1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年山东省普通高中学业水平等级数学试卷年山东省普通高中学业水平等级数学试卷 一选择题（本题包括一选择题（本题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分1-8 小题只有一个选项符合题意，小题只有一个选项符合题意， 9-12 为多选题）为多选题） 1 （5 分）设集合| 13AxNx 剟， 2 |By yx，xR，则(AB ) A0，1，2，3 B1，2，3 C1，3 D0，3 2 （5 分）已知a、b都是实数，那么“0ab”是“ 11 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5
2、分）设函数( )tan 2 x f x ，若 31 5 1 (log 2),(log) 2 afbf， 0.2 (2)cf，则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 4（5 分） 已知P为等边三角形所在平面内的一个动点， 满足()BPBCR， 若| 2AB ， 则()(AP ABAC ) A2 3 B3 C6 D与有关的数值 5 （5 分）17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作 钻石矿 ”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 三角形，它
3、是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形） 例如， 五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中， 51 2 BC AC 根据这些信息，可得sin234( ) 第 2 页（共 22 页） A1 2 5 4 B 35 8 C 51 4 D 45 8 6 （5 分）已知(1)nx展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， 2 012 (1)n n n xaa xa xa x，若 12 242 n aaa，则 4 ()x x 展开式中常数项( ) A32 B24 C4 D8 7 （5 分）在棱长为 1 的正四面体ABCD中，E是BD上一点
4、，3BEED，过E作该四 面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( ) A 8 B 3 16 C 4 D 5 16 8（5 分） 若定义在R上的函数( )f x的导函数为( )fx， 且满足f ( )( )9 x xf xe，f（3） 3 27e，则不等式 ( ) 9 x f x xe的解集是( ) A(3,) B(,3) C( 3,) D(, 3) 9 （5 分） 已知数列 n a为等差数列， 首项为 1， 公差为 2， 数列 n b为等比数列， 首项为 1， 公比为 2，设 n nb ca， n T为数列 n c的前n项和，则当2019 n T 时，n的取值可以是下面选 项中的( )
5、 A8 B9 C10 D11 10 （5 分）已知函数 32 11 ( ) 32 f xxaxbxc有两个极值点 1 x， 2 x，若 11 ( )f xx，则关 于x的方程 2( ) ( )0fxaf xb的不同实根个数为( ) A2 B3 C4 D5 11 （5 分）如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 AD的中点，Q为 11 AB上 任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( ) 第 3 页（共 22 页） A点P到平面QEF的距离 B直线PQ与平面PEF所成的角 C三棱锥PQEF的体积 DQEF的面积 12（5 分） 函
6、数( )f x图象上不同两点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y处的切线的斜率分别是 A k， B k， |AB为A，B两点间距离， 定义 | ( , ) | AB kk A B AB 为曲线( )f x在点A与点B之间的 “曲率” ， 其中正确命题为( ) A存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数 B 函数 32 ( )1f xxx图象上两点A与B的横坐标分别为 1， 2， 则 “曲率” ( , )3A B C函数 2 ( )(0,)f xaxb abR图象上任意两点A、B之间 的“曲率” ( , ) 2A Ba D设 1 (A x， 1) y， 2 (B
7、 x， 2) y是曲线( ) x f xe上不同两点，且 12 1xx，若( , ) 1tA B 恒成立，则实数t的取值范围是(,1) 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知复数 13 1 i z i ，则复数z的虚部为 14 （5 分）函数( ) alnx f x x 的图象在点 2 (e， 2 ()f e处的切线与直线 4 1 yx e 平行， 则( )f x 的极值点是 15 （5 分）设0x ，0y ，若2xln，2ln，2yln成等差数列，则 19 xy 的最小值为 16（5 分） 过点(0,1)M的直线l交
8、椭圆 22 1 84 xy 于A，B两点，F为椭圆的右焦点，ABF 的周长最大为 ，此时ABF的面积为 三、解答题：本题共六个大题，共三、解答题：本题共六个大题，共 70 分分 17（10 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且()()3abc abcab （）求角C的值； （）若2c ，且ABC为锐角三角形，求ab的取值范围 18 （12 分）已知数列 n a前n项和 n S满足 * 22(), nnn SanNb是等差数列，且 341 2abb， 64 ba （1）求 n a和 n b的通项公式： 第 4 页（共 22 页） （2）求数列 2 ( 1)n n b的前2n
9、项和 2n T 19 （12 分） 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，2224ABCDBCAD，60DAB， AEBE，PAD为正三角形，且平面PAD 平面ABCD （1）求二面角PECD的余弦值； （2） 线段PC上是否存在一点M， 使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 6 ? 8 若存 在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 左顶点( 2,0)M ，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）过(1,0)N的直线AB交椭圆于A、B两点，当MA MB取得最大值时，求MAB面 积 21 （12 分）设函数 2 (
10、 )f xxalnx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当2a 时， 求函数( )f x在 1 , e e 上的最大值和最小值； 若存在 1 x， 2 x， 1 , n xe e ，使得 121 ( )()()() nn f xf xf xf x 成立，求n的最大 值 22 （12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作 为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元） ，网购次数和支付方式等进行了问卷调 査经统计这 100 位居民的网购消费金额均在区间0，30内，按0，5，(5，10，(10， 15，(15，20，(20，25，(25，30分成
11、 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； 第 5 页（共 22 页） （2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷” ，补全下面的22列联表，并判断有 多大把握认为“网购迷与性别有关系” ； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互 不影响统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在
12、下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和 为，求的数学期望 附：观测值公式： 2 2 ()() ()()()() abcd adbc K ab cd ac bd 临界值表： 2 0 ()P Kk 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 6 页（共 22 页） 2020 年山东省普通高中学业水平等级数学试卷年山东省普通高中学业水平等级数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本题包括一选择题（本题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 6
13、0 分分1-8 小题只有一个选项符合题意，小题只有一个选项符合题意， 9-12 为多选题）为多选题） 1 （5 分）设集合| 13AxNx 剟， 2 |By yx，xR，则(AB ) A0，1，2，3 B1，2，3 C1，3 D0，3 【解答】解：因为| 130AxNx剟，1，2，3， 2 |By yx， |0xRy y， 所以0AB ，1，2，3， 故选：A 2 （5 分）已知a、b都是实数，那么“0ab”是“ 11 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 11 ab ，则 11 0 ba abab ， 若0ab，则 11 a
14、b 成立， 当0a ，0b 时，满足 11 ab ，但0ab不成立， 故“0ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件， 故选：A 3 （5 分）设函数( )tan 2 x f x ，若 31 5 1 (log 2),(log) 2 afbf， 0.2 (2)cf，则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 【解答】解：( )f x在(0, )上单调递增； 31 225 111 2, 325 loglog loglog ，且 22 log 5log 31； 22 11 01 53loglog ； 13 5 1 021 2 loglog； 又 0.2 122； 0.2 13 5 1 022
15、 2 loglog； 第 7 页（共 22 页） bac 故选：D 4（5 分） 已知P为等边三角形所在平面内的一个动点， 满足()BPBCR， 若| 2AB ， 则()(AP ABAC ) A2 3 B3 C6 D与有关的数值 【解答】 解：由()BPBCR， 即点P在直线BC上， 取BC的中点为D， 则2ABACAD， 由向量的投影的几何意义有： 22 ()2|2( 3)6AP ABACAD， 故选：C 5 （5 分）17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作 钻石矿 ”黄金三
16、角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形） 例如， 五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中， 51 2 BC AC 根据这些信息，可得sin234( ) 第 8 页（共 22 页） A1 2 5 4 B 35 8 C 51 4 D 45 8 【解答】解：由图可知，72ACB，且 1 51 2 cos72 4 BC AC 2 51 cos1442721 4 cos 则 51 sin234sin(14490 )cos144 4 故选：C 6 （5 分）已知(1)nx
17、展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， 2 012 (1)n n n xaa xa xa x，若 12 242 n aaa，则 4 ()x x 展开式中常数项( ) A32 B24 C4 D8 【解答】 解：(1)nx展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， 则 23 nn CC， 求得5n ， 令0x ，则 0 1a 第 9 页（共 22 页） 令1x ，则 5 012 (1)2421243 n aaaa ， 解得2， 则 4 2 ()x x 的展开式的通项公式为 142 r r TC 4 2rr x ， 令420r，解得2r ， 故 4 2 ()x x 的展开式中
18、的常数项为 2 42 C 2 24 故选：B 7 （5 分）在棱长为 1 的正四面体ABCD中，E是BD上一点，3BEED，过E作该四 面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( ) A 8 B 3 16 C 4 D 5 16 【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示， 可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球， 正四面体ABCD的棱长为 1，正方体的棱长为 2 2 ， 可得外接球半径R满足 1116 2 2222 R ， 6 4 R E是BD上一点，3BEED，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心O到截面的距离等于OE， 16 cos 36 2 O
19、DB， 6 4 OD ， 1 4 DE ， 222 616163 ()( )2 4444316 OE， 则所得截面半径最小值为 633 161616 所得截面面积的最小值为 2 33 () 1616 故选：B 第 10 页（共 22 页） 8（5 分） 若定义在R上的函数( )f x的导函数为( )fx， 且满足f ( )( )9 x xf xe，f（3） 3 27e，则不等式 ( ) 9 x f x xe的解集是( ) A(3,) B(,3) C( 3,) D(, 3) 【解答】解：( )( )9 x fxf xe， ( )( ) 90 x fxf x e ， ( ) 9 0 x f x x
20、 e ， 令 ( ) ( )9 x f x g xx e ，则( )g x在R上单调增函数， f（3） 3 27e，g（3） 3 (3) 270 f e ， ( ) 9 x f x xe等价于 ( ) 90 x f x x e ， 即( )g xg（3） ， 其解集为：(3,) 故选：A 9 （5 分） 已知数列 n a为等差数列， 首项为 1， 公差为 2， 数列 n b为等比数列， 首项为 1， 公比为 2，设 n nb ca， n T为数列 n c的前n项和，则当2019 n T 时，n的取值可以是下面选 项中的( ) A8 B9 C10 D11 【解答】解：由题意，12(1)21 n
21、ann ， 1 2n n b ， 1 2 2121 n nn nb ca ，则数列 n c为递增数列， 其前n项和 123 (21)(21)(21)(21) n n T 第 11 页（共 22 页） 121 2(12 ) (222 )22 12 n nn nnn 当9n 时，10132019 n T ； 当10n 时，20362019 n T n的取值可以是 8，9 故选：AB 10 （5 分）已知函数 32 11 ( ) 32 f xxaxbxc有两个极值点 1 x， 2 x，若 11 ( )f xx，则关 于x的方程 2( ) ( )0fxaf xb的不同实根个数为( ) A2 B3 C4
22、 D5 【解答】解：函数 32 11 ( ) 32 f xxaxbxc 有两个极值点 1 x， 2 x，不妨假设 12 xx， 2 ( )0fxxaxb 有两个不相等的实数根， 2 40ab 由于方程 2( ) ( )0fxaf xb的判别式 2 40ab， 故此方程有两解为 1 ( )f xx或 2 ( )f xx 由于函数( )yf x的图象和直线 1 yx的交点个数 即为方程 1 ( )f xx的解个数； 由于函数( )yf x的图象和直线 2 yx 的交点个数，即为方程 2 ( )f xx的解个数 根据 11 ( )f xx，画出图形，如图所示： 由于函数( )yf x的图象和直线 1
23、 yx的交点个数为 2，函数( )yf x的图象和直线 2 yx 的交点个数为 1， 可得关于x的方程 1 ( )f xx或 2 ( )f xx共有 3 个不同的实数根， 即关于x的方程 2( ) ( )0fxaf xb的不同实根个数为 3 故选：B 第 12 页（共 22 页） 11 （5 分）如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 AD的中点，Q为 11 AB上 任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( ) A点P到平面QEF的距离 B直线PQ与平面PEF所成的角 C三棱锥PQEF的体积 DQEF的面积 【解答】解：A 平面
24、QEF即为对角面 11 ABCD，点P为 11 AD的中点，点P到平面QEF 即到对角面 11 ABCD的距离 1 2 4 a为定值； D点Q到直线CD的距离是定值2a，|EF为定值，QEF的面积 1 2| 2 a EF为 定值； C由AD可知：三棱锥PQEF的体积为定值； B直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可 得出 综上可得：只有B中的值不是定值 故选：B 12（5 分） 函数( )f x图象上不同两点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y处的切线的斜率分别是 A k， B k， |AB为A，B两点间距离， 定义 | ( , ) |
25、AB kk A B AB 为曲线( )f x在点A与点B之间的 “曲率” ， 第 13 页（共 22 页） 其中正确命题为( ) A存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数 B 函数 32 ( )1f xxx图象上两点A与B的横坐标分别为 1， 2， 则 “曲率” ( , )3A B C函数 2 ( )(0,)f xaxb abR图象上任意两点A、B之间 的“曲率” ( , ) 2A Ba D设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y是曲线( ) x f xe上不同两点，且 12 1xx，若( , ) 1tA B 恒成立，则实数t的取值范围是(,1) 【解答】解：
26、对于A，当函数( )(0)f xkxb k时，( )fxk， | ( , )0 | AB kkkk A B ABAB ，故A正确； 对于B，由题意得(1,1)A，(2,5)B， 2 ( )32fxxx， |1 8|7 ( , )3 |1 1617 AB kk A B AB ，故B错误； 对于C，( )2fxax， (A， 12 2222 121112 |22|2 )2 | ()()1() AB kkaxaxa Ba AB xxaxaxaxx ，故C正确； 对于D，由( ) x f xe，得( ) x fxe， 由 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y为曲线 x ye上两点，且
27、12 1xx， 可得(A， 12 12 22 12 | ) | ()() xx AB xx kkee B AB xxee ， 由 12 2 1 11 () xx ee ，可得1t，故D错误 故选：AC 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知复数 13 1 i z i ，则复数z的虚部为 2 【解答】解：由 13(13 )(1)24 12 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 得12zi ， 第 14 页（共 22 页） 复数z的虚部为2 故答案为：2 14 （5 分）函数( ) alnx f x x 的图象在点
28、 2 (e， 2 ()f e处的切线与直线 4 1 yx e 平行， 则( )f x 的极值点是 xe 【解答】解： 2 (1) ( ) alnx fx x ， 故 2 44 1 () a f e ee ，解得：1a ， 故( ) lnx f x x ， 2 1 ( ) lnx fx x ， 令( )0fx，解得：xe， 经检验xe是函数的极值点， 故答案为：xe 15（5 分） 设0x ，0y ， 若2x l n，2ln，2yln成等差数列， 则 19 xy 的最小值为 16 【解答】解：由题意可得22()2lnxy ln， 所以1xy， 则 19199 ()()1010616 yx xy
29、xyxyxy ， 当且仅当 9yx xy 且1xy即 1 4 x ， 3 4 y 时取等号，此时取得最小值 16 故答案为：16 16（5 分） 过点(0,1)M的直线l交椭圆 22 1 84 xy 于A，B两点，F为椭圆的右焦点，ABF 的周长最大为 8 2 ，此时ABF的面积为 【解答】解：设椭圆 22 1 84 xy 右焦点为(2,0)F， 1( 2,0) F ，则 1 4 2AFAF， 11 4 2BFBF， 所以AFBFAB 11 8 2()ABAFBF， 显然 11 AFBFAB， 当且仅当A，B， 1 F共线时等号成立， 第 15 页（共 22 页） 所以当直线l过点 1 F时，
30、ABF的周长取最大值8 2， 此时直线方程为 1 1 2 yx ，即220xy 22 220 28 xy xy ，可得： 2 3420yy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 12 4 3 yy， 12 2 3 y y ， 2 12 422 10 |( )4 333 yy ABF的面积为： 12 104 10 4 233 ， 故答案为：8 2； 4 10 3 三、解答题：本题共六个大题，共三、解答题：本题共六个大题，共 70 分分 17（10 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且()()3abc abcab （）求角C的值； （）若2c ，且ABC
31、为锐角三角形，求ab的取值范围 【解答】解： （）ABC中，()()3abc abcab， 222 abcab， 由余弦定理得， 222 1 cos 22 abc C ab ； 又(0, )C， 3 C ； （）由2c ， 3 C ，根据正弦定理得， 24 3 sinsinsin3 sin 3 abc ABC ， 第 16 页（共 22 页） 4 3 (sinsin) 3 abAB 4 32 sinsin() 33 AA 2 3sin2cosAA 4sin() 6 A ； 又ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 A A ， 解得 62 A ； 2 363 A ， 2 34sin() 4
32、6 A ， 综上，ab的取值范围是(2 3，4 18 （12 分）已知数列 n a前n项和 n S满足 * 22(), nnn SanNb是等差数列，且 341 2abb， 64 ba （1）求 n a和 n b的通项公式： （2）求数列 2 ( 1)n n b的前2n项和 2n T 【解答】解： （1）22 nn Sa， 当1n 时，得 1 2a ， 当2n时， 11 22 nn Sa ， 作差得 1 2 nn aa ，(2)n 所以数列 n a是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以2n n a 设等差数列 n b的公差为d， 第 17 页（共 22 页） 由 341 2abb，
33、64 ba， 所以 1 83db， 1 165db， 所以3d， 1 1b ， 所以32 n bn （2） 222222 212342121234212 ()()()3()3()3() nnnnn Tbbbbbbbbbbbb ， 1234212122 3()3()3()3() nnn bbbbbbbbb 又因为32 n bn， 所以 212 2 2 () 33 13 (2 )2183 2 n n n bb Tnnnn 19 （12 分） 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，2224ABCDBCAD，60DAB， AEBE，PAD为正三角形，且平面PAD 平面ABCD （1）求二面角PECD的
34、余弦值； （2） 线段PC上是否存在一点M， 使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 6 ? 8 若存 在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由 【解答】 解：（1） 设O是AD中点，PAD为正三角形， 则POAD， 平面PAD 平面ABCD， PO 平面ABCD，又2ADAE，60DAB，ADE为正三角形，OEAD， 以O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 第 18 页（共 22 页） 则(0P，0，3)，(0E，3，0)，( 2C ，3，0)， 设平面PEC法向量为(nx，y，) z，( 2PC ，3，3)，(0PE ，3，3)， 则 2320 330
35、 n PCxyz n PEyz ，取1y ，得(0n ，1，1)， 平面EDC的法向量(0m ，0，1)， cosm， 2 2| m n n m n ， 二面角PECD的余弦值为 2 2 （2）设(01)PMPC剟，则( 2 , 3 ,3 )PM ， (12 , 3 , 33 )DMDPPM，(0, 3, 3 )PE， 所以 2 |63|6 |cos,| | 8 6 10104| DM PE DM PE DMPE ， 所以 1 3 或 2 3 ，所以存在点M为线段PC的三等分点 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 左顶点( 2,0)M ，离心率为 2 2 （1
36、）求椭圆的方程； （2）过(1,0)N的直线AB交椭圆于A、B两点，当MA MB取得最大值时，求MAB面 积 【解答】解： （1）由已知2a ， 2 2 c a 可得2c ， 22 2ab，即 2 42b， 2 2b， 第 19 页（共 22 页） 椭圆方程为 22 1 42 xy （2）当直线AB与点x轴重合时，点M与点A重合，此时0MA ， 0MA MB ， 当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为1xty，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 22 1 1 42 xty xy 得 22 (2)230tyty，显然0， 12 2 2 2 t yy t ， 12
37、 2 3 2 y y t ， 2 121212121212 (2)(2)(3)(3)(1)3 ()9MA MBxxy ytytyy yty yt yy， 2 22 32 (1)39 22 t tt tt ， 2 2 93 9 2 t t 2 1515 22t ， MA MB取得最大值为 15 2 ， 此时0t ，直线l为1x ，此时 6 (1,) 2 A， 6 (1,) 2 B， |6AB，| 3MN ， 113 6 | |36 222 SMNAB 21 （12 分）设函数 2 ( )f xxalnx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当2a 时， 求函数( )f x在 1 , e
38、e 上的最大值和最小值； 若存在 1 x， 2 x， 1 , n xe e ，使得 121 ( )()()() nn f xf xf xf x 成立，求n的最大 值 【解答】解： （1）函数 2 ( )f xxalnx，可得 2 2 ( )2 axa fxx xx ， 故当0a时，( ) 0fx，所以函数( )f x在(0,)上单调递增； 第 20 页（共 22 页） 当0a 时，令( )0fx，得 2 2 a x ，所以函数( )f x在 2 (,) 2 a 上单调递增； 令( )0fx，得 2 2 a x ，所以函数( )f x在 2 (0,) 2 a 上单调递减 综上，当0a时，函数(
39、)f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，函数( )f x在 2 (,) 2 a 上单调递增，在 2 (0,) 2 a 上单调递减 （2）当2a 时，由（1）知，函数( )f x在 1 ,1) e 上单调递减，在(1， e上单调递增故 ( )minf xf（1）1， 又因为 2 11 ( )23f ee ， 2 5.292.72f（e） 22 22.825.84e， 故 2 ( )( )2 max f xf ee， 由于， 2 2ef（e） 121 ()( )()() (1) nn f xf xf xf xnf 厖?（1）1n， 故 2 17n e 由于 1 , xe e 时，( )1f x
40、 ， 2 2e ， 取 12345 1xxxxx， 则 2 125 ( )()()52f xf xf xe， 故n的最大值为 6 22 （12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作 为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元） ，网购次数和支付方式等进行了问卷调 査经统计这 100 位居民的网购消费金额均在区间0，30内，按0，5，(5，10，(10， 15，(15，20，(20，25，(25，30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷” ，补
41、全下面的22列联表，并判断有 多大把握认为“网购迷与性别有关系” ； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 第 21 页（共 22 页） （3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互 不影响统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和 为，求的数学期望 附：观测值公式： 2 2 ()() ()()()() abcd adbc
42、K ab cd ac bd 临界值表： 2 0 ()P Kk 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）依题意，因为0.01 50.0250.0450.350.5， 而0.01 50.0250.0450.0650.650.5，所以中位数位于15，20)之间，所以中 位数为 0.50.35 1517.5 0.06 （2）依题意，消费金额在 20 千元以上的频率为：0.0450.03 50.35，所以网购迷” 人数为1000.3535人，非网购迷的人数为1003565人
43、所以补全的列联表如下： 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 第 22 页（共 22 页） 所以 22 2 ()()100(15204520) 6.593 ()()()()60403565 abcd adbc K ab cd ac bd 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系” ； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为 401 802 ，乙使用支付宝的概率为 602 903 ，甲、 乙两人在下周内各自网购 2 次， 两人采用支付宝支付的次数之和所有可能的取值为 0， 1， 2，3，4， 22 121 (0)(1) (1) 2336 P， 12221 22 121221 (1)( )(1)( )(1) 232336 PcC 2212122 22 121111213 (2)( )(1)( )(1)( )( ) 232332336 PCC， 12221 22 121221 (3)( )( )( )(1) 232333 PC
