1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年浙江省高考数学全真模拟试卷（年浙江省高考数学全真模拟试卷（2） （） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集1U ，3，5，7，9，11，1A，3，9B ，11，则()( UA B ) A B1，3 C9，11 D5，7，9，11 2 （4 分）已知在ABC中，4a ，3b ，13c ，则角C的度数为( ) A30 B45 C60 D120 3 （
2、4 分）实数x，y满足的约束条件1 1 y x xy y ，则2zxy的最小值为( ) A5 B3 C3 D 3 2 4 （4 分）用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的 五位数有( ) A12 个 B24 个 C36 个 D72 个 5 （4 分）已知a，bR，则1ba是1 |1|ab 的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6（4分） 已知0(0lgalgba且1a ，0b 且1)b ， 则函数( ) x f xa与函数( )logbg xx 的图象可能是( ) A B C D 7 （4 分）已知随机变量的分
3、布列如表： 第 2 页（共 20 页） 1 0 1 P a 1 3 b 记“函数( )3sin() 2 x f xxR 是偶函数”为事件A，则( ) A 2 ( )2 3 Ea， 1 ( ) 3 P A B 2 ( ) 3 E， 1 ( ) 3 P A C 2 2 () 3 E， 2 ( ) 3 P A D 22 44 ()2 33 Eaa， 2 ( ) 3 P A 8 （4 分）已知点(2, 1)A，P为椭圆 22 :1 43 xy C上的动点，B是圆 22 1:( 1)1Cxy上 的动点，则|PBPA的最大值为( ) A5 B21 C3 D510 9 （4 分）正整数数列 n a满足： 1
4、 ,2 (*) 22,21 n n n k ak akN kak ，则( ) A数列 n a中不可能同时有 1 和 2019 两项 B n a的最小值必定为 1 C当 n a是奇数时， 2nn aa D n a的最小值可能为 2 10 （4 分）在矩形ABCD中，1AB ，2AD ，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 上若APABAD，则的最大值为( ) A3 B2 2 C5 D2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题个小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （4 分）某几何体的三视图（单位：)cm如图所示，则该几何体
5、的体积是 3 cm 第 3 页（共 20 页） 12 （6 分）德国数学家阿甘得在 1806 年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数 的“复平面” ，后来又称“阿甘得平面” 高斯在 1831 年，用实数组( , )a b代表复数abi， 并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化” 若复数z满足 (34 )7i zi，则z对应的点位于第 象限，| z 13 （6 分） 在 6 1 (2)x x 的展开式中， 各项系数的和是 ， 二项式系数最大的项是 14 （6 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率是3，左右焦点分别是 1 F， 2
6、F， 过 2 F且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点， 则其渐近线方程是 ， 12 AFF 15（4 分） 已知实数x，y满足 2222 (1)(1)4xyxy， 则 22 xy的取值范围为 16（4 分） 在三棱锥PABC中， 顶点P在底面的射影为ABC的垂心O， 且PO中点为M， 过AM作平行于BC的截面， 记 1 PAM， 记与底面ABC所成的锐二面角为 2 ， 当 1 取到最大， 2 tan 17 （6 分） 已知函数 2 cos ,|cos | 2 ( ) 2 0,|cos | 2 xx f x x ， 则() 3 f ， 当02x剟时，( ) sinf xx 第 4 页（共 20
7、 页） 的解集是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18已知函数 2 ( )sin22cos1f xxx； （）求函数( )f x的单调减区间； （） 将函数( )f x分别向左、 向右平移(0)m m 个单位相应得到( )g x、( )h x， 且 3 c o s 3 m ， 求函数( )( ),0, 2 yg xh x x 的值域 19已知：正三棱柱 111 ABCABC中， 1 3AA ，2AB ，N为棱AB的中点 （1）求证： 1/ / AC平面 1 NBC （2）求
8、证：平面 1 CNB 平面 11 ABB A （3）求四棱锥 111 CANB A的体积 20已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2 4 n Snn，数列 n b中， 2 1 3 3 a b a 对任意正 整数 1 1 2,( ) 3 n nn nbb （1）求数列 n a的通项公式； （2） 是否存在实数， 使得数列3 n n b是等比数列？若存在， 请求出实数及公比q的 值，若不存在，请说明理由； （3）求证： 12 11 48 n bbb 21已知抛物线 2 :4E xy的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点 （1）求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直 （2）过点F
9、作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值 22已知函数 2 1 ( )22 2 f xaxxlnx，aR 第 5 页（共 20 页） （1）当3a 时，求( )f x的单调增区间； （2）当1a，对于任意 1 x， 2 (0x ，1，都有 1212 |( )()|xxf xf x，求实数a的取值 范围； （3）若函数( )f x的图象始终在直线32yx 的下方，求实数a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年浙江省高考数学全真模拟试卷（年浙江省高考数学全真模拟试卷（2） （） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共
10、一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集1U ，3，5，7，9，11，1A，3，9B ，11，则()( UA B ) A B1，3 C9，11 D5，7，9，11 【解答】解：全集1U ，3，5，7，9，11，1A，3，9B ，11， 则5 UA ，7，9，11， ()9 UA B，11 故选：C 2 （4 分）已知在ABC中，4a ，3b ，13c ，则角C的度数为( ) A30 B45 C60 D120 【解答】解： 222
11、 43( 13)1 cos 24 32 C ，(0 ,180 )C， 60C 故选：C 3 （4 分）实数x，y满足的约束条件1 1 y x xy y ，则2zxy的最小值为( ) A5 B3 C3 D 3 2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由2zxy得2yxz ， 平移直线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点B时，直线的截距最小， 此时z最小， 由 1y yx ，解得 1 1 x y ， 第 7 页（共 20 页） 即( 1, 1)B ，此时1 213z ， 故选：B 4 （4 分）用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的 五位
12、数有( ) A12 个 B24 个 C36 个 D72 个 【解答】解：用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，共有 5 5 120A 个； 三个奇数中仅有两个相邻； 其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻； 当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与 2 和 4 全排列共有 33 33 36AA个； 三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入 2 和 4 形成的三个空内共有 23 23 12AA个； 故符合条件的有120123672； 故选：D 5 （4 分）已知a，bR，则1ba是1 |1|ab 的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
13、 【解答】解：1 |1|1abab ，或2ab 1ba 是1 |1|ab 的充分不必要条件 故选：B 6（4分） 已知0(0lgalgba且1a ，0b 且1)b ， 则函数( ) x f xa与函数( )logbg xx 的图象可能是( ) 第 8 页（共 20 页） A B C D 【解答】解：由0lgalgb可知， 1 b a ，故( ) xx f xab ， 故函数函数( ) x f xa与函数( )logbg xx的单调性相同， 故选：B 7 （4 分）已知随机变量的分布列如表： 1 0 1 P a 1 3 b 记“函数( )3sin() 2 x f xxR 是偶函数”为事件A，则(
14、 ) A 2 ( )2 3 Ea， 1 ( ) 3 P A B 2 ( ) 3 E， 1 ( ) 3 P A C 2 2 () 3 E， 2 ( ) 3 P A D 22 44 ()2 33 Eaa， 2 ( ) 3 P A 【解答】解：由随机变量的分布列知： ( )Eab ， 2 12 ()1 33 Eab ， “函数( )3sin() 2 x f xxR 是偶函数”为事件A， 的所在取值为1，0，1，满足事件A的的可能取值为1，1， P（A） 2 3 故选：C 8 （4 分）已知点(2, 1)A，P为椭圆 22 :1 43 xy C上的动点，B是圆 22 1:( 1)1Cxy上 的动点，则
15、|PBPA的最大值为( ) 第 9 页（共 20 页） A5 B21 C3 D510 【解答】解：如图所示，由椭圆 22 :1 43 xy C，可得：2a ，3b ，1c ，(1,0)F 设椭圆的右焦点为( 1,0)F ， 则| 1 | 12| 5(|)PBPAPFPAaPFPAPFPA ， 22 |( 12)(01)10PFPAAF ，当且仅当三点A，P，F共线取等号 | 5(|) 510PBPAPFPA ， 故选：D 9 （4 分）正整数数列 n a满足： 1 ,2 (*) 22,21 n n n k ak akN kak ，则( ) A数列 n a中不可能同时有 1 和 2019 两项
16、B n a的最小值必定为 1 C当 n a是奇数时， 2nn aa D n a的最小值可能为 2 【解答】解： 1 ,2 (*) 22,21 n n n k ak akN kak ， 若 1 2019a ，可得以后的项分别为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132， 66，33，36，18，9，12，6，3，6，3，其中最小值为 3， 若 1 1a ，可得以后的项分别为：4，2，1，4，2，其中最小值为 1， 故A正确，B错误； 当 n a是奇数时，假设 1 1a ，可得 3 2a ，即有 2nn aa ，故C错误； 第 10 页（共 20 页） 若 n
17、a中含有 2，则 n a中一定含有 1，故D错误 故选：A 10 （4 分）在矩形ABCD中，1AB ，2AD ，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 上若APABAD，则的最大值为( ) A3 B2 2 C5 D2 【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标 系， 则(0,0)A，(1,0)B，(0,2)D，(1,2)C， 动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， 2BC ，1CD ， 22 215BD 11 22 BC CDBD r， 2 5 r ， 圆的方程为 22 4 (1)(2) 5 xy， 设点P的坐标为 2 5 (cos1
18、5 ， 2 5 sin2) 5 ， APABAD， 2 5 (cos1 5 ， 2 5 sin2)(1 5 ，0)(0，2)(，2 )， 2 5 cos1 5 ， 2 5 sin22 5 ， 2 55 cossin2sin()2 55 ，其中tan2， 1 sin() 1剟， 13剟， 故的最大值为 3， 故选：A 第 11 页（共 20 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题个小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （4 分）某几何体的三视图（单位：)cm如图所示，则该几何体的体积是 16 3 3 cm 【解答】解
19、：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为四棱锥体： 如图所示： 所以： 11116 222222 3223 V 故答案为： 16 3 12 （6 分）德国数学家阿甘得在 1806 年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数 的“复平面” ，后来又称“阿甘得平面” 高斯在 1831 年，用实数组( , )a b代表复数abi， 并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化” 若复数z满足 (34 )7i zi，则z对应的点位于第 四 象限，| z 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：由(34 )7i zi，得 7(7)(34 )2525 1 34(34 )(
20、34 )25 iiii zi iii ， z对应的点的坐标为(1, 1)，位于第四象限 |2z 故答案为：四；2 13（6 分） 在 6 1 (2)x x 的展开式中， 各项系数的和是 1 ， 二项式系数最大的项是 【解答】解： 6 1 (2)x x 的展开式中，令1x ，则各项系数的和 6 (21)1 二项式系数最大的项是 333 46 1 (2) ()160Tx x 故答案为：1，160 14 （6 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率是3，左右焦点分别是 1 F， 2 F， 过 2 F且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是 2yx ， 1
21、2 AFF 【解答】解：由题意，3 c a ，得 222 22 3 cab aa ，即2 b a 则双曲线的渐近线方程为2yx ； 如图，不妨设A在第一象限， 由双曲线的通径可知， 2 2 b F A a ， 12 2FFc， 2 222 12 2 113 tan2 223232 32 3 b bbb a AFF cacaaa 12 6 AF F 故答案为：2yx ； 6 第 13 页（共 20 页） 15 （4 分）已知实数x，y满足 2222 (1)(1)4xyxy，则 22 xy的取值范围为 3，5 【解答】解： 2222 (1)(1)4xyxy两边平方可得： 2242222 (1)(1
22、)(1)16xyyxyx， 整 理 442222 22215xyx yyx， 即 22222 ()2215xyyx， 设 22 0txy， 22 ytx ， 则方程整理为： 22 2415ttx，所以 22 4215xtt， 因为 2222 (1)(1)4xyxy， 所以 2222 4(1) (1)(1)xxx， 所以 2 |1|4x ， 所以 2 5x ， 2 420x ， 所以 2 0215 20tt剟，即 2 235 0tt且 2 215 0tt，解得：35t剟 综上所述3t，5， 故答案为：3，5 16（4 分） 在三棱锥PABC中， 顶点P在底面的射影为ABC的垂心O， 且PO中点为
23、M， 过AM作平行于BC的截面， 记 1 PAM， 记与底面ABC所成的锐二面角为 2 ， 当 1 取到最大， 2 tan 2 2 第 14 页（共 20 页） 【解答】解：三棱锥PABC中，顶点P在底面的射影为ABC的垂心O， 且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面， 记 1 PAM，记与底面ABC所成的锐二面角为 2 ， 设1AO ，2POa，设 3 PAO ，则 2 tana， 3 tan2a， 32 132 2 32 tantan2 tantan() 1tantan1242 2 aa aa ， 当且仅当 2 2 a 时，等号成立，此时 2 2 tan 2 当 1 取到最大， 2 2
24、tan 2 故答案为： 2 2 17 （6 分） 已知函数 2 cos ,|cos | 2 ( ) 2 0,|cos | 2 xx f x x ， 则() 3 f 0 ， 当02x剟时，( ) sinf xx 的解集是 【解答】解：函数 2 cos ,|cos | 2 ( ) 2 0,|cos | 2 xx f x x ， 由 12 cos 322 ， 则()0 3 f ； 第 15 页（共 20 页） 由 22 cos(02 ) 22 xx剟，可得 3 44 x 或 57 44 x ， 可得( )0f x ，由sin0x，可得 4 x ； 由 2 cos 2 x或 2 cos(02 ) 2
25、xx厔?，可得0 4 x 剟或 35 44 x 剟或 7 2 4 x 剟， 可得( )cosf xx，由cossinxx，解得 4 x 或 35 44 x 剟， 综上可得( ) sinf xx的解集为 4 ， 5 4 ， 故答案为：0， 4 ， 5 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18已知函数 2 ( )sin22cos1f xxx； （）求函数( )f x的单调减区间； （） 将函数( )f x分别向左、 向右平移(0)m m 个单位相应得到( )g x、( )h x
26、， 且 3 c o s 3 m ， 求函数( )( ),0, 2 yg xh x x 的值域 【解答】解：（）函数 2 22 ( )sin22cos1sin2cos22(sin2cos2 )2sin(2) 224 f xxxxxxxx ， 由 3 222 242 kxk 剟，kZ，解得 5 88 kx k 剟， 可得( )f x的递减区间为 8 k ， 5 8 k ，kZ； （）由题意可得( )2sin(22) 4 g xxm ，( )2sin(22) 4 h xxm ， 由 3 cos 3 m ，可得 2 1 cos(2 )2cos1 3 mm ， 则 2 2 ( )( )2sin(22)2
27、sin(22)2 2sin(2) cos(2 )sin(2) 44434 yg xh xxmxmxmx ， 由0x， 2 ，可得2 44 x ， 5 4 ，即有 2 sin(2) 42 x ，1， 则 2 22 2 sin(2) 343 x ， 2 3 ，即函数y的值域为 2 2 3 ， 2 3 19已知：正三棱柱 111 ABCABC中， 1 3AA ，2AB ，N为棱AB的中点 第 16 页（共 20 页） （1）求证： 1/ / AC平面 1 NBC （2）求证：平面 1 CNB 平面 11 ABB A （3）求四棱锥 111 CANB A的体积 【解答】证明： （1）连接 1 BC，交
28、 1 BC于O点，连接NO，（1 分） 在 1 ABC中，N，O分别是AB， 1 BC中点， 1 / /NOAC，（2 分） NO 平面 1 NCB， 1 AC 平面 1 NCB，（3 分） 1/ / AC平面 1 NCB（4 分） （2）在等边ABC中，N是棱AB中点， CNAB，（5 分） 又在正三棱柱中， 1 BB 平面ABC，CN 平面ABC， 1 BBCN， 1 ABBBB点，AB， 1 BB 平面 11 ABB A，（6 分） CN平面 11 ABB A，（7 分） CN 平面 1 CNB，平面 1 CNB 平面 11 ABB A （8 分） 解： （3）作 111 C DAB于D
29、点， 1 C D是四棱锥 111 CANB A高， 1 | tan603 2 hAB ，（10 分） 底面积 19 323 1 22 S ， 11 1 13 3 32 CANB A VSh （12 分） 第 17 页（共 20 页） 20已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2 4 n Snn，数列 n b中， 2 1 3 3 a b a 对任意正 整数 1 1 2,( ) 3 n nn nbb （1）求数列 n a的通项公式； （2） 是否存在实数， 使得数列3 n n b是等比数列？若存在， 请求出实数及公比q的 值，若不存在，请说明理由； （3）求证： 12 11 48 n bb
30、b 【解答】解： （1）当1n 时， 11 3aS ，（1 分） 当2n时， 22 1 4(1)4(1) nnn aSSnnnn ， 即25 n an，（3 分） 1n 也适合，所以25 n an（4 分） （2）因为对任意正整数2n时， 1 1 ( ) 3 n nn bb 2 1a ， 3 1a ， 2 1 3 1 34 a b a 2 2 1113 ( )() 3436 b ， 3 3 11335 ( ) 336108 b ， 假设存在实数，使得数列3 n n b是等比数列， 则 2 13335 (9)()() 3644 ，解得 1 4 ，（8 分） 所以存在 3 4 ，且公比3q （10
31、 分） （3）因为 2 1a ， 3 1a ，所以 2 1 3 1 34 a b a ， 1 1 31 4 b ， 所以 1 1 31 ( 3) 4 nn n b ，即 1 111 ( 1)( ) 3123 nn n b ，（12 分） 于是 021 12 11 (1) 111111111( 1)1( 1)111( 1)111 123 ( 1)( )( 1)( 1)( )(1)(1) 1 312 33123312 36683683 1 3 nnn n nn n nn bbb （13 分） 当是奇数时： 12 11151 1 (1) 383248 3 n nn bbb ，关于递增， 第 18 页
32、（共 20 页） 得 12 15 424 n bbb （14 分） 当是偶数时： 12 11 (1) 83 n n bbb，关于递增， 得 12 11 98 n bbb（15 分） 综上， 12 11 48 n bbb（16 分） 21已知抛物线 2 :4E xy的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点 （1）求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直 （2）过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值 【解答】解： （1）证明：设过点(0,1)F的直线方程为：1ykx， 由 2 1 4 ykx xy ，得 2 440xkx， 设 1 (A x， 1) y，
33、 2 (C x， 2) y， 则 12 12 4 4 xxk x x ， 2 1 4 yx， 1 2 yx ， 设抛物线E在点A、C两点处的切线的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 121212 111 1 224 k kxxx x ， 故抛物线E在A，C两点处的切线互相垂直 （2）由（1）知 22222 1212 |1()4116164(1)ACkxxx xkkk 同理 2 1 | 4(1)BD k 2 2 11 81 1 2 ABCD SAC BDk k 四边形 2 2 1 8(11)k k 2 2 1 8(22)k k 32， 四边形ABCD的面积的最小值为 32 第 19 页（共 20
34、 页） 22已知函数 2 1 ( )22 2 f xaxxlnx，aR （1）当3a 时，求( )f x的单调增区间； （2）当1a，对于任意 1 x， 2 (0x ，1，都有 1212 |( )()|xxf xf x，求实数a的取值 范围； （3）若函数( )f x的图象始终在直线32yx 的下方，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 当3a 时， 1 ( )32fxx x ， 令( )0fx，解得 1 0 3 x， 函数( )f x的单调递增区间为 1 (0, ) 3 ； （2）当 12 xx时，显然满足，以下讨论 12 xx的情况， 当1a时， 2 11 ()
35、1 1 ( )2 a x aa fxax xx ， 1 (0,1,(0,1x a ， 2 111 ()1 10a x aaa 厖，得到( ) 0fx，即函数( )f x在(0，1上单调递增， 对于任意 1 x， 2 (0x ，1，不妨设 12 xx，则有 12 ()()f xf x， 故 1212 |( )()|xxf xf x可等价为 2211 ()()f xxf xx， 引入新函数 2 1 ( )( )32 2 h xf xxaxxlnx，则 2 131 ( )3 axx h xax xx ， 问题转化为( ) 0h x在(0，1上恒成立，即 2 31x a x 在(0，1上恒成立， 令
36、2 31 ( ) x l x x ，则 3 23 ( ) x l x x ，易知当 2 3 x 时，函数( )l x取得最大值 29 ( ) 34 l， 9 4 a； （3）由题可得 2 1 2232 2 axxlnxx 在(0,)上恒成立， 即 2 1 0 2 axxlnx在(0,)上恒成立， 整理可得 2 1 2 xlnx a x 在(0,)上恒成立， 第 20 页（共 20 页） 令 2 ( ) xlnx h x x ，则 3 12 ( ) xlnx h x x ， 令( )12g xxlnx ，易知函数( )g x在(0,)上单调递减，g（1）0， ( )0h x 的解为1x ， 当01x时，( )0h x，函数( )h x单调递增，当1x 时，( )0h x，函数( )h x单调递减， 1 (1)1 2 ah，即2a
