1、4 4 理想与商环理想与商环 一、理想一、理想 定义定义14.13：R;+,*为环为环,若若I,I R,关于关于+,*运算满足条件运算满足条件:(1)任任a,b I,a-b I(2)任任a I,r R,a*r,r*a I 称称I;+,*为为R;+,*的的理想理想,当当I 0,I R时是时是真真理想理想,否则就是否则就是平凡理想平凡理想。例：例：nZ;+,是整数环是整数环Z;+,的理想。的理想。例：例：R;+,*为单位元交换环，任取元素为单位元交换环，任取元素 a R，作，作R的子集：的子集：(a)=a*r|r R,则则(a);+,*为为R;+,*的理想。的理想。若若R;+,*是不含单位元的交换
2、环，对任是不含单位元的交换环，对任意意a R，作子集，作子集(a)=a*r+na|r R,n Z,则则(a);+,*为为R;+,*的理想。的理想。这样的理想这样的理想(a)=a*r+na|r R,n Z称为称为由元素由元素a生成的主理想。生成的主理想。由由a生成的理想：生成的理想：有单位元的交换环，有单位元的交换环，(a)=a*r|r R无单位元的交换环，无单位元的交换环，(a)=a*r+na|r R 定理：设定理：设S,S R,定义定义(S)为满足如下条件的为满足如下条件的最小子集最小子集:(1)a S,则则a(S)(2)a,b(S),则则a-b(S)(3)a(S),r R,则则a*r,r*
3、a(S)则则(S);+,*是环是环R;+,*的理想。的理想。定义：设定义：设S,S R,(S)为满足上述定理条件的为满足上述定理条件的最小子集最小子集,则称则称(S);+,*是环是环R;+,*的由的由S生成生成的理想。的理想。定义定义14.14:由环由环R中一个元素生成的理想中一个元素生成的理想称为该环的主理想。如果一个环的所有称为该环的主理想。如果一个环的所有(真真)理想是主理想，则称该环为主理想环理想是主理想，则称该环为主理想环 例：例：Z;+,*是主理想环。是主理想环。分析分析:关键是证明对任意理想关键是证明对任意理想D,都能找到都能找到生成元生成元.证明证明:若若D=0,成立成立.若若
4、D 0,则设法找生成元则设法找生成元.取取D中绝对值最小的非零元中绝对值最小的非零元b,证明证明b是是D的生成元的生成元 定理定理14.13：域：域F上的多项式环上的多项式环Fx是主理是主理想环。想环。分析分析:与前面证明方法类似与前面证明方法类似.证明证明:若若I=0,成立成立 对于对于I 0的的理想理想,其生成元是什么呢其生成元是什么呢?对多项式对多项式,则应取则应取I中非零的、多项式次数中非零的、多项式次数最小的最小的p(x).这样就要证明对任一理想这样就要证明对任一理想,可表示成可表示成 p(x)f(x)|f(x)Fx,p(x)为为该理想中次数该理想中次数最小的最小的.需要利用定理需要
5、利用定理14.8 定理定理14.8：对：对f(x)Fx,g(x)Fx,g(x)0,存在唯一存在唯一的的q(x),r(x)Fx,degr(x)0,则则(p(x)=p(x)*h(x)|h(x)F(x)是多项式是多项式环的理想环的理想.Fx/(p(x);,是商环是商环,其零元其零元(的单的单位元位元)是是(p(x)+0,其单位元是其单位元是(p(x)+1,这这里里0是是Fx的零元的零元,1是是Fx的单位元的单位元.Fx/(p(x)=n1,iF,a|xa(p(x)i1n1iii Z2x;+,*是是Z2上的多项式环。取上的多项式环。取p(x)=x2+x+1,则则:Z2x/(p(x)=(p(x),(p(x)+1,(p(x)+x,(p(x)+(x+1),简化为简化为0,1,x,x+1 01xx+1001xx+1110 x+1xxxx+101x+1x+1x10 01xx+100000101xx+1x0 xx+11x+10 x+11x 定理定理14.17:Fx为域为域F上的多项式环上的多项式环,商环商环Fx/(p(x)是域是域,当且仅当当且仅当p(x)为为Fx上的上的不可约多项式。不可约多项式。作业：作业：P192 27,29
