1、 1.3 n 1.3 n阶行列式的计算阶行列式的计算例例1.8 1.8 求方程求方程0163222123xxx的根。的根。解：解：16222012216322212331xxxxxxxcc0)4()2()82)(2(422)2(40220121)2(22)2(131xxxxxxxxxxxrrcx例例 1.9 1.9 计算计算 n n 阶行列式阶行列式所求根为所求根为 x=2 x=2 和和 x=-4x=-4。xaaaaxaaaaxaaaaxDn 解解1),3,2:(),3,2:()()1(000.0001)1()1()1()1()1(11 nnjrrniccnaxanxaxaaxaaaxaaaa
2、nxxaaanxaxaanxaaxanxaaaanxDji例例1 110 10 计算计算n+1n+1阶行列式阶行列式nnndbdbdbaaaaD0000002211210解解 0,;.),.,2,1(0;)(000000112112102211210iniiiiknknkkknnndidddddbankdddddbaadbdbdbaaaaD例例1 111 11 设设 n n阶三对角行列式阶三对角行列式nnnnnnnnnD111222333222111证明证明 :递推关系式递推关系式 )2(2111nDDDnnnnnn证明证明 对第对第n n列用性质列用性质6 6展开，得展开，得12223332
3、22111nnnnnnnD1223332221111nnnnn .2111nnnnnDD例例1.12 1.12 计算计算n n阶行列式阶行列式2112112112112nD例例1 113 13 证明证明n n阶行列式阶行列式1111nD11nna证明证明 对行列式阶数对行列式阶数n n用数学归纳法证明用数学归纳法证明n=2n=2时，时，12D2)(33a结论成立。结论成立。21)(nnnDDD nna假设结论对假设结论对n-1n-1阶行列式成立，即阶行列式成立，即则对于则对于n n阶行列式阶行列式 有有nD1nD 11nnnnaa11nna例例1.14 1.14 证明证明n n阶范德蒙德（阶范
4、德蒙德（VandermonderVandermonder）行列式行列式)2()(1111111312112232221321nxxxxxxxxxxxxxxVnjiijnnnnnnnn证明证明 对行列式阶数对行列式阶数n n用数学归纳法，用数学归纳法，n=2n=2时，时，1221211xxxxD结论成立。结论成立。假设结论对假设结论对n-1n-1阶行列式成立，即阶行列式成立，即111)(njiijnxxD则对于则对于n n阶行列式阶行列式 有有nD000111121112212211112122212112112211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrxrrxrrxrnxxxxxxxxx
5、xxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnn njiijnjiijnkknnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxxA111111121111)()()()()()()1()1(由数学归纳法，结论对任意自然数由数学归纳法，结论对任意自然数n n都成立都成立.1 14 4 拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）展开定理）展开定理 定义定义1.7 1.7 在在n n阶行列式阶行列式D D中中,任取任取k k行行k k 列列,位于这位于这k k行行k k 列交叉位置的元素按原行列式列交叉位置的元素按原行列式D D中的相对位置中的相对位置排成的排成的k k阶行列式阶行列式N N称为行列式
6、称为行列式D D的一个的一个k k阶子式阶子式.定义：在定义：在D D中中,划去划去k k阶子式阶子式N N所在的所在的k k行行k k 列列,剩余剩余元素按原行列式元素按原行列式D D中的相对位置排成的中的相对位置排成的n-kn-k阶行列阶行列式式M M称为称为k k阶子式阶子式N N 的余子式的余子式.如果子式如果子式N N的的k k行行k k列在列在D D中的行标与列标分别为中的行标与列标分别为 则称则称为为N N的代数余子式的代数余子式.例如例如,在在5 5阶行列式阶行列式 中中,取第取第2,42,4行和第行和第1,41,4列列,kkjjjiii,2121MAkkjjjiii)()(2
7、121)1(5ijaD 44412421aaaaN 是是D D的一个二阶子式的一个二阶子式,555352353332151312aaaaaaaaaM 是是N N的余子式的余子式;MMA)41()42()1(为为N N的代数余子式的代数余子式.定理定理1.3 (1.3 (LaplaceLaplace定理定理)设在设在n n阶行列式阶行列式D D中中,取取某某k k行行,则位于这则位于这k k行的所有行的所有k k 阶子式阶子式),.,2,1(tiNi与它们各自对应的与它们各自对应的 代数余子式代数余子式 的乘积之和等的乘积之和等于行列式于行列式D,D,iA即即tiiiMND1(其中其中knCt)
8、解解 对对D D的第的第1,3 1,3 行用行用LaplaceLaplace定理定理,在第在第1,3 1,3 行行中不为零的二阶子式分别是中不为零的二阶子式分别是 30312,10111,13211321NNN它们各自对应的代数余子式是它们各自对应的代数余子式是 3143001220000310321010021D例例 1.151.15 计算计算 5 5 阶行列式阶行列式0,6143122321,12314012032321AAA 所以所以 D=12-6=6D=12-6=6例例 1.16 1.16 计算计算2 n2 n阶行列式阶行列式1122111122112ababababbabababaD
9、nnnnnnnnn解解 对的第对的第n,n+1n,n+1行应用行应用LaplaceLaplace定理（按第定理（按第n,n+1n,n+1行展开）得行展开）得22221122111122112)(nnnnnnnnnnnnDbaabababbababaabbaD利用这个递推关系式有利用这个递推关系式有422121222)(nnnnnnDbabaDniiinnnnbabababa1222121212122)()()(定定理理 1 1.4 4 (行行列列式式乘乘法法法法则则)若若 21DOODD,则则21DDD 推推论论若若 21DCODD,则则21DDD 1.51.5 克莱姆克莱姆（CramerCr
10、amer）法则）法则定理定理 1.5 1.5（CramerCramer 法则）如果法则）如果 n n 元线性方程组元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD则则方方程程组组（1 1）有有唯唯一一解解，且且其其解解为为DDxDDxDDxnn,2211其中其中jD是把是把 D D 的第的第 j j 列各元素依次换列各元素依次换成方程组成方程组(1)(1)右端的常数项所得到的右端的常数项所得到的 n n阶行列式阶行列式,
11、即即nnnjnnjnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1112122122111111111推论推论 1 1 如果如果 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD则该方程组有唯一零解则该方程组有唯一零解推论推论 2 2 如果如果 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解，则系数行列式等于零，即有非零解，则系数行列式等于零，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD例例 1 119 19 求解线性方程组求解线性方程组 353021321321321xxxxxxxxx解解 线性方程组的系数行列式线性方程组的系数行列式 02153121111D所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解且由于且由于 21531201111D；21331011112D 23530211113D方方 程程 组组 唯唯 一一 解解 为为1,1,1332211DDxDDxDDx
