1、8-3 8-3 Z变换变换.z (1)(2)2(1)e(Te(0)E(z),0nn-e(nT)zE(z)0nn-e(nT)z)(*)()(*)(,)(*E(z)0nn-e(nT)zE(z),Tsez 0nnTs-e(nT)e(s)*E :0nnT)-(te(nT)(t)*e 变换可求得展开有由记为变换的即为脉冲序列则引入变量拉氏变换nznTezTezzEteZteZteZzEzte一一.Z变换变换(Z-transforms)(1)级数求和111)(1,1z1 1)1(n 1(nT)z1(z)121-0n-zzzzzzzTnn则若而aTaTaTaTnnTaTnnanTatezzzeeZzzeze
2、zezzeeZ1aT1221aT-011,1e 1 e1 则即若例1.试求单位阶跃函数的z变换例2.试求取衰减的指数函数e-at(a0)的z变换。解:解:1)(,11)()()(),()(iTisezziAzETisezziAtisAeZtiseiAissiALiissiAsNsMsEsEte而的拉氏变换(2)部分分式法2)(1(2)1()-Z(1 212)(1121E(z)212)(121 32)(212)(1)(aTezzaaTeaTaTezaTaTeaTeaTzezaaTezaTTzeazzaasaasasaasaasasaasssE例例3.3.求求 的的z变换。变换。解:2)(1)(a
3、sssE1cos22Tzsin12222z )-z)(-(z-2-zz-zz21 Zs2s zTzztjetjezjTjeTjeTjeTjeTjeTjejzTjeTjejtinjtjetjetin有由欧拉公式例例4:计算计算 的的z变换。变换。解：解：tsin sTe-zzE(s)n)is-(s1-nds1-ndlim 1)!-(n1R )(sTe-zz)E(s)is-(slimiR iR,iss )(1 1)iresE(sE(z),2,1(isE(s),e(t)issnsEisssEniiRnisezzniTi重极点时有当为留数时具有一阶极点时当则及全部极点已知 2)1(T 2)sTe-(z
4、.sTze-0lim sTe-zz2s12sdsd0lim 1)!-(21E(z)2n0,is 21)()(zzTsssteLsE(3)留数计算法例6:.试求e(t)=t 的z变换。解:)(2)1(2a)aT-eaT-e1()aT-e1-kz(aT 2ak2)1()1(22ak21)(2ak )()(lim2R 2)1()1(22ak 0)(22)0()!12(11R 2R1RE(z)1n -a,2s 2;n 0,1s 2aTezzaTzaTezzzzaTzRRzEaTezzaTezzasskasaszzaTzssTezzassksdsd例5.试求取E(s)=k/s2(s+a)的z变换。解：(
5、z)2E(z)1E(t)2e(t)1 ZeaE(z)t)Zae(z)2E(z)1E 00)(nT2e)(nT1e 0)(nT2e)(nT1e(t)2e(t)1 ZeaE(z)0)e(nTa0)ae(nTe(t)Za 0)e(nTE(z):nnnznznnznnznnznnz有由证明 E(z)k-zkT)-(t Ze,)(,0 则变换存在其为零连续函数时设在ztet二.z变换的基本定理(1)(1)线性定理线性定理(2)(2)实数位移定理实数位移定理(a)迟后定理证毕变换定义由证明 )(k-z )(1)()0(k-z )(k-e(nT)z 1)(k-e(T)zk-e(0)zKT)-Ze(t 0e(
6、-T)K)T-e(1e(-kT)(k-e(nT)z 1)(k-e(T)zk-e(0)z1-kT)z-e(Te(-kT)0)()kT-e(t Z:zEnznTezTeennnnzkTnTeZ说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中延迟k个采样周期,相当于Z变换乘以z-K。(2)算子z-K的物理意义:z-K代表迟后环节,它把采样信号延迟k个采样周期。)1(.)2(2)(1)0()()(mk.)()0(2)(2)2(2)0()()2(110)()()1()1(.1)()0(.)1()1()()1()1(.1)()0(.)1()1()(.)(.2)2(1)1()()(0)kTZe(t:TmzeTemz
7、TemzEmzzEmzmTteZTzEEzzEzTteZkzEzzETteZkknnznTezekzkzTkezTeekzTkekzkTekzTkezTeekzkzTkekzkTekznzkTnTezTkezTkekTenzkTnTen时当时时证明(b)超前定理10)()()(knnznTezEkzkTteZ111)(1)T-Z1(t11 zzzztzaT-e-z1 aT-e-zz-1z Z-1zT-t-aZe aTe例1:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的z变换。例2：计算延迟一个采样周期的指数函数e-at的变换。解：解：)(lime(0),)(lim,)()()()1(1
8、lim)(tlim ,1),()(zEzzEzzEztezEzztezzEzte则存在并且变换为的设函数则有在单位圆外无极点的二重以上极点不含变换为的设连续时间函数(3)终值定理(4)初值定理 1)208.0416.02)(1(20.792z 1)-(zlim )()1(lim)(nTTlime zzzzzEzz例3:设z z变换函数为变换函数为:使用终值定理确定使用终值定理确定e(nT)e(nT)的终值。的终值。解:)208.0416.02)(1(20.792zE(z)zzz00*0n-0n-nn-n2-21-101110m-m1-10nT)-(t nT)-(te(nT)(t)(e(nT)z
9、E(z)zCzCzCzCCE(z),mn azbzbbE(z)nnnnnnnnCenTeCzzzaza则可求得知变换的定义由的升幂排列得并按用分子除以分母 三.z反变换(1)长除法例6.试求取 的z反变换e*(t)。解：)5.0-)(1(5.0)(zzzzE.),()4T-(t0.9375)3T-(t0.875)2T-(t0.75)T-(t0.5(t)e (t)e,0.9375e(4T)0.875e(3T)0.75e(2T)0.5e(T)0e(0)9375.0875.075.00.5zE(z)875.075.00.5z 0.375-0.875 375.0125.175.0 25.075.0 2
10、5.075.00.5z0.5z 0.5z1.5z-1 :E(z)*4321-321-4343232321-1-2-1-25.015.1115.0)5.05.12(5.0难一般表达式往往比较困要写出函数值的时刻上的函数值长除法只能求出各采样可写成由此则有长除法nTezzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)(*)(c.)(b.)(a.teteTezE转换成采样信号将对应的时间函数查表求出展开式第一项展开成部分分式将)0(02)-(11-121)-(n(t)*e 2)-(11-121)-(n)0e(nT 12)-(1121)-(z-11-z21)-(1E(z)1-z2)-(1121)-(z-11-
11、z21)-(1 2)1()(1zE(z)nTtnnnzzzzzz(2)部分分式法例.试求 的z反变换。解：2)1)()(zzzzEn0.5-1)0e(nT 0)0nT-(t)n0.5-(1(t)*e n0.50.5-zz1-Z 0.5-z1-1-zzE(z)1)5.0-()5.0)(1(5.05.0lim2a 1)1-()5.0)(1(5.01lim1a 5.0211)5.0)(1(5.0zE(z)nzzzzzzzzzzzazazz例.试求 的Z反变换。解：解：)5.0)(1(5.0)(zzzzE 0)()(t)*e ir,iz izz1)()iz-(z111)!1(11-nresE(z)z
12、1-nresE(z)ze(nT)nnTtnTeizlnzzEirliirdzirdir则的重复个数为重极点总数为为彼此不相等的极点(3)留数计算法 nT)-(t0n2r)-(11-r-1n2)1(nr nT)-(t0)(t)*e 2r)-(11-r-1n2)1(nr)0e(nT 2r)-(11-r-1n1znzdzd112)1)(2)1()!12(12R 2)1(121)-r)(z-(zzr)-(z1R 2,22,11,12,1)(rnnTerrzznzzrzzzdzdrnrrznzlrrzrzzE则的极点为解：解：例例.试求试求 的的z反变换。反变换。2)1)()(zrzzzE四、差分方程及
13、其四、差分方程及其z z变换法求解变换法求解)()1(.)1()()1(.)1()(11011kTrbTkrbTmkrbTmkrbkTyaTkyaTnkyaTnkymmnn-Kr(t)e(t)y(t)1/s(3)kTr(kT)1)y(kT)-(kt1)Ty(k (1)(2).T(2)|)()1()()1(0limdtdy(t)(t).y ,(1)r(t)ky(t)(t).y ky(t)-kr(t)ke(t)t)y(式有式代入将为计算步长或采样周期式中很小即近似用一阶前向差分方程来即TTktyTkyTktytkytk 1、离散系统的差分方程模型例例1 1：右图所示的一阶系统描述它右图所示的一阶系
14、统描述它的微分方程为的微分方程为y(t)KZ0H1/sr(t)eh(t)-e(t)(4)kTr(kT)1)y(kT)-(kT1)T(k y 1)T(ktkT)-(t)(tke(kT)yy(t),T)1k(tkt e(kT)(t)e OHZ.hh 时当积分器的输出为在两相邻采样时刻之间的输出为在两相邻采样时刻之间 例例2.2.右图所示为采样控制系右图所示为采样控制系统采样器的采样周期为统采样器的采样周期为T.T.试试求其差分方程。求其差分方程。解:说明：(1)例2图去掉ZOH和采样起就是例1。(2)离散系统的差分方程就是系统的近似离散化模型。(0)(z)X(z)X (z)(0)-(z)1)T(k
15、(kT)x T:,s 1211211121-1xzXzxzXxz是它的输入信号秒或延迟一拍就样周期把输入信号延迟一个采单位延迟器采用单位沿迟器在离散系统中应地相器件方程的主要作为模拟连续系统微分连续系统采用积分器r(kt)KTKT-1y(kt)y(k+1)t1z1zx1(kT)x2(kT)x2(z)x1(z)x1(0)11zkTr(kT)1)y(kT)-(kT1)Ty(k kT(kT)1)y(kT)-(kT1)Ty(k 2、离散系统差分方程的模拟图 例3.画出例2所示离散系统 的模拟图.,z,z,z 各采样时刻的响应求出反变换然后进行为变量的代数方程化为以将差分方程变换的实数位移定理实质是应用
16、 3、差分方程的解例4.用z变换法解二阶差分方程y(k+2)T+3y(k+1)T+2y(kT)=1(kT)初始条件为y(0)=0,y(T)=1kkzyzkTyzzzzzzzYzzzzzzYzzzz)2(3/2)1(2/16/1)()(23/212/11-z1/6z1)-2)(z3z(zzz )1)(23()(11)()23(12Y(z)zy(0)-3Y(z)zy(T)-y(0)z-Y(z)z ,z 12222222则有变换对所各差分方程求 00*)()2(3/2)1(2/16/1 )()()(nkknkTtkTtkTyty 解解:.4T)-(t0.24tT)-(t0.763T)-(t )()6.0(875.1)4.0(429.1446.0y(t)1.875(-0.6-)1.429(-0.40.446y(kT)0.6)1.875/(z-0.4)1.429/(z1)-0.446/(z )6.0)4.0)(1()24.0)(1(0.24zz(z)zY(z)()(24.0)0(z-zY(z)zy(T)-y(0)z-Y(z)z 0kk22222kkkkTtzazzzzzzzzUzUzYy 例5.求y(k+2)T+y(k+1)+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数作用下的解。初始条件y(0)=0,y(T)=1.解:
