1、 - 1 - 2020 届广东六校高三第二次联考试题 文科数学 一、选择题：本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1 设全集U是实数集R， 2 =log1 ,13MxxNxx，则 （CUM）N ( ) A23xx B3x x C12xx D2x x 2复数z满足23ii z（其中i是虚数单位），则z的虚部为 （ ） A2 B3 C3 D2 3在ABC中，3AB ，1AC ，30B，则A （ ） A60 B 9030 或 C60120 或 D 90 4设平面向量2,1a ，,2b，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A, 44,1 B 1 ,22, 2 C 1, D ,1 5
2、若0a ，0b ，则“8ab”是“16ab”的 （ ）. A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6设 3 log 0.4a ， 2 log 3b ，则 （ ） A0ab且0ab B0ab 且0ab C0ab且0ab D0ab 且0ab 7已知函数 2 10 10 xx f x x ， ， ，若423f xfx，则实数x的取值范围 是 （ ） A1， B1 ， C14 ， D1， 8设等差数列 n a前n项和为 n S，若 45 2aS， 7 14S ，则 10 a （ ） A18 B16 C14 D12 - 2 - 9 某几何体的三视图如图所示， 则该几何
3、体的体积为 （ ） A 7 6 B 4 3 C2 D13 6 10函数 2 ( )1 sin 1 x f xx e 图象的大致形状是 （ ） A B C D 11己知点A是抛物线 2 4xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线 上且满足PAm PB，当m取最大值时，点P恰好在以BA、为焦点的双曲线上，则双曲 线的离心率为 （ ） A 21 B 21 2 C 51 2 D51 12若存在唯一的正整数 0 x，使得不等式 2 0 x x axa e 恒成立，则实数a的取值范围是 （ ） A 2 4 0, 3e B 2 41 , 3ee C 1 0, e D 2 41 , 3ee 二
4、、填空题，本题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13a为单位向量， 0b ，若ab且 3 2 ab，则b _. 14若tan2 4 ，则tan2_ 15若 32 111 1 322 fxfxxx，则曲线 yf x在点 (1,)1f处的切线方程是 _ 16已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足6BABC， 2 ABC ，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为_ - 3 - 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 至 21 题为必做题， 每小题 12 分；第 22、23 题为选做题，每小题 10 分，请考生在第 22、
5、23 题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分。 （一）必做部分（一）必做部分 17（本小题 12 分）已知函数 2 ( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx （1）求函数 ( )f x的最小值，并写出( )f x取得最小值时自变量x的取值集合； （2）若 2 2 x ，求函数( )f x的单调减区间 18 （本小题 12 分） 数列 n a的前 n 项和记为 n S， 1 9a ， 1 29 nn aS ， * nN，1 1b ， 13 log nnn bba （1）求 n a的通项公式； （2）求证：对 * nN，总有 12 111 12 n bbb 19 （本小题
6、 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PAD，/ /ADBC， 1 2 ABBCAPAD，30ADP 90BAD. (1)证明：PDPB； (2)设点M在线段PC上，且 1 3 PMPC，若MBC的面积 为 2 7 3 ，求四棱锥PABCD的体积 - 4 - 20（本小题 12 分）在直角坐标系xoy中，动点P与定点(1,0)F的距离和它到定直线4x 的距离之比是 1 2 ，设动点P的轨迹为E （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若/ /CDAB， 求证： 2 | | CD AB 为定值 21（本小题 12 分
7、）已知函数 ln1f xxx， 2 2g xxx （1）求函数 yf xg x的极值； （2）若实数m为整数，且对任意的0x 时，都有 0f xmg x恒成立，求实数m的 最小值 （二）选做部分（二选一，本小题（二）选做部分（二选一，本小题 1010 分）分） 22.在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为 3cos sin x y （为参数），在以原点为 极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin2 4 （1）求曲线c的普通方程和直线l的倾斜角； （2）设点(0,2)P，直线l和曲线c交于AB、 两点，求|+|PAPB - 5 - 23已知 2 221f xxxa （1
8、）当3a 时，求不等式 2 f xxx的解集； （2）若不等式 0f x 的解集为实数集R，求实数a的取值范围 - 6 - 2020 届高三第二次六校联考 文科数学参考答案 一、选择题 CDBAB BCCAD AD 二、填空题 13、 5 2 14、 3 4 15、3310xy 16、 3 32 三、解答题 17、解：（1） 22 ( )3cossin2 3sin cos2 3sin2f xxxxxx 2 2cos13sin2xx cos23sin22xx 2cos(2)2 3 x 4 分 当22 3 xk ，即() 3 xkkZ 时，函数( )f x有最小值为 0。 6 分 （2）由222
9、3 kxk ，得：, 63 kxkkZ 8 分 因为 2 2 x ，所以，0, 6 3 kx ， 即 2 2 x ，函数( )f x的单调减区间为 6 3 ，。 12 分 18、解：（1）由 1 29(1) nn aSn 可得 1 29(2) nn aSn ， 两式相减得 1 2 nnn aaa ， 1 3 nn aa ， 又 21 2927aS， 21 3aa 故 n a是首项为 9，公比为 3 的等比数列， 1* 3, n n an N。 5 分 （2） 1 13 log 31 n nn bbn 当2n 时， 112211 (1) ()()()(21)1 2 nnnnn n n bbbbb
10、bbbn - 7 - 又1n 符合上式， * (1) , 2 n n n bn N 8 分 * 12 , (1) n n bn n N 则 12 111111111 2(1)2(1) 22311 n bbbnnn 10 分 1 2(1)2 1n ， 11 2(1) 2(1)1 12n 12 111 12 n bbb 12 分 19、解：(1) 平面ABCD平面PAD BAD=90， AB平面PAD，ABPD， 在PAD中， 1 APAD 2 ，ADP30， 由正弦定理可得： APD AD ADP AP sinsin ， APD90，PAPD ，又AABPA PD 平面PAB，PDPB. 5 分
11、 (2)取AD的中点F，连结PFCF、，设aAD2，则aAPBCAB，aPD3, 则PB PC2a ，PBC为等腰三角形，且底边 BC 上的高为 7 a 2 ， 1 PMPC 3 ，MBC的面积为 2 7 3 . PBC的面积为7， 17 aa7 22 解得：a2， 四梭锥PABCD的体积为 11 24232 3 32 . 12 分 - 8 - 20、 解： （1） 设点,P x y， 由题意得 22 (1)1 |4|2 xy x ， 将两边平方， 并简化得 22 1 43 xy ， 故轨迹 1 C的方程是 22 1 43 xy 4 分 （2）证明：当直线AB的斜率不存在时，易求| 3AB ，
12、| 2 3CD ， 则 2 | 4 | CD AB 5 分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意0k ， 则直线AB的方程为 (1)yk x ，直线CD的方程为y kx 设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 33 ,C x y， 44 ,D xy， 由 22 1 43 (1) xy yk x 得 2222 3484120kxk xk 则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 1 2 2 412 34 k x x k ， 7 分 2 12 |1ABkxx 2 22 2 22 8412 14 3434 kk k kk 2 2 12 1 34 k k 8 分 由 22
13、 1 43 xy ykx 整理得 2 2 12 34 x k ，则 34 2 4 3 34 xx k 2 2 34 2 3 1 |14 34 k CDkxx k 10 分 2 22 22 48 1 |34 4 |3412 1 k CDk ABkk 综合知： 2 | 4 | CD AB 为定值 12 分 - 9 - 21、解：(1)设 2 ln1xf xg xxxx， 2111 21 xx xx xx ， 2 分 令 0x，则 1 0 2 x； 0x，则 1 2 x ； x在 1 0, 2 上单调递增， 1 , 2 上单调递减， 11 =ln2 24 x 极大 ，无极小值. 4 分 (2)由 0
14、f xmg x，即 2 ln120xxm xx 在0,上恒成立， 2 ln1 2 xx m xx 在0,上恒成立， 5 分 设 2 ln1 2 xx h x xx ，则 2 2 12ln 2 xxx h x xx ， 6 分 显然10x ， 2 2 20xx 设 2lnt xxx ，则 2 10tx x ，故 t x在0,上单调递减 由 110t ， 1111 2ln2ln20 2222 t ， 由零点定理得 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0t x，即 00 2ln0xx 且 0 0,xx时， 0t x ，则 0h x， 0, xx时， 0t x . 则 0h x h x在 0 0,x上单
15、调递增，在 0, x 上单调递减 00 0 2max 00 ln1 2 xx h xh x xx ， 又由 00 2ln0xx， 0 1 ,1 2 x ，则 00 0 2 000 ln111 ,1 222 xx h x xxx 由 mh x恒成立，且m为整数，可得m的最小值为 1. . 12 分 - 10 - 22、解：（1） 3cos , sin, x y 消去参数得 2 2 1 9 x y， 即c的普通方程为 2 2 1 9 x y. . 2 分 由sin2 4 ，得sincos2，（*） 将 cos sin x y ，代入（*），化简得+2yx， 所以直线l的倾斜角为 4 . 5 分 （
16、2）由（1），知点(0,2)P在直线l上，可设直线l的参数方程为 cos 4 2sin 4 xt yt （t为参数），即 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数）， 代入 2 2 1 9 x y并化简，得 2 518 2270tt ， 2 (18 2)4 5 271080 ， 设A，B两点对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 18 2 0 5 tt ， 1 2 27 0 5 t t ， 所以 1 0t ， 2 0t ，所以 1212 18 2 | 5 PAPBtttt . 10 分 23、解：（1）当3a 时， 2 2213f xxx ， 当0x时，由 2 f xxx，得 2 20
17、xx，解得：1x，或2x ，所以1x. 当 1 0 2 x时 ,由 2 f xxx得 2 320xx, 解得： 317 2 x ，或 317 2 x . 所以x ， - 11 - 当 1 2 x 时，由 2 f xxx ， 得 2 40xx ， 解得： 117 2 x ，或 117 2 x .所以 117 2 x 综上 当3 时， 2 f xxx的解集为. 2 171 1|xxx或 5 分 （2） 0f x 的解集为实数集 2 221Raxx ， 当 1 2 x 时， 22 221221xxxx 2 131 2 222 x ， 当 1 2 x 时， 22 221221xxxx 2 111 2 222 x ， 2 226xx的最大值为 1 2 . 实数a的取值范围为 1 , 2 . 10 分
