由四棱锥FABCD和三棱锥FBCE组合而成 在四棱锥FABCD中， FD 平面ABCD，高为DF 取BC中点G，连接GE，GD，GA（如图） ，则EG 平面ABCD， 又/ /EF平面ABCD，DFEG是矩形，3DFGE 菱形ABCD的边长为 2，60CBA， 3 2
30、22 3 2 ABCD SBA BC sin ABC 菱形 ， 11 2 332 33 FABCDABCD VSDF 四棱锥菱形 ， 11 233 22 BCE SBC EG ， 第 15 页（共 18 页） 三棱锥FBCE的高即3AG ， 11 331 33 BCEFBCE VSAG 三棱锥 ， 所以多面体ADFBCE的体积为 3 20 （12 分）已知函数( ) x f xae，( )g xlnxlna，其中a为常数，e是自然对数的底数， 曲线( )yf x在其与y轴的交点处的切线记作 1 l，曲线( )yg x在其与x轴的交点处的切线 记作 2 l，且 12 / /ll （1）求 1 l
31、， 2 l之间的距离； （2）若存在x使不等式 ( ) xm x f x 成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）函数( ) x f xae的图象与y轴的交点为(0, )a， 函数( )yg x的图象与x轴的交点为( ,0)a， 而( ) x fxae， 1 ( )g x x ， 12 / /ll，(0)fg（a） ，得 1 a a ， 又0a ，1a ( ) x f xe，( )g xlnx， 切线 1 l过点(0,1)，斜率为 0 1 (0)1kfe；切线 2 l过点(1,0)， 斜率为 2 k g （1）1， 1: 10lxy ， 2: 10lxy ， 两平行切线 1 l， 2 l
32、间的距离 22 |1( 1)| 2 1( 1) d （2）由 ( ) xm x f x ，得 x xm x e ， 故 x mxx e在0x时有解， 第 16 页（共 18 页） 令( ) x h xxx e，则只需( )maxmh x， 当0x 时，0m ； 当0x 时，可求得 1 ( )1() 2 x h xx e x ， 11 22 22 xx xx ，而1 x e ， 1 ()2 2 x x e x ， 故( )120h x ，即( )0h x， 函数( )h x在区间0，)上单调递减， 故( )(0)0 max h xh，即0m ， 实数m的取值范围为(,0) 21 （12 分）已知
33、椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长 轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于5， 直线l与椭圆C交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点 （1）求椭圆C的方程； （2）过点O作直线l的垂线，垂足为D若OAOB，求动点D的轨迹方程 【解答】解： （1）由题意知， 22 2 5 ab ab ，解得 2 1 a b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm， 由 2 2 1 4 ykxm x y 消去y整理得 222 (14)84(1)0kxkmxm， 根据题设有
34、： 22 16(14)0km且 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 4(1) 14 m x x k OAOB，0OA OB ，即 1212 0x xy y， 将 11 ykxm， 22 ykxm代入，化得 22 1212 ()(1)0km xxkx xm， 第 17 页（共 18 页） 把 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 4(1) 14 m x x k 代入整理得： 22 54(1)mk， ODl， 2 2 2 |42 5 | 155 1 mm OD k k ； 当直线l的斜率不存在时，设: l xt，由 2 2 1 4 xt x y ， 得 2 ( ,
35、 1) 4 t A t， 2 ( ,1) 4 t B t OAOB， 222 |OAOBAB，解得 2 5 | | 5 t ， 2 5 | | | 5 ODt 所以动点D的轨迹是以原点O为圆心，半径为 2 5 5 的圆，方程为 22 4 5 xy 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分做，
36、则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以坐 标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为 2 3sin （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设点(1,3)P，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 22 |PAPB 的值 【解答】解： （1）消去参数t得直线l的普通方程为320xy； 因为2 3sin ，所以 2 2 3 sin ， 因为cosx，siny， 所以
37、曲线C的直角坐标方程为 22 2 30xyy （2）由题意判断点(1,3)P是直线l上的点， 设A，B两点所对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得 2 320tt 第 18 页（共 18 页） 其中 2 (3)4 ( 2)110 ， 12 3tt， 1 2 2t t 于是 2 121 2 12 121 21 2 2 ()42|2222 11 | ttt ttt PAPBttt tt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |21| 1()f xxaxaR的一个零点为 1 （1）求不等式(
38、 ) 1f x 的解集； （2）若 12 (0,1) 1 a mn mn ，求证：211mn 【解答】解： （1）因为函数( ) |21| 1()f xxaxaR的一个零点为 1， 所以1a ，又当1a 时，( ) |1|21| 1f xxx， ( ) 1|1|21|2f xxx剟， 上述不等式可化为 1 2 1122 x xx 或 1 1 2 121 2 x xx 或 1 121 2 x xx ， 解得 1 2 0 x x 或 1 1 2 2 x x 或 1 4 3 x x 所以 1 0 2 x剟或 1 1 2 x或 4 1 3 x剟， 所以原不等式的解集为 4 |0 3 xx剟 （2）由（1）知 12 1 1 a mn ，因为0m ，1n ， 所以 1222(1) 2(1)2(1)()50 11 mn mnmn mnnm ， 当且仅当3m 4n 时取等号，所以211mn
