湖南省永州市道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考数学文试题.docx

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1、道县、东安、江华、蓝山、宁远道县、东安、江华、蓝山、宁远 2020 届高三届高三 12 月联考试题月联考试题 文科数学文科数学 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合|1Ax x ,|3Bx x,则AB ( ) A.1,3 B.,3 C.1, D. 2.已知i为虚数单位,复数z满足3 2izi ,则z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.执行如图所示的程序框图,输出的S

2、( ) A.25 B.9 C.17 D.20 4.某中学有高中生 3000人,初中生 2000人,男、女生所占的比例如图所示,为了解学生的学习情况,用分 层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生 21 人,则从初中生中抽取 的男生人数是( ) A.12 B.15 C.20 D.21 5.已知0,,且 3 sin 5 ,则tan 4 ( ) A. 1 7 B.7 C. 1 7 或7 D. 1 7 或 7 6.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,则“a”是“m 且n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

3、必要条件 7.函数 yf x的导函数 yfx的部分图象如图所示,给出下列判断: 函数 yf x在区间 1 3, 2 单调递增 函数 yf x在区间 1 ,3 2 单调递减 函数 yf x在区间4,5单调递增 当2x 时,函数 yf x取得极小值 当 1 2 x 时,函数 yf x取得极大值 则上述判断中正确的是( ) A. B. C. D. 8.刘徽九章算术商功中将底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.某“阳马” 的三视图如图所示,则其外接球的体积为( ) A.3 B.3 C. 3 2 D.4 9.已知两点1,0M ,1,0N,若直线340xym上存在点P满足0PM PN,则

4、实数m的取值 范围是( ) A. , 55, B. , 2525, C.5,5 D.25,25 10.等轴双曲线C的中心在原点, 焦点在y轴上,C与抛物线 2 8xy的准线交于A、B两点,2 3AB , 则C的实轴长为( ) A.2 B.2 2 C.2 D.4 11 一个圆锥的母线长为22 2,且母线与底面所成角为 4 ,则该圆锥内切球的表面积为( ) A.2 B.8 C. 8 2 3 D. 62 2 12.已知 fx是定义在R上的函数 f x的导函数, 若 3 f xfxx, 且当0x时, 2 3 2 fxx, 则不等式 2 212331f xf xxx的解集为( ) A. 1 ,0 2 B

5、. 1 , 2 C. 1 , 2 D. 1 , 2 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分. 13.设函数 2 2 ,0 3 ,0 x xx f x f xx ,则 5f的值为_. 14.已知向量42,6am,2,bm,若向量a,b反向,则实数m的值为_. 15.已知角的顶点与坐标原点重合,始边为x轴正半轴,终边上有一点3, 4P,则 sincos_. 16.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积, 则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比 数列 n a是一个“2020积数列”,且 1 1a ,则当其前n项的乘积取最大值时,n的最大

6、值为_. 三、解答题:共三、解答题:共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题,每个每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答考生根据要求作答. (一一)必考题:共必考题:共 60 分分. 17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 5 2 sincoscos 2 cAaBbA . (1)求角A; (2)若3abc,且ABC外接圆的半径为 1,求ABC的面积. 18.设数列 n a的前n项和为 n S,且21 n n S ,数列 n b满足

7、 1 2b , 1 28 nnn bba . (1)求数列 n a的通项公式; (2)求数列 n b的前n项和 n T. 19.如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, 1 2 ABBCAD, 90BADABC. (1)证明:BC平面PAD; (2)若四棱锥PABCD的体积为4 3,求PCD的面积. 20.已知抛物线C: 2 20ypx p,直线1yx与C交于A,B两点,且8AB . (1)求p的值; (2)如图,过原点O的直线l与抛物线C交于点M,与直线1x 交于点H,过点H作y轴的垂线交抛 物线C于点N,证明:直线MN过定点. 21.已知函数 cos x f

8、xex. (1)求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程; (2)证明: f x在区间, 2 上有且仅有 2 个零点. (二二)选考题:共选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分. 22.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 1 cos sin x y (为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系. (1)写出圆C的极坐标方程; (2)设直线l的极坐标方程为2 sin3 3 3 ,射线: 3 OM 与圆C交于O、P两点,与直线l 交

9、于点Q,求线段PQ的长. 23.【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 32f xxx. (1)求不等式 2f x 的解集; (2)设 f x的最大值为m,正数a,b,c满足abcm ,证明: 222 3abc. 高三文科数学参考答案高三文科数学参考答案 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 6060 分分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A D A D C C C B B 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分) 13. 1 2 14

10、.2 15. 7 5 16.1010 三、三、解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题小题,共共 70分分) 17.【答案】(1) 3 A ;(2)2 3. 【解析】(1)2 sincoscos 2 cAaBbA , 2 coscoscoscAaBbA, 由正弦定理得,2sincossincossincossin()sinCAABBAABC, 2sincossinCAC, 又0C,sin0C , 1 cos 2 A, 又0A, 3 A . (2)设ABC外接圆的半径为R,则1R ,2 sin3aRA, 由余弦定理得 2222 2cos()3 3 abcbcbcbc , 即327 3bc,8bc

11、 , ABC的面积 113 sin82 3 222 SbcA . 18.【答案】(1) 1 2n n a ;(2) 1 2326 n n 【解】(1)当1n 时, 1 11 21 1aS ; 当2n时, 111 1 2121222 nnnnn nnn aSS . 1 1a 也适合 1 2n n a ,因此,数列 n a的通项公式为 1 2n n a ; (2) 2 1 282n nnn bba ,在等式两边同时除以 1 2n得 1 1 2 22 nn nn bb ,且 1 1 2 b . 所以,数列 2 n n b 是以 1为首项,以 2 为公差的等差数列, 1 2(1)21 2 n n b

12、nn , 21 2n n bn. 123 1 23 25 221 2n n Tn , 231 21 23 223 221 2 nn n Tnn , 上式下式得 1231 22 22 22 221 2 nn n Tn 31 1 2 1 2 221 2 1 2 n n n 1 3226 n n , 因此, 1 2326 n n Tn . 19.【解析】(1)在平面ABCD内,因为90BADABC, 所以BCAD. 又BC 平面PAD,AD 平面PAD, 故BC平面PAD. (2)取AD的中点M,连接PM,CM. 由 1 2 ABBCAD,及BCAD,90ABC, 得四边形ABCM为正方形,则CMA

13、D. 因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD, 所以PMAD, 因为PM 平面PAD,所以PM 平面ABCD. 因为CM 平面ABCD,所以PMCM. 设BCx,则2ADx,CMx,2CDx,3PMx,2PCPDx. 因为四棱锥PABCD的体积为4 3, 所以 1 3 ABCD VSPM 11 234 3 32 xx xx,所以2x , 取CD的中点N,连接PN,则PNCD, 所以 14 14 2 PNx. 因此PCD的面积 11 2 2142 7 22 SCDPN. 20.【解析】(1)由 2 2 1 ypx yx ,消去x可得 2 220ypyp, 设

14、 11 ,A x y, 22 ,B xy,则 12 2yyp, 12 2y yp , 2 2 1212 1 14AByyy y 2 2488pp, 解得2p 或4p (舍去),2p . (2)证明:由(1)可得 2 4yx,设 2 00 1 , 4 Myy , 直线OM的方程为 0 4 yx y . 当1x 时, 0 4 H y y ,则 0 4 NH yy y , 代入抛物线方程 2 4yx,可得 2 0 4 N x y , 2 00 44 ,N yy , 直线MN的斜率 0 00 22 00 2 0 4 4 44 4 y yy k yy y , 直线MN的方程为 2 0 00 2 0 41

15、 44 y yyxy y ,整理可得 0 2 0 4 1 4 y yx y 故直线MN过定点1,0. 21.【解析】(1) cos x f xex,则 sin x fxex, 00f, 01 f . 因此,函数 yf x在点 0,0f处的切线方程为yx,即0xy; (2)当0x 时,1cos x ex ,此时, cos0 x f xex, 所以,函数 yf x在区间0,上没有零点; 又 00f,下面只需证明函数 yf x在区间,0 2 上有且只有一个零点. sin x fxex,构造函数 sin x g xex,则 cos x gxex, 当0 2 x 时, cos0 x gxex, 所以,函

16、数 yfx在区间,0 2 上单调递增, 2 10 2 fe , 010 f , 由零点存在定理知,存在,0 2 t ,使得 0ft, 当 2 xt 时, 0fx,当0tx时, 0fx. 所以,函数 yf x在xt处取得极小值,则 00f tf, 又 2 0 2 fe ,所以 0 2 ff t ,由零点存在定理可知,函数 yf x在区间,0 2 上 有且只有一个零点. 综上所述,函数 yf x在区间, 2 上有且仅有两个零点. 22.【解析】(1)圆C的普通方程为 2 2 11xy,又cosx,siny 所以圆C的极坐标方程为2cos. (2)设 11 ,P ,则由 2cos 3 解得 1 1,

17、 1 3 ,得1, 3 P ; 设 22 ,Q ,则由 2 sin3 3 3 3 解得 2 3, 2 3 ,得3, 3 Q ; 所以2PQ . 23.【解析】(1)当0x时,( )32323f xxxxxx,由 2f x ,得32x , 解得1x,此时10x 剟; 当03x时,( )32323 3f xxxxxx ,由 2f x ,得3 32x, 解得 1 3 x ,此时 1 0 3 x; 当3x 时,( )32f xxx3236xxx ,此时不等式 2f x 无解. 综上所述,不等式 2f x 的解集为 1 1, 3 ; (2)由(1)可知 3,0 ( )3 3 ,03 3,3 xx f xxx xx . 当0x时, 33f xx ; 当03x时, 3 36,3f xx ; 当3x 时, 36f xx . 所以,函数 yf x的最大值为3m ,则3abc . 由柯西不等式可得 2 222 1 1 1abcabc ,即 2222 33abc, 即 222 3abc,当且仅当1abc时,等号成立. 因此, 222 3abc.

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