1、1 第三章第三章 空间向量与立体几何单元小结空间向量与立体几何单元小结 核心速填 1空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 得 ab. (2)共线向量定理的推论： 若OA ， OB 不共线， 则 P， A， B 三点共线的充要条件是OP OA OB ，且 1. (3)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条 件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得 pxayb. (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，则 P，A，B， C 四点共面的充要
2、条件是OP xOA yOB zOC (其中 xyz1) (5)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底 2空间向量运算的坐标表示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) (1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)， ab(a1b1，a2b2，a3b3)， a(a1，a2，a3)， a ba1b1a2b2a3b3. (2)重要结论： ababa1b1，a2b2，a3b3(R)； aba b0a1b1a2b2a3b30. 3模、夹角和距离公式 (1)设 a(a1，a2，
3、a3)，b(b1，b2，b3)，则 |a| a a a21a22a23； cosa，b a b |a|b| a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23. (2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 dAB|AB | (a2a1)2(b2b1)2(c2c1)2. 4空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量 v(a2，b2，c2)， 则 luvu v0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2， b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR) 2 (2)设
4、直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 u，v，则 lmabakb，kR； lmaba b0； laua u0； lauaku，kR； uvukv，kR； uvu v0. 5空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1， l2的方向向量分别为 m1， m2， 则 l1与 l2的夹角 满足 cos |cos m1， m2|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 的夹角 满 足 sin |cosm，n|. (3)求二面角的大小： ()如图 3- 1，AB，CD 是二面角 - l- 的两个半平面 ， 内与棱 l 垂直的直线，则二
5、 面角的大小 AB ，CD 图 3- 1 ()如图 3- 1，n1，n2分别是二面角 - l- 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角 的大小 满足 cos cosn1，n2或cosn1，n2 体系构建 3 题型探究 类型一、空间向量的基本概念及运算类型一、空间向量的基本概念及运算 例 1、如图 3- 2，在四棱锥 S- ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A、B、 C、D 的距离都等于 2.给出以下结论： 图 3- 2 SA SBSCSD0； SA SBSCSD0； SA SBSCSD0； SA SBSC SD； SA SC0. 其中正确结论的序号是_ 【答案】 【解
6、析】容易推出SA SBSCSDBADC 0，所以正确；又因为底面 ABCD 是 边长为 1 的正方形，SASBSCSD2，所以SA SB2 2 cosASB，SC SD2 2 cos CSD，而ASBCSD，于是SA SBSC SD，因此正确，其余三个都不正确，故正确结 论的序号是. 规律方法 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向 量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解 题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量 2空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a b|a| |b| cosa，b及
7、其变式 cosa，b a b |a| |b| 是两个重要公式 (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2|a|2，a 在 b 上的投影a b |b| |a| cos 等 跟踪训练 4 1.如图 3- 3，已知 ABCD- ABCD是平行六面体 设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCCB对角线 BC上的3 4分点，设MN AB AD AA ，则 _. 图 3- 3 【答案】3 2 连接 BD，则 M 为 BD 的中点， MN MB BN 1 2DB 3 4BC 1 2(DA AB )3 4(BC CC )1 2(AD AB )3 4(AD AA ) 1 2
8、AB 1 4AD 3 4AA . 1 2， 1 4， 3 4. 3 2. 类型二、空间向量的坐标运算类型二、空间向量的坐标运算 例 2、(1)已知 a(2,3，4)，b(4，3，2)，b1 2x2a，则 x( ) A(0,3，6) B(0,6，20) C(0,6，6) D(6,6，6) (2)已知向量 a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bC 求向量 a，b，c； 求 ac 与 bc 所成角的余弦值. 【答案】(1)B 由 b1 2x2a 得 x4a2b， 又 4a2b4(2,3，4)2(4，3，2)(0,6，20)， 所以 x(0,6，20) (2)向量 a(x,1,
9、2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，且 ab，bc， x 1 1 y 2 2 3y2z0 ，解得 x1， y1， z1， 5 向量 a(1,1,2)，b(1，1，2)，c(3,1,1) ac(2,2,3)，bc(4,0，1)， (ac) (bc)2 42 03 (1)5， |ac|222232 17，|bc| 4202(1)2 17， ac 与 bc 所成角的余弦值为(ac) (bc) |ac|bc| 5 17. 规律方法 熟记空间向量的坐标运算公式 设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a b(x1 x2，y1 y2，z1 z2). (2)数量积运算：a
10、 bx1x2y1y2z1z2. (3)向量夹角：cosa，b x1x2y1y2z1z2 x21y21z21x22y22z22. (4)向量长度： 设 M1(x1， y1， z1)， M2(x2， y2， z2)， 则|M1M2 |(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. 跟踪训练 2在空间直角坐标系中，已知点 A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC 一定 是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【答案】 C AB (3,4， 8)， AC(5,1， 7)， BC (2， 3,
11、1)， |AB | 3242(8)2 89，|AC | 5212(7)2 75，|BC |22(3)21 14，|AC |2|BC |2|AB |2， ABC 一定为直角三角形 类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题 例 3、 在四棱锥 P- ABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面 ABCD，PAADCD 2AB2，M 为 PC 的中点 (1)求证：BM平面 PAD； (2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN平面 PBD？若存在，确定 N 的位置；若不存 在，说明理由 思路探究 (1)证明向量BM 垂直于平面 PAD 的一个法向量即可； (2)
12、假设存在点 N，设出其坐标，利用MN BD ，MN PB ，列方程求其坐标即可 【答案】以 A 为原点，以 AB，AD，AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如 图所示，则 B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)， 6 (1)证明：BM (0,1,1)， 平面 PAD 的一个法向量为 n(1,0,0)， BM n0，即BM n， 又 BM平面 PAD，BM平面 PAD (2)BD (1,2,0)，PB (1,0，2)， 假设平面 PAD 内存在一点 N，使 MN平面 PBD 设 N(0，y，z)，则MN (1，y1，z1)， 从
13、而 MNBD，MNPB， MN BD 0， MN PB 0， 即 12(y1)0， 12(z1)0， y1 2， z1 2， N 0，1 2， 1 2 ， 在平面PAD内存在一点N 0，1 2， 1 2 ， 使MN平面PBD 规律方法 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行： 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量 (2)线线垂直： 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直 (3)线面平行： 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示 (4)
14、线面垂直： 7 证明直线的方向向量与平面的法向量平行； 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 (5)面面平行： 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； 转化为线面平行、线线平行问题 (6)面面垂直： 证明两个平面的法向量互相垂直； 转化为线面垂直、线线垂直问题 跟踪训练 3如图 3- 4，长方体 ABCD- A1B1C1D1中，点 M，N 分别在 BB1，DD1上，且 AMA1B， ANA1D 图 3- 4 (1)求证：A1C平面 AMN. (2)当 AB2， AD2， A1A3 时， 问在线段 AA1上是否存在一点 P 使得 C1P平面 AMN， 若存在，试确定 P 的位置. 【答案
15、】(1)证明：因为 CB平面 AA1B1B，AM平面 AA1B1B， 所以 CBAM，又因为 AMA1B，A1BCBB， 所以 AM平面 A1BC， 所以 A1CAM， 同理可证 A1CAN， 又 AMANA， 所以 A1C平面 AMN. (2)以 C 为原点，CD 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC1所在直线为 z 轴，建 立空间直角坐标系， 8 因为 AB2，AD2，A1A3， 所以 C(0,0,0)，A1(2,2,3)，C1(0,0,3)，CA1 (2,2,3)， 由(1)知 CA1平面 AMN， 故平面 AMN 的一个法向量为CA1 (2,2,3) 设线段 AA1上存在
16、一点 P(2,2，t)，使得 C1P平面 AMN，则C1P (2,2，t3)， 因为 C1P平面 AMN， 所以C1P CA1 443t90， 解得 t1 3.所以 P 2，2，1 3 ， 所以线段 AA1上存在一点 P 2，2，1 3 ，使得 C1P平面 AMN. 类型四、利用空间向量求空间角类型四、利用空间向量求空间角 例 4、如图 3- 5，在等腰直角三角形 ABC 中，A90 ，BC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，CDBE 2，O 为 BC 的中点将ADE 沿 DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥 ABCDE，其中 AO 3. (1) (2) 图 3- 5 (1)证明：AO平
17、面 BCDE； (2)求二面角 ACD- B 的平面角的余弦值 思路探究 (1)利用勾股定理可证 AOOD，AOOE，从而证得 AO平面 BCDE； (2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角 【答案】(1)证明：由题意，得 OC3，AC3 2，AD2 2. 如图，连接 OD，OE，在OCD 中，由余弦定理，得 OD OC2CD22OC CDcos 45 5. 由翻折不变性，知 AD2 2， 所以 AO2OD2AD2，所以 AOOD 同理可证 AOOE. 9 又因为 ODOEO，所以 AO平面 BCDE. (2)如图，过点 O 作 OHCD 交 CD 的延长线
18、于点 H，连接 AH. 因为 AO平面 BCDE，OHCD， 所以 AHCD 所以AHO 为二面角 ACD- B 的平面角 结合图(1)可知，H 为 AC 的中点，故 OH3 2 2 ， 从而 AH OH2AO2 30 2 . 所以 cosAHOOH AH 15 5 . 所以二面角 ACD- B 的平面角的余弦值为 15 5 . 规律方法 用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为 0 90，需找到两异面直线的方向 向量，借助方向向量所成角求解 (2)直线与平面所成的角：要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 n 与直线 a 的方向向量 a 夹角
19、的余弦 cosn，a ，易知 n，a 2或者 2n，a (3)二面角：如图 3- 6，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量 n1与 n2，则平面 与 所成的角跟法向量 n1与 n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是 钝角 图 3- 6 跟踪训练 4在如图 3- 7 所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线 10 图 3- 7 (1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC (2)已知 EFFB1 2AC2 3，ABBC，求二面角 F- BC- A 的余弦值. 【答案】 (1)证明：设 CF 的中
20、点为 I，连接 GI，HI. 在CEF 中，因为点 G，I 分别是 CE，CF 的中点， 所以 GIEF. 又 EFOB，所以 GIOB 在CFB 中，因为 H，I 分别是 FB，CF 的中点， 所以 HIBC 又 HIGII，BCOBB， 所以平面 GHI平面 ABC 因为 GH平面 GHI， 所以 GH平面 ABC (2)连接 OO，则 OO平面 ABC 又 ABBC，且 AC 是圆 O 的直径， 所以 BOAC 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 由题意得 B(0,2 3，0)，C(2 3，0,0) 过点 F 作 FMOB 于点 M， 所以 FM FB2BM23， 可得 F(0， 3，3) 故BC (2 3，2 3，0)，BF(0， 3，3) 设 m(x，y，z)是平面 BCF 的法向量 由 m BC 0， m BF 0 11 可得 2 3x2 3y0， 3y3z0. 可得平面 BCF 的一个法向量 m 1，1， 3 3 . 因为平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1)， 所以 cosm，n m n |m| |n| 7 7 ， 所以二面角 F- BC- A 的余弦值为 7 7 .
