2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 （5 分）已知集合 1A ，0，2， 1B ，1，2，则AB 2 （5 分）已知复数z满足(1)2i zi，其中i是虚数单位，则z的模为 3 （5 分）某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分 依次为 35，35，41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 4

2、 （5 分）根据如图所示的伪代码，输出的a的值为 5 （5 分） 已知等差数列 n a的公差d不为 0， 且 1 a， 2 a， 4 a成等比数列， 则 1 a d 的值为 6 （5 分）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为 7 （5 分）在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAB，则三棱锥 111 ABBC的体积为 8 （5 分）已知函数( )sin()(0) 3 f xx ，若当 6 x 时，函数( )f x取得最大值，则 的最小值为 9 （5 分）已知函数 2 ( )(2)(8) ()f xmxmx mR是奇函数，若对于任意的xR，关于 x的

3、不等式 2 (1)f xf（a）恒成立，则实数a的取值范围是 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线 22 :1C xy的两条渐 近线上，且双曲线C经过线段AB的中点若点A的横坐标为 2，则点B的横坐标为 11 （5 分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解， 例如地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 4.8 1.5.2008lgEM年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四 川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 倍 12 （5 分）已知ABC的面积为 3，且A

4、BAC，若2CDDA，则BD的最小值为 第 2 页（共 22 页） 13 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 1: 8Cxy与圆 22 2: 20Cxyxya 相交于A、B两点若圆 1 C上存在点P，使得ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组 成的集合为 14 （5 分）已知函数 |1| 1|,0 ( ) ,0 1 xx f x x x x ，若关于x的方程 22 ( )2( )10fxaf xa 有 五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作

5、答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，PCAB，D，E分别为BC， AC的中点求证： （1）/ /AB平面PDE； （2）平面PAB 平面PAC 16 （14 分）在ABC中，已知4AC ，3BC ， 1 cos 4 B （1）求sin A的值 （2）求BA BC的值 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为 4， 两条准线间的距离为 8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点 （1）求椭圆E的标准方程： （2）已知图中四边形ABCD是矩形

6、，且4BC ，点M，N分别在边BC，CD上，AM与 BN相交于第一象限内的点P 若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上； 若点P在椭圆E上，证明： BM CN 为定值，并求出该定值 第 3 页（共 22 页） 18 （16 分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形 的旋转， 如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标， 他将边长为a的正三角形ABC绕 其中心O逆时针旋转到三角形 111 ABC，且 2 (0,) 3 顺次连结A， 1 A，B， 1 B，C， 1 C， A，得到六边形徽标 111 AABBCC （1）当 6 时，求六边形徽标的面积；

7、 （2）求六边形微标的周长的最大值 19 （16 分）已知数列 n a满足： 1 1a ，且当2n时， 1 1( 1) () 2 n nn aaR （1）若1，证明：数列 21 n a 是等差数列； （2）若2 设 2 2 3 nn ba，求数列 n b的通项公式； 设 2 1 1 3 n ni n i Ca n ，证明：对于任意的p，*mN，当pm，都有 pm CC 20 （16 分）设函数 1 ( )()() x f xaxa eaR x ，其中e为自然对数的底数 （1）当0a 时，求函数( )f x的单调减区间； （2）已知函数( )f x的导函数( )fx有三个零点 1 x， 2 x，

8、 3123 ()x xxx 求a的取值范围； 第 4 页（共 22 页） 若 1 m， 212 ()m mm是函数( )f x的两个零点，证明： 111 1xmx 【选做题】本题包含【选做题】本题包含 21、22、23 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作 答答.若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）已知a，bR，向量 2

9、 1 是矩阵 2 2 a A b 的属于特征值 3 的一个特征向 量 （1）求矩阵A； （2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(2,2) P ，求点P的坐标 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程 3 2 ( 2 xt t t y 为参数） ，椭 圆C的参数方程为 2cos ( sin x y 为参数） ，求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知a，b，c都是正实数，且 111 1 a

10、bc 证明： （1）27abc； （2） 222 1 bca abc 第第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 24 （ 10 分 ） 如 图 ， 在 直 四 棱 柱 1111 ABCDABC D中 ，/ /ADBC，ABAD， 1 22ABADAABC （1）求二面角 111 CBCD的余弦值； （2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线 1 BC与平面 1 B PQ所成角的正弦值为 4 5 15 ，求AQ的

11、长 第 5 页（共 22 页） 25 （10 分）一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、 白球各 1 只现从口袋中先后有放回地取球2n次(*)nN，且每次取 1 只球 （1）当3n 时，求恰好取到 3 次红球的概率； （2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量 , 0, X X Y X 为奇数 为偶数 ，求Y的数 学期望（用n表示） 第 6 页（共 22 页） 2020 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题

12、小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 （5 分）已知集合 1A ，0，2， 1B ，1，2，则AB 1，2 【解答】解：集合 1A ，0，2， 1B ，1，2， 1AB ，2 故答案为： 1，2 2 （5 分）已知复数z满足(1)2i zi，其中i是虚数单位，则z的模为 2 【解答】解：由(1)2i zi， 得 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii 则复数z的模为：2 故答案为：2 3 （5 分）某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分 依次为 35，35，41，38

13、，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 40 【解答】解：根据题意，5 名党员教师的学习积分依次为 35，35，41，38，51， 则这 5 名党员教师学习积分的平均值 1 (3535413851)40 5 x ， 故答案为：40 4 （5 分）根据如图所示的伪代码，输出的a的值为 11 【解答】 解： 模拟程序语言的运行过程知， 该程序的功能是计算并输出1 123411a 故答案为：11 第 7 页（共 22 页） 5（5 分） 已知等差数列 n a的公差d不为 0， 且 1 a， 2 a， 4 a成等比数列， 则 1 a d 的值为 1 【解答】解：由题意，可知 2 214 aa

14、a， 2 111 ()(3 )ada ad， 即 222 1111 23aa ddaa d 化简，得 1 ad 1 1 a d 故答案为：1 6（5 分） 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次， 则恰好出现 2 次正面向上的概率为 3 8 【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次， 则恰好出现 2 次正面向上的概率为： 22 3 113 ( ) ( ) 228 PC 故答案为： 3 8 7（5分） 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAB， 则三棱锥 111 ABBC的体积为 2 3 3 【解答】解：如图所示， 由正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAB，则 三棱

15、锥 111 ABBC的体积 1 1 11 1 1 2 1 1132 3 22 3343 B A B CA B C VSB B 故答案为： 2 3 3 8 （5 分）已知函数( )sin()(0) 3 f xx ，若当 6 x 时，函数( )f x取得最大值，则 第 8 页（共 22 页） 的最小值为 5 【解答】解：当 6 x 时，( )f x取得最大值， 即()sin()1 663 f ， 即2 632 k ，kZ， 即125k，kZ， 由于0， 所以当0k 时，的最小值为 5 故答案为：5 9 （5 分）已知函数 2 ( )(2)(8) ()f xmxmx mR是奇函数，若对于任意的xR，

16、关于 x的不等式 2 (1)f xf（a）恒成立，则实数a的取值范围是 (,1) 【解答】解：由奇函数的性质可得，()( )fxf x 恒成立， 即 22 (2)(8)(2)(8)mxmxmxmx ， 故20m 即2m ，此时( )6f xx 单调递减的奇函数， 由不等式 2 (1)f xf（a）恒成立，可得 2 1xa 恒成立， 结合二次函数的性质可知， 2 1 1x ， 所以1a 故答案为：(,1) 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线 22 :1C xy的两条渐 近线上， 且双曲线C经过线段AB的中点 若点A的横坐标为 2， 则点B的横坐标为 1 2 【解答

17、】解：设点B的横坐标为m， 因为双曲线 22 :1C xy，所以双曲线的渐近线方程为yx ， 不妨设点A在直线yx上，点B在直线yx 上 则点A坐标为(2,2)，点B坐标为( ,)mm， 所以线段AB的中点坐标为 22 (,) 22 mm ， 因为双曲线C经过线段AB的中点，所以 22 22 ()()1 22 mm ，解得 1 2 m ， 第 9 页（共 22 页） 故答案为： 1 2 11 （5 分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解， 例如地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 4.8 1.5.2008lgEM年 5 月汶川发生里氏

18、 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四 川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 1000 倍 【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 4.8 1.5lgEM 2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量满足： 1 4.81.5 8.0lgE ， 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量满足： 2 4.81.5 6.0lgE 12 3lgElgE，解得： 31 2 101000 E E 故答案为：1000 12（5 分） 已知ABC的面积为 3， 且A B A C， 若2C DD A，

19、则BD的最小值为 4 3 3 【解答】解：如图， 设ABACx，由2CDDA，得 1 3 ADx， 设(0)BAC， 由余弦定理可得： 2 22 9 cos 1 2 3 x xBD xx ，得 222 10 2cos3 3 xxBD， 由ABC的面积为 3，得 2 1 sin3 2 x，即 2 6 sin x ， 联立，得 2 2012cos 3 sin BD ， 2 353cos 4sin BD ， 令 53cos sin y ，则sin53cosy， 第 10 页（共 22 页） sin3cos5y，即 2 9sin()5y，得 2 5 sin() 9y ， 由 2 5 1 9y ，解得4

20、y或4y（舍) 即 2 3 4 4 BD ，得 4 3 3 BD， BD的最小值为 4 3 3 故答案为： 4 3 3 13 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 1: 8Cxy与圆 22 2: 20Cxyxya 相交于A、B两点若圆 1 C上存在点P，使得ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组 成的集合为 8，82 5，82 5 【解答】解：已知圆 22 1: 8Cxy与圆 22 2: 20Cxyxya相交于A、B两点， 则AB所在直线的方程为280xya， 若圆 1 C上存在点P，使得ABP为等腰直角三角形，分 2 种情况讨论： ，P为直角顶点，则AB为圆 1 C的直径， 即直

21、线280xya经过圆 1 C的圆心 1 C，必有80a ，解可得8a ； ，A或B为直角顶点，则点 1 C到直线AB的距离 22 2 22 22 dr， 则有 |8| 2 41 a d ，解可得82 5a 或82 5， 综合可得：a的取值的集合为8，82 5，82 5； 故答案为：8，82 5，82 5 14 （5 分）已知函数 |1| 1|,0 ( ) ,0 1 xx f x x x x ，若关于x的方程 22 ( )2( )10fxaf xa 有 五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( 1,13) 【解答】解：令( )f xt，则 22 ( )21g ttata ，作( )f x的图

22、象如下， 第 11 页（共 22 页） 设( )g t的零点为 1 t， 2 t，由图可知，要满足题意，则需 1 2 01 1 t t ， 故 2 2 2 840 0 10 220 a a a aa ，解得113a 故答案为：( 1,13) 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，PCAB，D，E分别为BC， AC的中点求证： （1）/ /AB平面PDE； （2）平

23、面PAB 平面PAC 【解答】证明： （1）D，E分别为BC，AC的中点， DE是三角形ABC的一条中位线， / /DEAB， AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内， / /AB平面PDE； 第 12 页（共 22 页） （2）PA 平面ABC，AB在平面ABC内， PAAB， 又PCAB，PAPCP，且PA，PC都在平面PAC内， AB平面PAC， AB在平面PAB内， 平面PAB 平面PAC 16 （14 分）在ABC中，已知4AC ，3BC ， 1 cos 4 B （1）求sin A的值 （2）求BA BC的值 【解答】解： （1）如图， 1 cos 4 B ， 15 sin 4 B

24、 ， 又4AC ，3BC ， 根据正弦定理得， 43 sin15 4 A ，解得 3 15 sin 16 A； （2） 3 15 sin 16 A， 11 cos 16 A ， 45117 coscos()cos()sinsincoscos 64648 CABABABAB ， ()BA BCCACB CB 2 CBCA CB 7 943 8 3 2 第 13 页（共 22 页） 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为 4， 两条准线间的距离为 8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点 （1）求椭圆E的标准方程： （2）已知图中四边

25、形ABCD是矩形，且4BC ，点M，N分别在边BC，CD上，AM与 BN相交于第一象限内的点P 若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上； 若点P在椭圆E上，证明： BM CN 为定值，并求出该定值 【解答】解： （1）设椭圆的E的焦距为2c， 则由题意，得 2 24 2 8 c a c ，解得 2 2 8 c a ， 所以 222 4bac， 所以椭圆E的标准方程为 22 1 84 xy ； （2）证明：由已知，得(2 2M，2)，(0,4)N，(2 2B，0)， 直线AM的方程为 2 (2 2) 4 yx，直线BN的方程为24yx ， 联立 2 (2 2) 4 24 yx yx

26、 ，解得 6 2 5 8 5 x y ，即 6 2 ( 5 P， 8) 5 ， 因为 22 6 28 ()( ) 55 1 84 ， 所以点P在椭圆上； 解法一：设 0 (P x， 0) y， 0 (0x ， 0 0)y ， 第 14 页（共 22 页） 则 22 00 1 84 xy ， 22 00 1 (8) 2 yx， 直线AP的方程为 0 0 (2 2) 2 2 y yx x ， 令2 2x ，得 0 0 4 2 2 2 M y y x ， 直线BP的方程 0 0 (2 2) 2 2 y yx x ， 令4y ，得 0 0 4(2 2) 2 2 N x x y ， 所以 2 2 0 0

27、00 22 00 00 1 2(8) 4 22|2 2 | | | 882|2 2 |2 2 4(2 2) M N x yyyyBM CNxxxxx 解法二：设直线AP的方程为 11 (2 2)(0)yk xk， 令2 2x ，得 1 4 2 M yk， 设直线BP的方程为 22 (2 2)(0)ykxk， 令4y ，得 2 4 2 2 N x k ， 所以 12 | 2 | |2 2 | M N yBM k k CNx ， 设 0 (P x， 0) y， 0 (0x ， 0 0)y ，则 22 00 1 84 xy ， 所以 2 2 0 000 12 22 00 00 1 (8) 001 2

28、 8822 22 2 x yyy k k xxxx ， 所以 2 2 BM CN 18 （16 分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形 的旋转， 如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标， 他将边长为a的正三角形ABC绕 其中心O逆时针旋转到三角形 111 ABC，且 2 (0,) 3 顺次连结A， 1 A，B， 1 B，C， 1 C， A，得到六边形徽标 111 AABBCC （1）当 6 时，求六边形徽标的面积； （2）求六边形微标的周长的最大值 第 15 页（共 22 页） 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 因 为 正 三 角 形ABC的 边 长

29、为a， 所 以120AOB， 且 111 3 3 O AO AO BO BO CO Ca， 由旋转图形的性质可知， 11 A AC 1 AAB 11 B BA 1 BBC 11 C CB 1 CC A， 所以 111111111 120AABABBBBCBCCCC AC AA ， 在等腰 1 AOA中，因为 1 6 AOA ，所以 1 5 6 212 AAO ， 所以 1 25 3124 BAO ，因此 1 2 AOB ， 依此类推可得， 11 6 BOBCOC ， 11 2 BOCC OA ， 所以六边形徽标的面积 11111111 3() AOABOABOBCOBCOCAOCAOABOA

30、SSSSSSSSS 22 133 3()(sinsin) 23624 aa ， 故六边形徽标的面积为 2 3 4 a （2）由（1）可知， 111 A AB BC C， 111 ABBCC A， 不妨设 1 A Ax， 1 ABy，则六边形徽标的周长3()Lxy 在 1 AAB中，由余弦定理得， 222 1 1 coscos120 22 xya AAB xy 所以 222 xxyxya，变形得 22 ()xyxya 由基本不等式可知， 2 () 4 xy xy 由解得， 2 3 3 xya ，当且仅当 3 3 xya时取等号 所以六边形徽标的周长 2 3 3() 32 3 3 Lxyaa 故六

31、边形徽标的周长的最大值为2 3a 第 16 页（共 22 页） 19 （16 分）已知数列 n a满足： 1 1a ，且当2n时， 1 1( 1) () 2 n nn aaR （1）若1，证明：数列 21 n a 是等差数列； （2）若2 设 2 2 3 nn ba，求数列 n b的通项公式； 设 2 1 1 3 n ni n i Ca n ，证明：对于任意的p，*mN，当pm，都有 pm CC 【解答】解： （1）当1时，则根据 1 1a ， 1 1( 1) (2) 2 n nn aan ，得 212 221 1 nn nn aa aa ， 所以 2121 1 nn aa ，即 2121 1

32、 nn aa 为常数， 即数列 21 n a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； （2）2时， 1 1a ，且当2n时， 1 1( 1) 2 2 n nn aa ， 当2n时， 221 2122 2 21 nn nn aa aa ，所以 222 42 nn aa ，则 222 22 4() 33 nn aa ， 又因为 2 2 3 nn ba，即有 222 22 4() 33 nnn baa ， 而 121 228 20 333 baa，所以 1 4 n n b b 是常数， 所 以 数 列 n b时 首 项 为 8 3 ， 公 比 为4的 等 比 数 列 ， 则 n b的 通 项 公 式

33、 为 1 82 44 () 33 nn n bnN ； 由知， 2 22 (41) 33 n nn ab， 212 11 (41) 23 n nn aa ， 则 2 212 1111 4(41) ()(41)(4 ) 3 n nnnn ii iii iiii aaann ， 所以 2 1 114(41) () 333 n n ni nn i Can nN nn ， 则 1 12 1 12 44 (41)(1)(41) (3) 461412 33 (1) 33(1) 3 nn n nn nnn nn nnn CC nnn n ， 当1n 时， 21 0CC，则 21 CC； 当2n 时， 32

34、0CC，则 32 CC； 当3n时， 1 0 nn CC ，则 1nn CC ， 故对于任意的p，*mN，当pm，都有 pm CC 第 17 页（共 22 页） 20 （16 分）设函数 1 ( )()() x f xaxa eaR x ，其中e为自然对数的底数 （1）当0a 时，求函数( )f x的单调减区间； （2）已知函数( )f x的导函数( )fx有三个零点 1 x， 2 x， 3123 ()x xxx 求a的取值范围； 若 1 m， 212 ()m mm是函数( )f x的两个零点，证明： 111 1xmx 【解答】 解：（1） 当0a 时，( ) x e f x x ， 其定义域

35、为(，0)(0，)， 2 (1) ( ) x x e fx x 令( )0fx，则1x ，( )f x的单调递减区间为(1,) （2）由 1 ( )() x f xaxa e x ，得 3 2 (1) ( ) x axxe fx x ， 设 3 ( )1g xaxx，则导函数( )fx有三个零点，即函数( )g x有三个非零的零点 又 2 ( )31g xax，若0a，则 2 ( )310g xax ， ( )g x在(,) 上是减函数，( )g x至多有 1 个零点，不符合题意，0a 令( )0g x， 1 3 x a ，则 当 11 (,)(,) 33 x aa 时，( )0g x；当 1

36、1 (,) 33 x aa ，( )0g x， ( )g x在 11 (,) 33aa 上单调递减，在 1 (,) 3a 和 1 (,) 3a 上单调递增， 1 ()0 3 1 ()0 3 g a g a ，即 3 3 11 ()10 33 11 ()10 33 a aa a aa ， 4 0 27 a 又(0)10g ，( )g x在 11 (,) 33aa 上有且只有 1 个非零的零点 当 4 0 27 a时， 21 3aa ， 11 3aa ， 3 2222 ()()110ga aaaa 且 3 111 ()()110ga aaa ， 又函数( )g x的图象是连续不间断的， ( )g

37、x在 1 (,) 3a 和 1 (,) 3a 上各有且只有 1 个非零的零点， 实数a的取值范围是 4 (0,) 27 由 12 ()()0f mf m，得 2 11 2 22 10 10 amam amam ， 第 18 页（共 22 页） 设 2 ( )1(0)p xaxaxa，且 12 ()()0p mp m， 12 1 0m m a 又 12 mm， 12 0mm 1 xm或 2 xm时，( )0p x ； 12 mxm时，( )0p x 由知0a ， 123 0xxx 3 11 10axx ， 2 1 1 1 1ax x ， 1 2 11 11 ax xx ， 2 1111 1 1

38、( )1()0p xaxaxax x ， 2 111 2 1 1 (1)(1)(1)10p xa xa x x ， 111 1xmx成立 【选做题】本题包含【选做题】本题包含 21、22、23 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作 答答.若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）已知a，bR，向量 2 1 是矩阵 2 2 a

39、A b 的属于特征值 3 的一个特征向 量 （1）求矩阵A； （2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(2,2) P ，求点P的坐标 【解答】解： （1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知： 3A， 带入可知： 2 2 a b 22 3 11 ，即 46 43 a b ，解得2a ，1b ， 故矩阵 22 21 A （2）设P为( , )x y， 因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(2,2) P ， 所以 222 212 x y ， 解得1x ，0y ， 故(1,0)P 第 19 页（共 22 页） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分

40、） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程 3 2 ( 2 xt t t y 为参数） ，椭 圆C的参数方程为 2cos ( sin x y 为参数） ，求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值 【解答】解：已知直线l的参数方程 3 2 ( 2 xt t t y 为参数） ，转换为直角坐标方程为 23 20xy， 椭圆C的参数方程为 2cos ( sin x y 为参数） ，设椭圆上的点(2cos ,sin )P到直线l的距离 | 2 2sin()3 2 | | 2cos2sin3 2 | 4 55 d ， 当sin()1 4 时， 5 2 10 5 max d 选修选

41、修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知a，b，c都是正实数，且 111 1 abc 证明： （1）27abc； （2） 222 1 bca abc 【解答】证明： （1）a，b，c都是正实数， 3 1111 3 abcabc ， 又 111 1 abc ， 3 1 31 abc ，即27abc，得证； （2）a，b，c都是正实数， 22 112 2 bb ababa ， 22 112 2 cc bcbcb ， 22 112 2 aa cacac ， 由得， 222 111111 2() bca abcbcaabc ， 第 20 页（共 22 页） 2

42、22 111 1 bca abcabc ，得证 第第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 24 （ 10 分 ） 如 图 ， 在 直 四 棱 柱 1111 ABCDABC D中 ，/ /ADBC，ABAD， 1 22ABADAABC （1）求二面角 111 CBCD的余弦值； （2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线 1 BC与平面 1 B PQ所成角的正弦值为 4 5 15 ，求AQ的长 【解答】解： （1）在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 平面ABCD，AB，AD 平面ABCD， 1 ABAA， 1 ADAA， ABAD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， 1 AA为z轴，建立空间直角坐标系， 1 22ABADAABC (0A，0，0)，(2B，0，0)，(2C，1，0)，(0D，2，0)， 1(0 A，0，2)， 1(2 B，0，2)， 1(2 C，1，2)， 1(0 D，2，2)， 11 ( 2B D ，2，0)， 1 (0BC ，1，2)， 设平面 11 BC