1、人教版高一数学上学期人教版高一数学上学期第一章第第一章第1.7节节四种命题四种命题(3)教学目的：教学目的：教学重点：教学重点：教学难点教学难点：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.反证法证题的步骤.理解反证法的推理依据及方法.原命题：原命题：若若 p 则则 q逆命题：逆命题：否命题：否命题：逆否命题：逆否命题：若若 q 则则 p若若则则pq若若则则pq四种命题的一般形式、四种命题的一般形式、相互关系、真假关系相互关系、真假关系：一、复习引入一、复习引入互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否逆否逆否互互为为逆逆否否同同真真
2、同同假假互互逆逆互互否否真真假假无无关关二、重难点讲解二、重难点讲解 1.等价命题等价命题:如果甲乙两命题，从甲命题可以推出乙命题；如果甲乙两命题，从甲命题可以推出乙命题；从命题乙可以推出甲命题。那么甲乙两个命题从命题乙可以推出甲命题。那么甲乙两个命题叫做等价命题。叫做等价命题。如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题是等价等价命题。即原命题与它的逆否命题是等价等价命题；原命题的逆命题与它的否命题是等价等价命题。即则命题甲 命题乙若命题甲 命题乙,命题甲 命题乙二、重难点讲解二、重难点讲解 2.两个互为逆否的命题是等价等价命题。原命题：原命题：若若 p 则则 q逆否命题：逆否命题：若若则则pq
3、 这种从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法 因此，在证明一个数学命题(若若 p 则则 q)时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可以证明它的逆否命题()。若若则则pq3.反证法反证法二、重难点讲解二、重难点讲解 4.反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：假设结论不成立，即假设结论的反面成立；假设结论不成立，即假设结论的反面成立；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而结论正确。由矛盾判定假设不正确，从而结论正确。也就是：反设、归谬、结论也就是：反设、归谬、结论二、重难点讲解二、重难点讲解
4、 5.反证法反证法适用范围：适用范围：（1）结论是否定形式的命题；）结论是否定形式的命题；（2）结论是以至多、至少、唯一等形式给出）结论是以至多、至少、唯一等形式给出的命题；的命题；（3）结论的反面是较明显或较易证明的命题；）结论的反面是较明显或较易证明的命题；（4）用直接法证明困难的命题）用直接法证明困难的命题.三、例题讲解三、例题讲解 例例1 用反证法证明：直线用反证法证明：直线a、b、c是平面上不重合的是平面上不重合的 三条直线，若三条直线，若ab，c与与a相交，则相交，则c与与b相交。相交。证明：证明：假设假设c与与b不相交，不相交，abac这与已知这与已知c与与a相交矛盾相交矛盾 c
5、与与b相交。相交。acb则则cb前提条件：前提条件：a、b、c是平面上不重合的三条直线，是平面上不重合的三条直线，题设条件：题设条件：ab，c与与a相交，相交，命题结论：命题结论：c与与b相交相交分析：分析：三、例题讲解三、例题讲解 例例2 已知已知x、y、z是整数，且是整数，且x2+y2=z2证明：证明：设设x、y、z都是奇数，都是奇数，x2+y2为偶数为偶数 x2+y2z2这与已知矛盾这与已知矛盾 x、y、z不可能都是奇数。不可能都是奇数。则则x2、y2、z2都是奇数都是奇数求证：求证：x、y、z不可能都是奇数。不可能都是奇数。(条件条件)(结论结论)例例3 用反证法证明：圆的两条不是直径
6、的相交弦不用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分能互相平分.已知：如图，在圆已知：如图，在圆 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，有有OPAB,OPCD根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分平分.ABCDOP-3 2-1例例4 若三个方程若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+
7、(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0至少有一个方程有实数根，求实数至少有一个方程有实数根，求实数m的的取值范围。取值范围。解：解：当三个方程都没有实根时，当三个方程都没有实根时，1=(4m)2-4(3-4m)02=(m-1)2-4m203=4m2+8m0有有即即4m2+4m-30m2+2m0得得-3/2m1/2m1/3-2m0-3/2m180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，B一定是锐角。一定是锐角。答：不正确。答：不正确。应该应该“假设假设B是是直角或是钝角直角或是钝角”，然后在分别对然后在分别对B90和和B90讨论讨论.四、练习四、练习3.已知已知a、bR，若
8、，若a+b1，求证：求证：a、b之中至少有一个大于之中至少有一个大于12证明：证明：假设假设a、b都小于等于都小于等于12即即11,22ab则则 a+b1这与条件这与条件a+b1矛盾矛盾 a、b之中至少有一个大于之中至少有一个大于12五、小结五、小结1.用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p则则q”的方法和步骤：的方法和步骤：否定（反设）：否定（反设）：推理：推理：词语词语是是都是都是大于大于至少一个至少一个至多一个至多一个词语的否定词语的否定不是不是不都是不都是小于等于小于等于没有一个没有一个至少两个至少两个矛盾：矛盾：肯定：肯定：结论，特殊词语的否定应准确。结论，特殊词语的否定应准确。q作为已知条件使用。作为已知条件使用。与已知；与公理、定义、定理；与事实；自相矛盾。与已知；与公理、定义、定理；与事实；自相矛盾。下结论。下结论。2.适宜使用反证法证明的命题的特征：适宜使用反证法证明的命题的特征：直接证明较困难，可考虑使用反证法；直接证明较困难，可考虑使用反证法；命题的结论部分含有命题的结论部分含有“不可能不可能、唯一唯一、至少至少、至多至多”等等特殊词语，可考虑使用反证法。特殊词语，可考虑使用反证法。本节课到此结束，请同学们本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！课后再做好复习。谢谢！再见！
