1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年重庆市北碚区高考数学一诊试卷年重庆市北碚区高考数学一诊试卷 一、选择题一、选择题 1 （3 分）要得到函数2sinyx的图象，只需将函数2cos(2) 4 yx 的图象上所有的点 ( ) A横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 8 个单位长度 B横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4 个单位长度 C横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4 个单位长度 D横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 8 个单位长度 2 （3 分）已知集合0A，1， |Bz zxy，
2、xA，yA，则B的子集个数为( ) A3 B4 C7 D8 3 （3 分）已知角的终边经过点( 5, 12)P ，则 3 sin() 2 的值等于( ) A 5 13 B 12 13 C 5 13 D12 13 4 （3 分）函数 2 ( )2log | x f xx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 5 （3 分）若 2 ( )(21)f xln xaxa 在区间(,1)上递减，则实数a的取值范围为( ) A1，2) B1，2 C1，) D2，) 6 （3 分）若 4 cos 5 ，是第三象限的角，则 1tan 2 ( 1tan 2 ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 7 （3
3、分）已知函数( )( x e f xmx e x 为自然对数的底数） ，若( )0f x 在(0,)上恒成立， 则实数m的取值范围是( ) A(,2) B 2 (,) 4 e C(, ) e D 2 ( 4 e ，) 8 （3 分）非零向量a，b满足；| |aba，()0a ab，则ab与b夹角的大小为( 第 2 页（共 19 页） ) A135 B120 C60 D45 9 （3 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题： 将一线段AB分为两线段AC，CB， 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的 比例中项，即满足 51 0.618 2 ACBC
4、 ABAC 后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为 线段AB的黄金分割点在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内 任取一点M，则点M落在APQ内的概率为( ) A 51 2 B52 C 51 4 D 52 2 10 （3 分）在ABC中，36ABAC，tan3A ，点D，E分别是边AB，AC上的 点，且3DE ，记ADE，四边形BCED的面积分别为 1 S， 2 S，则 1 2 S S 的最大值为( ) A 1 4 B 3 8 C 1 3 D 5 12 11（3 分） 设( )f x是定义在R上的函数， 其导函数为( )fx， 若()() 1fx f x ，(0)2018f
5、， 则不等式( )2017 xx e f xe（其中e为自然对数的底数）的解集为( ) A(，0)(0，) B(，0)(2017，) C(2017,) D(0,) 12 （3 分）已知ABC是边长为 2 的正三角形，点P为平面内一点，且|3CP ，则 ()PC PAPB的取值范围是( ) A0，12 B0， 3 2 C0，6 D0，3 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知实数0a ，0b ，2是8a与2b的等比中项，则 12 ab 的最小值是 第 3 页（共 19 页） 14 （3 分）已知函数 2 2 |log|,0 ( ) 2 ,0 x x f x xx x ，关于x的方程( )()
6、f xm mR有四个不同的实 数解 1 x， 2 x， 3 x， 4 x则 1234 x x x x的取值范围为 15 （3 分）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，60CBA，45ABD， CDxOAyBC，则xy 16 （3 分）已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点， 且平面PBC 平面ABC，3BC ，2 2PB ，5PC ，则三棱锥PABC外接球的表 面积为 三、解答题三、解答题 17等比数列 n a的各项均为正数， 5 2a， 4 a， 6 4a成等差数列，且满足 2 43 4aa （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 1 (1)(1)
7、n n nn a b aa ， * nN，求数列 n b的前n项和 n S 18如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA 平面ABCD，E，F分别是AB，PD的 中点，且PAAD （）求证：/ /AF平面PEC； （）求证：平面PEC 平面PCD 19 已 知 直 线l的 参 数 方 程 为 1 ( 32 xt t yt 为 参 数 ） ， 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为 第 4 页（共 19 页） 2 sin16cos0，直线l与曲线C交于A，B两点，点(1,3)P， （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）求 11 |PAPB 的值 20已知函数 2 ( )3sin22
8、sinf xxx （）求函数( )f x的单调增区间； （） 将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位， 再向下平移 1 个单位后得到函数( )g x的图象， 当 6 x ， 3 时，求函数( )g x的值域 21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 (0) xy l ab ab 的焦距为 2，离心率为 2 2 ， 椭圆的右顶点为A （1）求该椭圆的方程： （2）过点( 2D，2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的 斜率之和为定值 22 如图所示， 直角梯形ABCD中，/ /ADBC，ADAB，22ABBCAD， 四边形EDCF 为矩形，3CF ，平面E
9、DCF 平面ABCD （）求证：/ /DF平面ABE； （）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值 （）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 3 4 ，若存 在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 第 6 页（共 19 页） 2020 年重庆市北碚区高考数学一诊试卷年重庆市北碚区高考数学一诊试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）要得到函数2sinyx的图象，只需将函数2cos(2) 4 yx 的图象上所有的点 ( ) A横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 8 个
10、单位长度 B横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4 个单位长度 C横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4 个单位长度 D横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 8 个单位长度 【解答】 解： 要得到函数2sin2cos() 2 yxx 的图象， 只需将函数2cos(2) 4 yx 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍， 再再向右平行移动 4 个单位长度，即可， 故选：B 2 （3 分）已知集合0A，1， |Bz zxy，xA，yA，则B的子集个数为( ) A3 B4 C7 D8 【解答】解：由题意可知， 集合 |
11、Bz zxy，xA，0yA，1，2， 则B的子集个数为： 3 28个， 故选：D 3 （3 分）已知角的终边经过点( 5, 12)P ，则 3 sin() 2 的值等于( ) A 5 13 B 12 13 C 5 13 D12 13 【解答】解：角的终边经过点( 5, 12)P ，则 355 sin()cos 21325144 ， 故选：C 4 （3 分）函数 2 ( )2log | x f xx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：函数 2 ( )2log | x f xx的零点个数， 即为函数2xy 的图象和函数logy 2| |x的图象的交点
12、个数 如图所示： 数形结合可得， 函数2xy 的图象和函数logy 2| |x的图象的交点个数为 2， 故选：C 5 （3 分）若 2 ( )(21)f xln xaxa 在区间(,1)上递减，则实数a的取值范围为( ) A1，2) B1，2 C1，) D2，) 【解答】解： 2 ( )(21)f xln xaxa 在区间(,1)上递减， 故函数 2 21yxaxa 在区间(,1)上递减且0y ， 1a ，且1210aa ，求得12a剟， 则实数a的取值范围 为1，2， 故选：B 6 （3 分）若 4 cos 5 ，是第三象限的角，则 1tan 2 ( 1tan 2 ) A 1 2 B 1 2
13、 C2 D2 【解答】解：由 4 cos 5 ，是第三象限的角， 第 8 页（共 19 页） 可得 3 sin 5 ， 则 3 11tancossin 1sin1 5222 4 cos2 1tancossin 2225 ， 应选A 7 （3 分）已知函数( )( x e f xmx e x 为自然对数的底数） ，若( )0f x 在(0,)上恒成立， 则实数m的取值范围是( ) A(,2) B 2 (,) 4 e C(, ) e D 2 ( 4 e ，) 【解答】解：若( )0f x 在(0,)上恒成立， 则 2 x e m x 在(0,)恒成立， 令 2 ( ) x e h x x ，(0)
14、x ， 3 (2) ( ) x ex h x x ， 令( )0h x，解得：2x ， 令( )0h x，解得：02x， 故( )h x在(0,2)递减，在(2,)递增， 故( )minh xh（2） 2 4 e ， 故 2 4 e m ， 故选：B 8 （3 分）非零向量a，b满足；| |aba，()0a ab，则ab与b夹角的大小为( ) A135 B120 C60 D45 【解答】解：根据题意，设aOA，bOB，则abOAOBBA， 若| |aba，()0a ab，即| |BAOA，且OABA， 则OAB为等腰直角三角形， 则ab与b的夹角为18045135 ， 故选：A 第 9 页（共
15、 19 页） 9 （3 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题： 将一线段AB分为两线段AC，CB， 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的 比例中项，即满足 51 0.618 2 ACBC ABAC 后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为 线段AB的黄金分割点在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内 任取一点M，则点M落在APQ内的概率为( ) A 51 2 B52 C 51 4 D 52 2 【解答】解：设BCa， 由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点， 所以 51 2 BQa ， 51 2 CPa ， 所以( 52)PQ
16、BQCPBCa， :( 52) :52 APQABC SSPQ BCa a ， 由几何概型中的面积型可得： 在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为52 APQ ABC S S ， 故选：B 10 （3 分）在ABC中，36ABAC，tan3A ，点D，E分别是边AB，AC上的 第 10 页（共 19 页） 点，且3DE ，记ADE，四边形BCED的面积分别为 1 S， 2 S，则 1 2 S S 的最大值为( ) A 1 4 B 3 8 C 1 3 D 5 12 【解答】解：由题意可知120A ， 1 26sin1203 3 2 ABC S 设(06)ADxx ，(02)AEyy ，
17、 由余弦定理得 222 2cos120DExyxy，即 22 9xyxy， 从而9 23xyxyxy，即3xy当且仅当3xy时等号成立 1 133 3 sin 244 SxyAxy， 1 2 S S 的最大值为 3 3 1 4 33 3 3 3 4 故选：C 11（3 分） 设( )f x是定义在R上的函数， 其导函数为( )fx， 若()() 1fx f x ，(0)2018f， 则不等式( )2017 xx e f xe（其中e为自然对数的底数）的解集为( ) A(，0)(0，) B(，0)(2017，) C(2017,) D(0,) 【解答】解：令( )( ) xx g xe f xe，
18、则( )( )( )( ( )( )1) xxxx g xe f xe fxeef xfx， ( )( )1f xfx，( )( )10f xfx ， ( )0g x ，( )g x在R上为单调递增函数， (0)(0)12018 12017gf 原不等式可化为( )(0)g xg， 根据( )g x的单调性得0x 第 11 页（共 19 页） 故选：D 12 （3 分）已知ABC是边长为 2 的正三角形，点P为平面内一点，且|3CP ，则 ()PC PAPB的取值范围是( ) A0，12 B0， 3 2 C0，6 D0，3 【解答】解：()()(2)PC PAPBPC PCCAPCCBPCPC
19、CACB 2 2| cos66cosPCPCCACB 1 cos1 剟 0 66cos12剟 故选：A 二、填空题二、填空题 13（3 分） 已知实数0a ，0b ，2是8a与2b的等比中项， 则 12 ab 的最小值是 52 6 【解答】解：实数0a ，0b ，2是8a与2b的等比中项，8 22 ab ， 3 22 a b ，解 得31ab 则 121266 (3)()55252 6 baba ab abababa b ，当且仅当662ba时 取等号 故答案为：52 6 14 （3 分）已知函数 2 2 |log|,0 ( ) 2 ,0 x x f x xx x ，关于x的方程( )()f
20、xm mR有四个不同的实 数解 1 x， 2 x， 3 x， 4 x则 1234 x x x x的取值范围为 (0,1) 【解答】解：作函数 2 2 |log|,0 ( ) 2 ,0 x x f x xx x 的图象如下， 结合图象可知， 2324 loglogxx， 故 34 1x x ， 令 2 20xx得，0x 或2x ， 令 2 21xx得，1x ； 第 12 页（共 19 页） 故 12 (0,1)x x ， 故 1234 (0,1)x x x x 故答案为：(0,1) 15 （3 分）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，60CBA，45ABD， CDxOAyBC，则xy 3
21、 3 【解答】解：如图过C作CEOB于E，因为AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点， 60CBA所以E为OB的中点，连结OD，则 3 2 CEOD， 2 3 CDCOODAOBCCE， 1 2 CECBBEBCOA 21 () 23 CDAOBCBCOA 12 (1)(1) 33 OABC 又CDxOAyBC， 123 (1)(1) 333 xy 故答案为： 3 3 第 13 页（共 19 页） 16 （3 分）已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点， 且平面PBC 平面ABC，3BC ，2 2PB ，5PC ，则三棱锥PABC外接球的表 面积为 10 【解答】解
22、：因为O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC 平面ABC，过O作面ABC的垂 线l，则垂线l一定在面PBC内， 根据球的性质，球心一定在垂线l， 球心 1 O一定在面PBC内，即球心 1 O也是PBC外接圆的圆心， 在PBC中，由余弦定理得 222 2 cos 22 PBBCPC B BP BC ， 2 sin 2 B， 由正弦定理得：2 sin PC R B ，解得 10 2 R ， 三棱锥PABC外接球的表面积为 2 410sR， 故答案为：10 三、解答题三、解答题 17等比数列 n a的各项均为正数， 5 2a， 4 a， 6 4a成等差数列，且满足 2 43 4aa （）求数列 n a
23、的通项公式； 第 14 页（共 19 页） （）设 1 1 (1)(1) n n nn a b aa ， * nN，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】 解：( ) I设等比数列 n a的公比为0q ， 5 2a，4a， 6 4a成等差数列， 456 224aaa， 2 44 22(2)aa qq， 化为： 2 210qq ，0q ，解得 1 2 q 又满足 2 43 4aa， 322 11 4()a qa q，化为： 1 14a q，解得 1 1 2 a * 1 ( ) () 2 n n anN， 1 11 1 211 () (1)(1)(21)(21)2121 n n n nnnn
24、nn a II b aa ， * nN， 数列 n b的前n项和 2231 111111 ()()() 212121212121 n nn S 1 11 122 1 2121 n nn ， * nN 18如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA 平面ABCD，E，F分别是AB，PD的 中点，且PAAD （）求证：/ /AF平面PEC； （）求证：平面PEC 平面PCD 【解答】证明： （）取PC的中点G，连结FG、EG， FG为CDP的中位线，/ /FGCD， 1 2 FGCD 四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，/ /AECD， 1 2 AECD FGAE，/ /FGAE，四边形AEGF是
25、平行四边形， / /AFEG又EG 平面PCE，AF 平面PCE， / /AF平面PCE； 第 15 页（共 19 页） （）PAADAFPD PA 平面ABCD，PACD， 又因为CDAB，APABA，CD面APD CDAF，且PDCDD，AF面PDC 由（）得/ /EGAF，EG面PDC 又EG 平面PCE，平面PEC 平面PCD 19 已 知 直 线l的 参 数 方 程 为 1 ( 32 xt t yt 为 参 数 ） ， 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为 2 sin16cos0，直线l与曲线C交于A，B两点，点(1,3)P， （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）求
26、 11 |PAPB 的值 【解答】解： （1）直线l的参数方程为 1 ( 32 xt t yt 为参数） ，消去参数，可得直线l的普通 方程21yx， 曲线C的极坐标方程为 2 sin16cos0，即 22 sin16 cos，曲线C的直角坐标方 程为 2 16yx， （2）直线的参数方程改写为 5 1 5 2 5 3 5 xt yt ， 代入 2 16yx， 2 44 5 70 55 tt， 12 5tt， 1 2 35 4 t t ， 第 16 页（共 19 页） 12 1 2 118 10 | |35 tt PAPBt t 20已知函数 2 ( )3sin22sinf xxx （）求函数
27、( )f x的单调增区间； （） 将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位， 再向下平移 1 个单位后得到函数( )g x的图象， 当 6 x ， 3 时，求函数( )g x的值域 【解答】解： 2 31 ( )3sin22sin3sin21cos22(sin2cos2 )12sin(2)1 226 f xxxxxxxx （）由222 262 kxk 剟，解得, 63 kxkkZ 剟 函数( )f x的单调增区间为, 63 kk ，kZ； （）将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位， 得2sin2()12sin21 126 yxx 再向下平移 1 个单位后得到函数( )2sin2
28、g xx 由 6 x ， 3 ，得 2 2, 33 x ， 3 sin2,1 2 x ， 则函数( )g x的值域为3,2 21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 (0) xy l ab ab 的焦距为 2，离心率为 2 2 ， 椭圆的右顶点为A （1）求该椭圆的方程： （2）过点( 2D，2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的 斜率之和为定值 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意可知：椭圆 22 22 xy l ab (0)ab，焦点在x轴上，21c ，1c ， 椭圆的离心率 2 2 c e a ，则2a ， 222 1bac， 则椭圆
29、的标准方程： 2 2 1 2 x y； （2）证明：设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，( 2A，0)， 由题意PQ的方程：(2)2yk x， 则 2 2 (2)2 1 2 yk x x y ，整理得： 2222 (21)(4 24 2 )4820kxkk xkk， 由韦达定理可知： 2 12 2 4 24 2 21 kk xx k ， 2 12 2 482 21 kk x x k ， 则 1212 2 2 22 2 ()2 22 2 21 k yyk xxk k ， 则 12122112 121212 2() 222()2 APAQ yyy xy xyy kk xxx
30、xxx ， 由 122112211212 2 4 (2)2 (2)22( 22)() 21 k y xy xk xxk xxkx xkxx k ， 22 122112 22 1212 22 42 22 2 2 2() 2121 1 2()24824 24 2 22 2121 APAQ kk y xy xyy kk kk x xxxkkkk kk ， 直线AP，AQ的斜率之和为定值 1 22 如图所示， 直角梯形ABCD中，/ /ADBC，ADAB，22ABBCAD， 四边形EDCF 为矩形，3CF ，平面EDCF 平面ABCD （）求证：/ /DF平面ABE； 第 18 页（共 19 页） （
31、）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值 （）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 3 4 ，若存 在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由 【解答】解： （）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间 直角坐标系， 如图所示； 则(1A，0，0)，(1B，2，0)，(0E，0，3)，( 1F ，2，3)， ( 1BE ，2，3)，(0AB ，2，0)， 设平面ABE的法向量为(nx，y，) z， 230 20 xyz y ， 不妨设( 3n ，0，1)， 又( 1DF ，2，3)， 3030DF n ， DFn； 又DF 平面ABE
32、， / /DF平面ABE； （）( 1BE ，2，3)，( 2BF ，0，3)， 设平面BEF的法向量为(mx，y，) z， 230 230 xyz xz ， 第 19 页（共 19 页） 则(2 3m ，3，4)， 105 31 |cos| | |31231 m n mn ， 平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是 5 31 31 ； （）设( 1DPDF，2，3)( ，2，3 )，0，1； (P，2，3 )，(1BP ，22，3 )， 又平面ABE的法向量为( 3n ，0，1)， sin|cosBP，|n | | BP n BPn 222 |3(1)3 | (1)(22)( 3 )2 3 4 ， 化简得 2 8610 ， 解得 1 2 或 1 4 ； 当 1 2 时， 3 ( 2 BP ，1， 3) 2 ，| 2BP； 当 1 4 时， 5 ( 4 BP ， 3 2 ， 3) 4 ，| 2BP； 综上，| 2BP
