2020年浙江省名校高考数学仿真试卷（一）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年浙江省名校高考数学仿真试卷（一）年浙江省名校高考数学仿真试卷（一） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 2 |1Ax x，集合 2 |log0Bxx，则AB等于( ) A(0,1) B( 1,0) C( 1,1) D(,1) 2 （4 分）在平面直角坐标系中，经过点(2 2P，2)，渐近线方程为2yx 的双曲线 的标准方程为( ) A 22 1 42 xy B

2、22 1 714 xy C 22 1 36 xy D 22 1 147 yx 3 （4 分）设变量x，y满足约束条件 2 239 0 xy xy x ，则目标函数2zxy的最大值是( ) A2 B3 C5 D7 4 （4 分）若复数 1 2zi， 2 cossin()ziR ，其中i是虚数单位，则 12 |zz的最 大值为( ) A51 B 51 2 C51 D 51 2 5 （4 分） “”是“coscos”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 6 （4 分）函数 | ( ) ln x f x x 的图象大致为( ) A B C D 7 （4 分）本次模拟考试

3、结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科 第 2 页（共 20 页） 试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表 方法共有( ) A72 种 B144 种 C288 种 D360 种 8 （4 分）已知随机变量X的分布列如表： X 1 0 1 P a b c 其中a，b，0c 若X的方差 1 3 DX对所有(0,1)ab都成立，则( ) A 1 3 b B 2 3 b C 1 3 b D 2 3 b 9 （4 分）如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形， 做成一个蛋巢，将体积为 4 3 的鸡蛋（视为球体）放入其

4、中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋 （球体）离蛋巢底面的最短距离为( ) A 21 2 B 21 2 C 61 2 D 31 2 10 （4 分）设，是方程 2 10xx 的两个不等实根，记 * () nn n anN 下列两个命题： 数列 n a的任意一项都是正整数； 数列 n a存在某一项是 5 的倍数( ) A正确，错误 B错误，正确 C都正确 D都错误 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分） 九章算术中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足问 人数、

5、豕价各几何？” 其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100； 若每人出 90，则不多也不少问人数、猪价各多少？” 设x，y分别为人数、猪价，则 第 3 页（共 20 页） x ，y 12 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的表面积是 2 cm，体 积是 3 cm 13 （6 分）已知多项式 2 012 (2) (1) mnm n m n xxaa xa xax 满足 0 4a ， 1 16a ， 则mn ， 012m n aaaa 14 （6 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为ABC的面积，若 2 coscaB， 22 1

6、1 24 Sac，则ABC的形状为 ，C的大小为 15 （4 分）已知0x ，1y ，且1xy，则 22 3 1 xy xy 的最小值为 16（4 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 43 xy C的左、 右焦点， 点P在椭圆C上移动时， 12 PFF 的内心I的轨迹方程为 17 （4 分）如图，在ABC中，已知1ABAC，120A，E，F分别是边AB，AC 上的点，且AEAB，AFAC，其中，(0,1)，且41，若线段EF，BC的 中点分别为M，N，则|MN的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分

7、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （14 分） 已知( )sin()(0f xAxA，04，|) 4 过点 1 (0, ) 2 ， 且当 6 x 时， 函数( )f x取得最大值 1 第 4 页（共 20 页） （1）将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度得到函数( )g x，求函数( )g x的表达式； （2）在（1）的条件下，函数 2 ( )( )( )2cos1h xf xg xx，求( )h x在0， 2 上的值域 19（15 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面是梯形/ /BCAD，1ABBCCD，2AD ， 13 2 PB ，3PAPC （）证明；ACBP；

8、（）求直线AD与平面APC所成角的正弦值 20 （15 分）已如各项均为正数的数列 n a的前项和为 n S，且 1 1a ， 1nnn aSS ， (*,2)nNn （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：当2n时， 123 11113 232 n aaana 21 （15 分）已知直线: l ykxm与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 恰有一个公共点P，l与圆 222 xya相交于A，B两点 （）求k与m的关系式； （）点Q与点P关于坐标原点O对称若当 1 2 k 时，QAB的面积取到最大值 2 a，求 椭圆的离心率 22 （15 分）已知 2 ( )2 (2)(1)f

9、xln xx，( )(1)g xk x 第 5 页（共 20 页） （）求( )f x的单调区间； （）当2k 时，求证：对于1x ，( )( )f xg x恒成立； （）若存在 0 1x ，使得当 0 ( 1,)xx 时，恒有( )( )f xg x成立，试求k的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年浙江省名校高考数学仿真试卷（一）年浙江省名校高考数学仿真试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要

10、求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 2 |1Ax x，集合 2 |log0Bxx，则AB等于( ) A(0,1) B( 1,0) C( 1,1) D(,1) 【解答】解：根据题意：集合 | 11Axx ，集合 |01Bxx (0,1)AB 故选：A 2 （4 分）在平面直角坐标系中，经过点(2 2P，2)，渐近线方程为2yx 的双曲线 的标准方程为( ) A 22 1 42 xy B 22 1 714 xy C 22 1 36 xy D 22 1 147 yx 【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为2yx ，设双曲线方程为： 22 12 xy a， 双曲线经过点(2 2P，

11、2)， 则有81a ， 解可得7a ， 则此时双曲线的方程为： 22 1 714 xy ， 故选：B 3 （4 分）设变量x，y满足约束条件 2 239 0 xy xy x ，则目标函数2zxy的最大值是( ) A2 B3 C5 D7 【解答】解：作出变量x，y满足约束条件 2 239 0 xy xy x 对应的平面区域如图： （阴影部分） 由2zxy得2yxz ， 第 7 页（共 20 页） 平移直线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点A时，直线2yxz 的截距最大， 此时z最大 由 2 239 xy xy ，解得，即(3, 1)A， 代入目标函数2zxy得2315z 即目标函数2

12、zxy的最大值为 5 故选：C 4 （4 分）若复数 1 2zi， 2 cossin()ziR ，其中i是虚数单位，则 12 |zz的最 大值为( ) A51 B 51 2 C51 D 51 2 【解答】解： 1 2zi， 2 cossin()ziR ， 2 z对应的点在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上， 1 2zi对应的点为 1 Z (2,1) 如图： 第 8 页（共 20 页） 则 12 |zz的最大值为51 故选：C 5 （4 分） “”是“coscos”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 【解答】解：若“”则“coscos”的逆否命题是： 若“cos

13、cos”则“” ， coscos， 又当coscos时，2k ，kZ， coscos推不出， “coscos”是“”的必要非充分条件， 即“”是“coscos”的必要不充分条件 故选：B 6 （4 分）函数 | ( ) ln x f x x 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解： | ( ) ln x f x x ， 函数定义域为(，0)(0，)， 第 9 页（共 20 页） | ()( ) lnxln x fxf x xx ， 函数( )f x为奇函数，图象关于原点对称， 故排除B、C， 当01x时，0lnx ， | ( )0 ln x f x x ，(0,1)x 故排除D 故选：

14、A 7 （4 分）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科 试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表 方法共有( ) A72 种 B144 种 C288 种 D360 种 【解答】解：先排语文、英语、化学、生物，且化学排在生物前面，此时形成了 4 个空（不 包含最后的一个空） ，再将数学与物理插入到其中两个空中， 故有 4 24 4 144 2 A A 种， 故选：B 8 （4 分）已知随机变量X的分布列如表： X 1 0 1 P a b c 其中a，b，0c 若X的方差 1 3 DX对所有(0,1)ab都成立，则( ) A

15、 1 3 b B 2 3 b C 1 3 b D 2 3 b 【解答】 解： 依题意，1abc， 故1ca b ， 当( 0 , 1)ab时， 故12EXacba ， 22222 ()()()()44()()4 1DXE XEXaccaaccaacacacacaba 2 (1)(1)4 1bbaba， 令1bt，则(0,1)t 2 1 4 () 3 DXtta ta ，(0, )at， 第 10 页（共 20 页） 故 22 1 440 3 aattt ，在(0, )at时恒成立， 当 2 t a 时DX有最小值，故 22 1 4( )40 223 tt ttt ， 故 1 3 t，即 1 1

16、 3 b ，所以 2 3 b， 故选：D 9 （4 分）如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形， 做成一个蛋巢，将体积为 4 3 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋 （球体）离蛋巢底面的最短距离为( ) A 21 2 B 21 2 C 61 2 D 31 2 【解答】解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为 1 的正方形， 故经过 4 个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1， 由于鸡蛋的体积为 4 3 ，故鸡蛋（球)的半径为 1， 故球心到截面圆的距离为 13 1 42 ， 而垂直折起的 4 个小直角三角形的高为 1 2 ， 故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为

17、 31 2 ， 故选：D 10 （4 分）设，是方程 2 10xx 的两个不等实根，记 * () nn n anN 下列两个命题： 数列 n a的任意一项都是正整数； 数列 n a存在某一项是 5 的倍数( ) 第 11 页（共 20 页） A正确，错误 B错误，正确 C都正确 D都错误 【解答】解：，是方程 2 10xx 的两个不等实根， 15 2 x ，不妨取 15 2 ， 15 2 1，1 1515 ()() 22 nn n a ， 此数列为Lucas数列 数列 n a的任意一项都是正整数； 利用数学归纳法证明：( )1i n 时， 1 1a，为正整数 ( )ii假设 * n kN时命题

18、成立则 kk k a为正整数 则1nk时， 111111 1 ()()() kkkkkkkkkk k a 为 正整数， 即1nk时命题成立 综上可得：命题对于任意正整数都成立 利用二项式定理证明： 122122 15151 ()()15( 5)( 5)15( 5)( 1)( 5) 222 nnnnnnn nnnnnnn n a 痧痧痧 2 2 1 1 155 2 k k nn n 痧 n a为正整数，但是不是 5 的倍数 因此正确，错误 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分

19、分 11 （6 分） 九章算术中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足问 人数、豕价各几何？” 其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100； 若每人出 90，则不多也不少问人数、猪价各多少？” 设x，y分别为人数、猪价，则 x 10 ，y 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：由题意可列方程组 100100 90 yx yx ， 解得： 10 900 x y ， 故答案为：10 900 12 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的表面积是 204 5 2 cm，体积是 3 cm 【解答】解：由三视图作出原图形如图所示， 原几何体为

20、底面是边长为2cm、4cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱； 其表面积为 222 1 2244222242204 5 2 Scm ； 体积为 3 1 4228 2 Vcm 故答案为：204 5，8 13 （6 分）已知多项式 2 012 (2) (1) mnm n m n xxaa xa xax 满足 0 4a ， 1 16a ， 则mn 5 ， 012m n aaaa 第 13 页（共 20 页） 【解答】解： 2 012 (2) (1) mnm n m n xxaa xa xax 满足 0 4a ， 1 16a ， 令0x ，得 0 24 m a ， 又由二项展开式的通项公式得 1111

21、 212116 mmnnmmnn mnmn 痧痧， 所以2m ，3n ， 则5mn； 令1x ，得 23 012 3272 m n aaaa 故答案为：5，72 14 （6 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为ABC的面积，若 2 coscaB， 22 11 24 Sac，则ABC的形状为 等腰三角形 ，C的大小为 【解答】解：由2 coscaB， 利 用 正 弦 定 理 可 得 ：sin()2sincosABAB， 由 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得 ： sincoscossin2sincosABABAB， sin()0AB， 又AB， 0AB， 故ABC的形状

22、为等腰三角形， S为ABC的面积， 22 11 24 Sac， 222222 1111111 sin 2444444 abCaacabc， 222 sin 2 abc C ab ， 又由余弦定理可得 222 cos 2 abc C ab ， sincosCC，即tan1C ， (0, )C， 4 C 故答案为：等腰三角形， 4 15 （4 分）已知0x ，1y ，且1xy，则 22 3 1 xy xy 的最小值为 23 【解答】解： 第 14 页（共 20 页） 222 33(1)2(1)131311 3113(1)1 (1)2()(1)(31)(42 3)23 111121212 xyyyy

23、x xxyxy xyxyxyxyxyxy ， 当且仅当 3(1) 1 yx xy 时，即33x ，32y 时取等号， 故 22 3 1 xy xy 最小值为23， 故答案为：23 16（4 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 43 xy C的左、 右焦点， 点P在椭圆C上移动时， 12 PFF 的内心I的轨迹方程为 22 31(0)xyy 【解答】解：椭圆 22 :1 43 xy C的2a ，3b ，1c ， 延长PI交x轴于M， 设 0 (P x， 0) y，( , )I x y，( ,0)M m， 连接 1 IF， 2 IF， 设 1 PFs， 2 PFt，则24sta ， 1

24、 1MFm， 2 1MFm ， 由内角平分线定理可得 1 1 sm tm ，2 112 PIstst IMmm ， 可得 0 2 12 xm x ， 00 123 yy y ， 由椭圆的焦半径公式可得： 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 x m m x ，即 0 1 4 mx， 可得 0 2xx， 0 3yy， 代入椭圆可得 22 49 1 43 xy ， 即有 22 31(0)xyy， 故答案为： 22 31(0)xyy 第 15 页（共 20 页） 17 （4 分）如图，在ABC中，已知1ABAC，120A，E，F分别是边AB，AC 上的点，且AEAB，AFAC，其中，(0,1)，且

25、41，若线段EF，BC的 中点分别为M，N，则|MN的最小值为 7 7 【解答】解：连接AM、AN， 等腰三角形ABC中，1ABAC，120A ， 1 | |cos120 2 AB ACABAC AM是AEF的中线， 11 ()() 22 AMAEAFABAC 同理，可得 1 () 2 ANABAC， 由此可得 11 (1)(1) 22 MNANAMABAC 2 22222 1111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2242444 MNAB AC ， 41，可得14， 代入上式得 2 222 112131 (4 )4 (1)(1) 44424 MN ，(0,

26、1)， 当 1 7 时， 2 MN的最小值为 1 7 ，此时|MN的最小值为 7 7 故答案为： 7 7 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （14 分） 已知( )sin()(0f xAxA，04，|) 4 过点 1 (0, ) 2 ， 且当 6 x 时， 第 16 页（共 20 页） 函数( )f x取得最大值 1 （1）将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度得到函数( )g x，求函数( )g x的表达式； （2）在（1）的条件下，函数 2 ( )( )(

27、)2cos1h xf xg xx，求( )h x在0， 2 上的值域 【解答】 解：（1） 由题意可得1A ， 由函数过 1 (0, ) 2 ， 得 1 sin 2 ， 结合范围,: 26 可得， 由()12, 6662 fkkZ ， 04， 可得：2，可得：( )sin(2) 6 f xx ， ( )()sin(2) 66 g xf xx （2）( )3sin2cos22sin(2) 6 h xxxx ， 由于 71 0,:2,:21 266626 xxsinx 可得可得剟剟， 可得：1 2sin(2) 2 6 x 剟， ( )h x在0, 2 上的值域为 1，2 19（15 分） 如图，

28、四棱锥PABCD的底面是梯形/ /BCAD，1ABBCCD，2AD ， 13 2 PB ，3PAPC （）证明；ACBP； （）求直线AD与平面APC所成角的正弦值 【解答】( ) I证明：取AC的中点M，连接PM，BM， ABBC，PAPC， ACBM，ACPM，又BMPMM， AC平面PBM， 第 17 页（共 20 页） BP 平面PBM， ACBP ()II解：底面ABCD是梯形/ /BCAD，1ABBCCD，2AD ， 120ABC， 1ABBC，3AC， 1 2 BM ，ACCD， 又ACBM，/ /BMCD 3PAPC， 13 22 CMAC， 3 2 PM， 13 2 PB ，

29、 222 1 cos 22 PMBMBP BMP PM BM ，120PMB， 以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向， 以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系Mxyz，如图所示： 则(0A， 3 2 ，0)，(0C， 3 2 ，0)， 3 ( 4 P ，0， 3 3) 4 ，( 1D ， 3 2 ，0)， ( 1AD ，3，0)，(0AC ，3，0)， 3 ( 4 AP ， 3 2 ， 3 3) 4 ， 设平面ACP的法向量为(nx，y，) z，则 0 0 n AC n AP ，即 30 333 3 0 424 y xyz ， 令3x 得( 3n ，0，1)， cosn， 3

30、 4| n AD AD nAD ， 直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cosn， 3 | 4 AD 20 （15 分）已如各项均为正数的数列 n a的前项和为 n S，且 1 1a ， 1nnn aSS ， 第 18 页（共 20 页） (*,2)nNn （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：当2n时， 123 11113 232 n aaana 【解答】解： （1）由 1nnn aSS ，得 11nnnn SSSS ，即 1 1(2) nn SSn ， 所以数列 n S是以 11 1Sa为首项，以 1 为公差的等差数列， 所以1(1) 1 n Snn ，即 2 n Sn， 当2n

31、时， 1 21 nnn aSSn ， 当1n 时， 11 1aS，也满足上式，所以21 n an； （2）证明：当2n时， 11111111 () (21)(22)2 (1)21 n nannnnn nnn ， 所以 123 1111111111313 1(1) 2322231222 n aaanannn 21 （15 分）已知直线: l ykxm与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 恰有一个公共点P，l与圆 222 xya相交于A，B两点 （）求k与m的关系式； （）点Q与点P关于坐标原点O对称若当 1 2 k 时，QAB的面积取到最大值 2 a，求 椭圆的离心率 【解答】 解：(

32、 ) I根据题意， 直线l与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 恰有一个公共点P， 即相切； 则有 22 22 1 ykxm xy ab ，得 22222222 ()2()0a kbxa kmxamb， 则 22222222 (2)4()()0a kma kb amb， 第 19 页（共 20 页） 化简整理，得 2222 ma kb； （）因点Q与点P关于坐标原点O对称，故QAB的面积是OAB的面积的两倍 所以当 1 2 k 时，OAB的面积取到最大值 2 2 a ， 此时OAOB，从而原点O到直线l的距离 2 a d ， 又 2 | 1 m d k ，故 22 2 12 ma k

33、 ； 再由( ) I，得 2222 2 12 a kba k ，则 2 2 2 2 1 b k a 又 1 2 k ，故 2 2 2 21 1 4 b k a ，即 2 2 3 8 b a ， 从而 22 2 22 5 1 8 cb e aa ，即 10 4 e 22 （15 分）已知 2 ( )2 (2)(1)f xln xx，( )(1)g xk x （）求( )f x的单调区间； （）当2k 时，求证：对于1x ，( )( )f xg x恒成立； （）若存在 0 1x ，使得当 0 ( 1,)xx 时，恒有( )( )f xg x成立，试求k的取值范围 【解答】解： （） 2 22(31

34、) ( )2(1)(2) 22 xx fxxx xx ， 当( )0fx 时，所以 2 310xx ，解得2x ， 当( )0fx时，解得 35 2 x ， 所以( )f x 单调增区间为 35 ( 2,) 2 ，递减区间是 35 ( 2 ，)； （）当2k 时，( )2(1)g xx 令 2 ( )( )( )2 (2)(1)2(1)H xf xg xln xxx 2 286 ( ) 2 xx H x x ， 令( )0H x，即 2 2860xx，解得1x 或3x （舍) 当1x 时，( )0H x，( )H x在( 1,) 上单调递减 ( )( 1)0 max HxH， 对于1x ，(

35、)0H x ，即( )( )f xg x 第 20 页（共 20 页） （）由()II知，当2k 时，f ( ) xg ( ) x恒成立， 即对于“1x ，2 ln (2)(1)22xx (1)x，不存在满足条件的 0 x； 当2k 时，对于“1x ，10x ，此时 2 (1)xk (1)x 2 ln (2)(1)22xx (1)xk (1)x， 即f ( ) xg ( ) x恒成立，不存在满足条件的 0 x； 令 2 ( )( )( )2 (2)(1)(1)h xf xg xln xxk x， 2 2(6)(22) ( ) 2 xkxk h x x ， 当2k 时，令t 2 ( )2(6)(22)xxkxk ， 可知t ( ) x与( )h x符号相同， 当 0 (xx，)时，t ( )0x ，( )0h x，h ( ) x单调递减， 当 0 ( 1,)xx 时，h ( ) xh ( 1)0，即f ( ) xg ( )0x 恒成立， 综上，k的取值范围为(,2)