1、道县、东安、江华、蓝山、宁远道县、东安、江华、蓝山、宁远 2020 届高三届高三 12 月联考试题月联考试题 文科数学文科数学 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合|1Ax x ，|3Bx x，则AB （ ） A.1,3 B.,3 C.1, D. 2.已知i为虚数单位，复数z满足3 2izi ，则z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.执行如图所示的程序框图，输出的S
2、（ ） A.25 B.9 C.17 D.20 4.某中学有高中生 3000人，初中生 2000人，男、女生所占的比例如图所示，为了解学生的学习情况，用分 层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取 的男生人数是（ ） A.12 B.15 C.20 D.21 5.已知0,，且 3 sin 5 ，则tan 4 （ ） A. 1 7 B.7 C. 1 7 或7 D. 1 7 或 7 6.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，且m，n，则“a”是“m 且n”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不
3、必要条件 7.函数 yf x的导函数 yfx的部分图象如图所示，给出下列判断： 函数 yf x在区间 1 3, 2 单调递增 函数 yf x在区间 1 ,3 2 单调递减 函数 yf x在区间4,5单调递增 当2x 时，函数 yf x取得极小值 当 1 2 x 时，函数 yf x取得极大值 则上述判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 8.刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.某“阳马” 的三视图如图所示，则其外接球的体积为（ ） A.3 B.3 C. 3 2 D.4 9.已知两点1,0M ，1,0N，若直线340xym上存在点P满足0PM PN，则
4、实数m的取值 范围是（ ） A. , 55, B. , 2525, C.5,5 D.25,25 10.等轴双曲线C的中心在原点， 焦点在y轴上，C与抛物线 2 8xy的准线交于A、B两点，2 3AB ， 则C的实轴长为（ ） A.2 B.2 2 C.2 D.4 11 一个圆锥的母线长为22 2，且母线与底面所成角为 4 ，则该圆锥内切球的表面积为（ ） A.2 B.8 C. 8 2 3 D. 62 2 12.已知 fx是定义在R上的函数 f x的导函数， 若 3 f xfxx， 且当0x时， 2 3 2 fxx， 则不等式 2 212331f xf xxx的解集为（ ） A. 1 ,0 2 B
5、. 1 , 2 C. 1 , 2 D. 1 , 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分. 13.设函数 2 2 ,0 3 ,0 x xx f x f xx ，则 5f的值为_. 14.已知向量42,6am，2,bm，若向量a，b反向，则实数m的值为_. 15.已知角的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，终边上有一点3, 4P，则 sincos_. 16.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积， 则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比 数列 n a是一个“2020积数列”，且 1 1a ，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大
6、值为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每个每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. （一一）必考题：共必考题：共 60 分分. 17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 5 2 sincoscos 2 cAaBbA . （1）求角A； （2）若3abc，且ABC外接圆的半径为 1，求ABC的面积. 18.设数列 n a的前n项和为 n S，且21 n n S ，数列 n b满足
7、 1 2b ， 1 28 nnn bba . （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n T. 19.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， 1 2 ABBCAD， 90BADABC. （1）证明：BC平面PAD； （2）若四棱锥PABCD的体积为4 3，求PCD的面积. 20.已知抛物线C： 2 20ypx p，直线1yx与C交于A，B两点，且8AB . （1）求p的值； （2）如图，过原点O的直线l与抛物线C交于点M，与直线1x 交于点H，过点H作y轴的垂线交抛 物线C于点N，证明：直线MN过定点. 21.已知函数 cos x f
8、xex. （1）求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程； （2）证明： f x在区间, 2 上有且仅有 2 个零点. （二二）选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 1 cos sin x y （为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系. （1）写出圆C的极坐标方程； （2）设直线l的极坐标方程为2 sin3 3 3 ，射线: 3 OM 与圆C交于O、P两点，与直线l 交
9、于点Q，求线段PQ的长. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 32f xxx. （1）求不等式 2f x 的解集； （2）设 f x的最大值为m，正数a，b，c满足abcm ，证明： 222 3abc. 高三文科数学参考答案高三文科数学参考答案 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A D A D C C C B B 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分） 13. 1 2 14
10、.2 15. 7 5 16.1010 三、三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70分分） 17.【答案】（1） 3 A ；（2）2 3. 【解析】（1）2 sincoscos 2 cAaBbA ， 2 coscoscoscAaBbA， 由正弦定理得，2sincossincossincossin()sinCAABBAABC， 2sincossinCAC， 又0C，sin0C ， 1 cos 2 A， 又0A， 3 A . （2）设ABC外接圆的半径为R，则1R ，2 sin3aRA， 由余弦定理得 2222 2cos()3 3 abcbcbcbc ， 即327 3bc，8bc
11、 ， ABC的面积 113 sin82 3 222 SbcA . 18.【答案】（1） 1 2n n a ；（2） 1 2326 n n 【解】（1）当1n 时， 1 11 21 1aS ； 当2n时， 111 1 2121222 nnnnn nnn aSS . 1 1a 也适合 1 2n n a ，因此，数列 n a的通项公式为 1 2n n a ； （2） 2 1 282n nnn bba ，在等式两边同时除以 1 2n得 1 1 2 22 nn nn bb ，且 1 1 2 b . 所以，数列 2 n n b 是以 1为首项，以 2 为公差的等差数列， 1 2(1)21 2 n n b
12、nn ， 21 2n n bn. 123 1 23 25 221 2n n Tn ， 231 21 23 223 221 2 nn n Tnn ， 上式下式得 1231 22 22 22 221 2 nn n Tn 31 1 2 1 2 221 2 1 2 n n n 1 3226 n n ， 因此， 1 2326 n n Tn . 19.【解析】（1）在平面ABCD内，因为90BADABC， 所以BCAD. 又BC 平面PAD，AD 平面PAD， 故BC平面PAD. （2）取AD的中点M，连接PM，CM. 由 1 2 ABBCAD，及BCAD，90ABC， 得四边形ABCM为正方形，则CMA
13、D. 因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以PMAD， 因为PM 平面PAD，所以PM 平面ABCD. 因为CM 平面ABCD，所以PMCM. 设BCx，则2ADx，CMx，2CDx，3PMx，2PCPDx. 因为四棱锥PABCD的体积为4 3， 所以 1 3 ABCD VSPM 11 234 3 32 xx xx，所以2x ， 取CD的中点N，连接PN，则PNCD， 所以 14 14 2 PNx. 因此PCD的面积 11 2 2142 7 22 SCDPN. 20.【解析】（1）由 2 2 1 ypx yx ，消去x可得 2 220ypyp， 设
14、 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 2yyp， 12 2y yp ， 2 2 1212 1 14AByyy y 2 2488pp， 解得2p 或4p （舍去），2p . （2）证明：由（1）可得 2 4yx，设 2 00 1 , 4 Myy ， 直线OM的方程为 0 4 yx y . 当1x 时， 0 4 H y y ，则 0 4 NH yy y ， 代入抛物线方程 2 4yx，可得 2 0 4 N x y ， 2 00 44 ,N yy ， 直线MN的斜率 0 00 22 00 2 0 4 4 44 4 y yy k yy y ， 直线MN的方程为 2 0 00 2 0 41
15、 44 y yyxy y ，整理可得 0 2 0 4 1 4 y yx y 故直线MN过定点1,0. 21.【解析】（1） cos x f xex，则 sin x fxex， 00f， 01 f . 因此，函数 yf x在点 0,0f处的切线方程为yx，即0xy； （2）当0x 时，1cos x ex ，此时， cos0 x f xex， 所以，函数 yf x在区间0,上没有零点； 又 00f，下面只需证明函数 yf x在区间,0 2 上有且只有一个零点. sin x fxex，构造函数 sin x g xex，则 cos x gxex， 当0 2 x 时， cos0 x gxex， 所以，函
16、数 yfx在区间,0 2 上单调递增， 2 10 2 fe ， 010 f ， 由零点存在定理知，存在,0 2 t ，使得 0ft， 当 2 xt 时， 0fx，当0tx时， 0fx. 所以，函数 yf x在xt处取得极小值，则 00f tf， 又 2 0 2 fe ，所以 0 2 ff t ，由零点存在定理可知，函数 yf x在区间,0 2 上 有且只有一个零点. 综上所述，函数 yf x在区间, 2 上有且仅有两个零点. 22.【解析】（1）圆C的普通方程为 2 2 11xy，又cosx，siny 所以圆C的极坐标方程为2cos. （2）设 11 ,P ，则由 2cos 3 解得 1 1，
17、 1 3 ，得1, 3 P ； 设 22 ,Q ，则由 2 sin3 3 3 3 解得 2 3， 2 3 ，得3, 3 Q ； 所以2PQ . 23.【解析】（1）当0x时，( )32323f xxxxxx，由 2f x ，得32x ， 解得1x，此时10x 剟； 当03x时，( )32323 3f xxxxxx ，由 2f x ，得3 32x， 解得 1 3 x ，此时 1 0 3 x； 当3x 时，( )32f xxx3236xxx ，此时不等式 2f x 无解. 综上所述，不等式 2f x 的解集为 1 1, 3 ； （2）由（1）可知 3,0 ( )3 3 ,03 3,3 xx f xxx xx . 当0x时， 33f xx ； 当03x时， 3 36,3f xx ； 当3x 时， 36f xx . 所以，函数 yf x的最大值为3m ，则3abc . 由柯西不等式可得 2 222 1 1 1abcabc ，即 2222 33abc， 即 222 3abc，当且仅当1abc时，等号成立. 因此， 222 3abc.
