1、20222023 学年第一学期高三期中调研试卷学年第一学期高三期中调研试卷 数数 学学 2022.11 注注 意意 事事 项项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本卷共本卷共 4 页，包含单项选择题（第页，包含单项选择题（第 1 题题第第 8 题）、多项选择题（第题）、多项选择题（第 9 题题第第 12题）、填空题题）、填空题（第（第 13 题题第第 16 题）、解答题（第题）、解答题（第 17 题题第第 22题）本卷满分题）本卷满分 150 分，答题时间为分，答题时间为 120 分钟 答分钟 答题结束后，请将答题卡交回题结束后，
2、请将答题卡交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置的规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的
3、圆珠笔笔 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分每小题给出的四个选项中，只分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知集合2|4 Ax xx=，|340Bxx=，则AB=（）A.0,)+B.40,)3 C.4(,43 D.(,0)2.设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z=（）A 12 B.22 C.2 D.2 3.在ABC中，点N满足2ANNC=，记BNa=，NCb=，那么BA=（）A 2ab B.2ab+C.ab
4、 D.ab+4.“sincos1+=”是“sin20=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.奇函数()f x在R上单调递增，若正数,m n满足1(2)(1)0fmfn+=，则1mn+的最小值为（）.A.3 B.4 2 C.22 2+D.32 2+6.已知函数()3cossinf xxx=（0）的周期为2，那么当20,3x时，()f x的取值范围是（）A 33,22 B.3,3 C.3,12 D.1,2 7.古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备如图，梯子的长度为a，梯脚落在巷中的M点，
5、当梯子的顶端放到右边墙上的N点时，距地面的高度是h，梯子的倾斜角正好是45，当梯子顶端放到左边墙上的P点时，距地面的高度为 6 尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是75则小巷的宽度AB等于（）A.6 尺 B.a尺 C.（2h+）尺 D.2ha+尺 8.已知实数2log 3a=，2cos36b=，2c=，那么实数,a b c的大小关系是（）A.bca B.bac C.abc D.acb 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分每小题给出的四个选项中，都分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得有多个选项是正确
6、的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得分，选错或不答的得 0 分请把分请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9.已知非零实数,a b c满足abc且0abc+=，则下列不等关系一定正确的有（）A.ccab B.2caac+C.()()aaabbc D.1(2,)2ca 10.已知函数()cos22cos cos3f xxxx=，则（）A.()f x的最大值为 1 B.63ff=C.()f x在 12 6,上单调递增 D.()f x的图象关于直线4x=对称.11.在棱长为 2 的正方体中，,M N分别是棱,AB AD
7、的中点，线段MN上有动点P，棱1CC 上点E满足113C CC E=以下说法中，正确的有（）A.直线1C P与BE是异面直线 B.直线1/C P平面BDE C.三棱锥1CC MN的体积是 1 D.三棱锥1CC MN的体积是 3 12.已知函数22()()()f xxx xaxb=+的图象关于直线2x=对称，则（）A.5ab+=B.()f x的最小值是3516 C.()f x图象与直线280 xy+=相切 D.()f x图象与直线12480 xy=相切 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填
8、写在答题卡相应位置上 13.命题2:,2 0pxR xmx+，若“非 p”为真命题，则 m 的取值范围是_ 14.已知函数22,0,()log,0,xxf xx x=则函数()2()g xf f x=的所有零点之积等于_ 15.在ABC中，已知BC，31cos32A=，1cos()8BC=，那么tan B=_ 16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上设外围第一个正方形1111DCBA的边长为1，往里第二个正方形为2222A B C D，往里第n个正方形为nnnnA B C D那么第 7个
9、正方形的周长是_，至少需要前_个正方形的面积之和超过 2（参考数据：lg20.301=，lg30.477=）四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 17.在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2 sin30bAa=（1）求角B的大小；（2）求coscoscosABC的取值范围 18.平面直角坐标系xOy中，已知点(cos,sin)E（其中0），将向量OE 逆时针方向旋转90，得到向量OF，记(1,0)A，
10、(0,1)B（1）求|AEAF+的最大值；（2）试判断两向量AE 与BF 的位置关系 19.如图，在三棱锥PABC中，90ACB=，PA 底面ABC （1）求证：平面PAC 平面PBC；（2）若ACBCPA=，M是PB的中点，记AM与底面ABC所成角为，AM与平面PBC所成角 为，试研究与的等量关系 20.已知首项14a=数列na的前n项和为nS，对任意Nn都有12nnanSn+=（1）求数列na的通项公式；（2）记2nnnac=，数列 nc的前n项和为nT，有12111nABTTT+恒成立，求BA的最小值 21.给定函数()(1).xf xxe=+（1）判断函数()f x的单调性，并求出()
11、f x的极值；（2）画出函数()f x的大致图象；（3）求出方程()()f xa aR=的解的个数 22 已知函数()ln(1)(ln)f xxax=+（实数0a）（1）若实数*Na，当,()0 x+时，()0f x 恒成立，求实数a的最小值；（2）证明：1(1)3nn+，则AB=（）A.0,)+B.40,)3 C.4(,43 D.(,0)【答案】C【解析】【分析】先求得集合A的范围、集合B的范围，最后取它们的交集即可.【详解】由题意，集合2404Ax xxxx=，43403Bxxx x=，所以444,433ABxx=）的周期为2，那么当20,3x时，()f x的取值范围是（）A.33,22
12、B.3,3 C.3,12 D.1,2【答案】B【解析】【分析】首先化简函数()f x，根据周期求，再根据函数的定义域求函数的值域.【详解】()2cos6f xx=+，22T=，1=，()2cos6f xx=+，20,3x，5,666x+，所以2cos3,36x+.故选：B 7.古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备如图，梯子的长度为a，梯脚落在巷中的M点，当梯子的顶端放到右边墙上的N点时，距地面的高度是h，梯子的倾斜角正好是45，当梯子顶端放到左边墙上的P点时，距地面的高度为 6 尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是75则小巷的宽度AB等
13、于（）A.6 尺 B.a尺 C.（2h+）尺 D.2ha+尺【答案】A【解析】【分析】连接PN,过N作NCPA于C，则/ABNC且ABNC=.证明出AMPCPN ，得到6NCPA=,即可求出AB.【详解】连接PN,过N作NCPA于C，则/ABNC且ABNC=.由题意可得：45NMB=，所以45MNCNMB=.因为180754560PMN=且PMMN=，所以PMN为等边三角形,即MNPNPM=.因为45MNC=，所以604515PNCMNPMNC=.而90907515APMAMP=,所以APMPNC=.因为90PAMPCN=，所以75PMANPC=.又PNPM=,所以AMPCPN(ASA),所以
14、6NCPA=,即6AB=.故选：A.8.已知实数2log 3a=，2cos36b=，2c=，那么实数,a b c的大小关系是（）A.bca B.bac C.abc D.acb【答案】B【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得到bc，利用对数函数的单调性可得到ac，假设在ABC中，ABAC=，36A=，角B的平分线交边AC于点D，利用长度关系和正弦定理可得到152cos362+=，然后利用作差法能得到ba，即可求解【详解】由于cos36cos45可得2cos362即bc，又由于2223log 3log9log822=，所以ac，假设在ABC中，ABAC=，36A=，角 B的平分线交边 AC 于点
15、 D，所以18036722CABC=，36CBDABD=，180367272BDC=，所以BCDABC,所以BCABCDBC=即2BCCDAB=，所以2BCADACCDABAB=，所以2BCBCBDADABAB=，所以22BC ABABBC=即21ABABBCBC=，解得152ABBC+=，在ABC中，sin72sin36ABBC=即sin722sin36 cos362cos36sin36sin36ABBC=，所以152cos362+=，由于5832即5ln38ln2，所以ln38ln25，所以28log 35a=，所以ba，所以bac 故选：B【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出152c
16、os362+=，需假设在ABC中，ABAC=，36A=，角 B 的平分线交边 AC于点 D，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分每小题给出的四个选项中，都分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得分，选错或不答的得 0 分请把分请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9.已知非零实数,a b c满足abc且0abc+=，则下列不等关系一
17、定正确的有（）A.ccab B.2caac+C.()()aaabbc D.1(2,)2ca 【答案】BD【解析】【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.【详解】因为非零实数,a b c满足abc且0abc+=，所以0,0ac，则110ab，则ccba，故 A错误；对于 B，因为0ca，所以cacaacac+=+，因为22cacaacac+=，当且仅当caac=时，即ac=时取到等号，所以2cacaacac+=+，故 B正确；对于 C，当2,1,3abc=时，2()11aab=，2()416abc=，显然不满足()()aaabbc，故 C 错误；对于 D，因为abc，0a，所以1b
18、caa，又0abc+=，所以cacaa，解得12ca，0c，所以1abcc，又0abc+=，所以1aacaccc=，解得12ac，所以20ca；综上，1(2,)2ca.故 D正确.故选：BD.10.已知函数()cos22cos cos3f xxxx=，则（）A.()f x的最大值为 1 B.63ff=C.()f x在 12 6,上单调递增 D.()f x的图象关于直线4x=对称【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，先利用余弦的和差公式化得()cos4f xx=，由此易得()f x的最大值为 1；对于 B，代入角易得63ff=；对于 C，由126x得2433x，先判断cosyx=在 2,33的
19、单调情况，从而判断()f x的单调情况；对于 D，由余弦函数的图像性质得到()f x的对称轴，由此可判断4x=为()f x的对称轴.【详解】()()cos22cos cos3cos 32cos cos3f xxxxxxxx=()()cos3 cossin3 sin2cos cos3cos3 cossin3 sincos 3xxxxxxxxxxxx=+=+cos4x=，对于 A，因为1cos41x，所以1cos41x ，即1()1f x，所以()f x的最大值为 1，故 A正确；对于 B，因为21cos632f=，4221coscos2cos33332f=，所以63ff=，故 B正确；对于 C，
20、因为126x，所以2433x，又因为cosyx=在,0,03 上单调递增，在20,0,3上单调递减，所以()cos4f xx=在 12 6,上先减后增，故 C错误；对于 D，因为cosyx=的对称轴为()Zxkk=，所以由4xk=得4kx=，可知()cos4f xx=的对称轴为()Z4kxk=，当1k=时，()f x的对称轴为4x=，故 D正确.故选：ABD.11.在棱长为 2正方体中，,M N分别是棱,AB AD的中点，线段MN上有动点P，棱1CC 上点E满足113C CC E=以下说法中，正确的有（）A.直线1C P与BE是异面直线 B.直线1/C P平面BDE C.三棱锥1CC MN的体
21、积是 1 D.三棱锥1CC MN的体积是 3【答案】ABC【解析】【分析】对 A 选项：可用异面直线的判定方法判断；对 B 选项：可通过证明面1/C MN面BDE得到直线1/C P平面BDE；的 对 C、D选项：将三棱锥1CC MN的体积转化为三棱锥1CCMN的体积计算.【详解】对 A 选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，因为P平面1BC，1C 平面1BC，BE 平面1BC，1C 直线BE，故直线1C P与BE是异面直线.对 B 选项：下面先证明面1/C MN面BDE，再证直线1/C P平面BDE.如图：连结AC与BD交于点O，与MN交
22、于点F，在正方形ABCD中，有3CFOF，又113C CC E=，故1/C F OE，又1C F 面1C MN，OE 面1C MN，所以/OE面1C MN，又/BD MN，MN面1C MN，BD 面1C MN，所以/BD 面1C MN，BD面BDE，OE 面BDE，BDOEO，所以面1/C MN面BDE.又1C P 面1C MN，故直线1/C P平面BDE，所以 B正确.对选项 C：113322 22242CMNSMN CF=，111111321332C C MNCCMNC MNVVSCC=，故 C正确 D不正确；故选：ABC 12.已知函数22()()()f xxx xaxb=+的图象关于直
23、线2x=对称，则（）A.5ab+=B.()f x的最小值是3516 C.()f x图象与直线280 xy+=相切 D.()f x图象与直线12480 xy=相切【答案】AD【解析】【分析】根据函数的对称性代入特殊值，求,a b，即可判断 A;利用换元，转化为二次函数求最值，即可判断 B；联立函数与直线方程，利用方程组解，判断交点处的导数，判断是否相切，即可判断 C；利用导数求函数在4x=处的切线方程，即可判断 D.【详解】因为()yf x=图象关于直线2x=对称，当3x=时，(3)(1)0ff=，于是930ab+=，当4x=时，(4)(0)0ff=，于是1640ab+=，于是7a=，12b=，
24、所以5ab+=，故 A 正确；2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f xxx xxx xxxxx xx=+=+，令 24txx=，4t ，则2()(3)3g tt ttt=+=+，4t ，因为2()3g ttt=+图象开口向上，对称轴是32t=，所以()g t的最小值为3924g=，故 B正确；联立方程()()()13482yx xxxyx=，解得：4x=或2x=或12x=，()()()()()()()222244342424283fxxxxxxxxxx=+=+，()4122f=，()202f=，()1218 10 22f=，所以()f x与直线280 xy+=不能相切，
25、故 C不正确；()()()224283fxxxx=+，()412f=，()40f=，所以函数()yf x=在4x=处的切线方程为12480 xy=，故 D正确.故选：AD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13.命题2:,2 0pxR xmx+，若“非 p”为真命题，则 m 的取值范围是_【答案】2 22 2m恒成立，所以 0，所以2420m，所以2 22 2m 故答案为：2 22 2m则函数()2()g xf f x=的所有零点之积等于_【答案】2【解析】【分析
26、】由题意，表示出函数()ff x解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.【详解】求函数()2()g xf f x=的所有零点，则等价于求方程()2ff x=的根，当0 x 时，()20 xf x=，则()2log 22xff xx=，解得2x=；当0 x 且1x 时，()2log0f xx=，则()22log log2ff xx=，22log log2x=，可得2log4x=，21log4x=，即2log4x=，21log4x=，解得x=116或16或42或412；当1x=时，()21log 10f=，()0121ff=，不符合题意.综上，441121622162=，故答案为：2.15.在
27、ABC中，已知BC，31cos32A=，1cos()8BC=，那么tan B=_【答案】5 79【解析】【分析】由题意，根据三角形内角和以及诱导公式和三角函数和差公式，建立方程组，可解得答案.【详解】由31cos32A=，且()ABC=+，则()31cos32BC+=，即得到31coscossinsin32BCBC=，由1cos()8BC=，得到1coscossinsin8BCBC+=，于是27coscos64BC=，35sinsin64BC=，故35tantan27BC=在ABC中，tantan3 7tan()tan1tantan31BCBCABC+=，于是2 7tantan9BC+=再由3
28、5tantan27BC=，解方程组得到5 7tan9B=或7tan3B=，由于BC，取5 7tan9B=故答案为：5 79.16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上设外围第一个正方形1111DCBA的边长为1，往里第二个正方形为2222A B C D，往里第n个正方形为nnnnA B C D那么第 7个正方形的周长是_，至少需要前_个正方形的面积之和超过 2（参考数据：lg20.301=，lg30.477=）【答案】.500729 .4【解析】【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长
29、公式、面积公式以及等比数列的通项、前 n项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形1111DCBA的边长为 1，所以2123A B=，2113B B=,由勾股定理有：22222112215333A BA BB B=+=+=，设第n个正方形nnnnA B C D的边长为nl，则 11l=，222111215333llll=+=，22111215333nnnnllll=+=，所以1115533nnnll=，所以第 7个正方形的周长是637655125500444433729729l=，第 n个正方形的面积为2212553
30、9nnnl=，则第 1 个正方形的面积为021519l=，则第 2 个正方形的面积为1225599l=，则第 3 个正方形的面积为22359l=，则第 n 个正方形的面积为1259nnl=，前 n个正方形的面积之和为115155959115994919nnnnS=+=，当1n=时，11951149S=，当2n=时，2295141499S=，当3n=时，339515114981S=，当4n=时，449514841249729S=，所以至少需要前 4个正方形的面积之和超过 2 故答案为：500729，4.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域
31、内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 17.在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2 sin30bAa=（1）求角B的大小；（2）求coscoscosABC的取值范围【答案】（1）3B=（2）1(0,8【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化为角后即可求出角B的大小；(2)已知3B=后可以将AC，全用B表示，将coscoscosABC表示为B的函数，利用三角恒等变换化为一般式求范围，注意锐角三角形对角范围的限制.【小问 1 详解】由正弦定理，2 sinbRB=，2 sincRC=，代入2 sin3
32、0bAa=，有2 2 sinsin32 sin0RBARA=，因为A是三角形的内角，sin0A，所以3sin2B=，在锐角ABC中，3B=【小问 2 详解】由（1），3B=，23AC+=，23CA=于2coscoscoscoscoscos()33ABCAA=113cos(cossin)222AAA=+231sincoscos44AAA=311 cos2sin2842AA+=11sin(2)468A=在锐角ABC中，由于3B=，有62A，52666A，于是1sin(2)(,162A，11sin(2)468A1(0,8 所以coscoscosABC的取值范围是1(0,8 18 平面直角坐标系xOy
33、中，已知点(cos,sin)E（其中0），将向量OE 逆时针方向旋转90，得到向量OF，记(1,0)A，(0,1)B（1）求|AEAF+的最大值；（2）试判断两向量AE 与BF 的位置关系【答案】（1）22+（2）两向量AE 与BF 平行【解析】【分析】（1）利用垂直向量的坐标表示，求得点F的坐标，利用模长公式以及三角函数恒等变换，可得答案；（2）利用平行向量的坐标表示，可得答案.【小问 1 详解】向量OE 逆时针方向旋转90，则OEOF，即0OE OF=，得到点(sin,cos)F，又因为(1,0)A，所以(cos1,sin)AE=，(sin1,cos)AF=，所以AEAF+(cossin2
34、,sincos)=+，是.所以|AEAF+22(cossin2)(sincos)=+2222cossin42sincos4cos4sinsincos2sincos=+14sin24cos4sin1 sin2=+2264 2cossin22=64 2sin4=+64 222+=+，所以|AEAF+最大值为22+，此时sin14=，34=【小问 2 详解】由题意，(cos1,sin)AE=，(sin,cos1)BF=+，因为22(cos1)(cos1)sin(sin)(cos1)sin0+=+=，所以(cos1)(cos1)sin(sin)+=，所以两向量AE 与BF 平行 19.如图，在三棱锥P
35、ABC中，90ACB=，PA 底面ABC （1）求证：平面PAC 平面PBC；（2）若ACBCPA=，M是PB的中点，记AM与底面ABC所成角为，AM与平面PBC所成角为，试研究与的等量关系【答案】（1）证明见解析 （2）2+=【解析】【分析】（1）由PA 底面ABC，可得PA BC，再结合AC BC，由线面垂直的判定定理可得BC的 平面PAC，再利用面面垂直的判定定理可得结论，（2）取AB的中点N，连接MN，可得MAN就是直线AM与底面ABC所成角，在直角MAN中可求得tan，取PC的中点H，连接AH HM,，可得AMH就是直线AM与平面PBC所成角，在直角AMH中可求得tan，从而可得答案
36、.【小问 1 详解】证明：因为PA 底面ABC，BC底面ABC，所以PA BC 又因为90ACB=，即AC BC，又因为,PA AC 平面PAC，且,PA AC相交于点A，所以直线BC平面PAC 又因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC【小问 2 详解】取AB的中点N，连接MN，由于M是PB的中点，有/MNPA，又因为PA 底面ABC，,AB AC 底面ABC，所以,PAAB PAAC，所以,MNAB MNAC，因为,ABACA AB AC=底面ABC，所以MN 底面ABC，所以MAN就是直线AM与底面ABC所成角 记2ACBCPAa=，则2 2ABa=，12MNPAa=在直角MAN中，
37、2tantan22MNaMANANa=，取PC的中点H，连接AH HM,，由于ACPA=，有AHPC 由（1）BC平面PAC，AH 平面PAC，所以BCAH 又因为,PC BC 平面PBC，,PC BC相交于点C，所以AH 平面PBC，所以AMH就是直线AM与平面PBC所成角 在直角AMH中，112 2222AHPCaa=，12MHBCa=，所以2tantan2aAMHa=，所以tantan1=，由于、都是锐角，所以2+=20.已知首项14a=的数列na的前n项和为nS，对任意Nn都有12nnanSn+=（1）求数列na的通项公式；（2）记2nnnac=，数列 nc的前n项和为nT，有1211
38、1nABTTT+恒成立，求BA的最小值【答案】（1）()1?2nnan=+；（2）1318.【解析】【分析】（1）依题意可得21nnnaSn=+，根据11,1,2nnnS naSSn=，作差得到121nnaann=+，即可得到 1nan+是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出na的通项公式；（2）由（1）可得1ncn=+，利用等差数列求和公式得到nT，即可得到12 11()33nTnn=+，利用裂项相消法求出12111nTTT+，从而得到12111nTTT+的取值范围，从而得解.【小问 1 详解】解：由12nnanSn+=得到21nnnaSn=+，当2n 时，112(1)nnnaSn=，两
39、式相减，有122(1)1nnnnanaann=+，得到12(1)(1)1nnnanann=+，由于2n，121nnaann=+，因为122a=，由上述递推关系知01nan+所以1nan+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12 21nnan=+，所以(1)2nnan=+【小问 2 详解】解：由（1）12nnnacn=+=，所以数列 nc的前n项和为(21)(3)22nnnn nT+=，则122 11()(3)33nTn nnn=+，所以121112 112 112 112 11()()()()3 143 253 3633nTTTnn+=+2 1111112 11111()()3 123123
40、3 1239nnn=+，121111112nTTTT+=，即1211111129nTTT+恒成立，结合题设恒成立，所以111139218BA=，所以BA的最小值为1318 21.给定函数()(1).xf xxe=+（1）判断函数()f x的单调性，并求出()f x的极值；（2）画出函数()f x的大致图象；（3）求出方程()()f xa aR=的解的个数【答案】（1）单调递增区间为()2,+；单调递减区间为(),2，极小值,()212fe=；（2）答案见详解；（3）当21ae 时，解为0个；当21ae=或0a 时，解为1个；当210ae，即2x ，令()0fx=，即2x=，令()0fx，即2x
41、，所以函数的单调递增区间为()2,+；单调递减区间为(),2，2x=为极小值点，所以函数的极小值为()212fe=.（2）函数()f x的大致图象，如图所示：（3）方程解的个数等价于()yf x=于ya=的交点个数.作出()f x与ya=的图象，由图可知当21ae 时，方程()()f xa aR=的解为0个；当21ae=或0a 时，方程()()f xa aR=的解为1个；当210ae）（1）若实数*Na，当,()0 x+时，()0f x 恒成立，求实数a的最小值；（2）证明：1(1)3nn+，()f x在(0,)+上单调递增，()(0)0f xf=舍去；当2a=时，令1()ln201fxx=+
42、，得110ln2x=，当11ln(0,)2x时，()0fx，()f x在11ln(,20)上单调递增，此区间上()(0)0f xf=舍去；当3a 时，由于1(0,1)1x+，ln1a，1()ln1fxax=+恒小于零，()f x在(0,)+上单调递减，()(0)0f xf=，满足题意 综合上述，实数a的最小值为 3【小问 2 详解】由（1），当3a=时，()0f x 恒成立，即ln(1)(ln3)0 xx+，于是ln(1)(ln3)xx+取1xn=，有11ln(1)(ln3)nn+，所以1ln(1)ln3nn+，即1ln(1)ln3nn+，所以1(1)3nn+【点睛】利用导数证明不等式恒成立，根据导数与单调性的关系，求解函数与端点值之间的大小关系，因此，在解题时，观察不等式与函数端点值的关系，清晰解题思路.
