1、 2020 届广州市高三年级调研测试 理科数学 2019.12 本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔在答 题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后
2、再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不 按以上要求作答无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1如图 1，已知全集 U=Z，集合 A2，1，0，1，2，集合 B=1，2，3，4，则图中阴影部分表示 的集合是（ ） A3，4 B2，1，0 C1，2 D2，3，4 2已知Z= i i 1 1 2 （i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 3 1 2 1 a，3log2b，6log4c，则a
3、,b,c的大小关系为（ ） A bca B cba C cba D bca 4已知实数yx,满足 042 033 022 yx yx yx ，则yxz3的最小值为（ ） A-7 B-6 C1 D6 5某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过 考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校 的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为 m， 3 1 ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 24 1 ，至少进入一个社团的概率为 4 3 ，且mn则 nm（ ） A 2 1 B 3 2 C 4 3
4、D 12 5 6如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 7已知F为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为 D，且满足OFFD 2 1 （O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A 3 32 B2 C3 D 3 10 8函数 lnsin,0fxxxxx且的大致图像是（ ） A B C D 9如图3，在ABC中，, 1,3,ADBDBCABAD则 ADAC（ ） A 3 B3 C 3 D-3 101772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球
5、距离太阳的平均距离为1 0，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表： 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此定 则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果 然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估算从水 星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A388 B772 C1540 D3076 11已知点A,B关于坐标原点O对称，1AB，以M为圆
6、心的圆过A,B两点，且与直线012y相切 ，若存在定点P，使得当A运动时，MPMA 为定值，则点P的坐标为 A 4 1 0， B 2 1 0， C 4 1 0， D 2 1 0， 12已知偶函数 xf满足xfxf44，且当4 , 0x时， 2 x xexf ，若关于x的不等式 200,2000 2 在xafxf上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是 A 2 2 3 4,3ee B 2 1 2 3 ,3ee C 2 3 1 3,2ee D 2 2 1 4,ee 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13已知 3 4 4 tan0 ，则cossin_. 14若 n x x 1 3
7、展开式的二项式系数之和是 64， 则展开式中的常数项 的值是_. 15已知某三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 6 125 ，三视图 如图 3 所示，则其侧视图的面积为_. 16在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为cba,，记ABC的 面积为S，且 222 24cba，则 2 a S 的最大值为_. 三三解答题：共解答题：共 70 分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第 1321 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第必须作答。第 22,23 题为选考题，考生根题为选考题，考生根据要求作答。据要求作答。 （
8、一）必考题：共 60 分。 17（12分）已知 n a为单调递增的等差数列，18 52 aa，80 43 aa，设数列 n b满足 422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb， Nn. （1）求数列 n a的通项；（2）求数列 n b的前n项和 n S. 18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是变成为2的菱形，ABC=60，平面 AEFC平面 ABCD， EFAC，AE=AB,AC=2EF. （1）求证：平面BED平面 AEFC； （2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EAAC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。 19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月 180
9、0 元/人， 设每月每人配送的单数为 X， 若 X1， 300，每单提成 3 元，若 X（300，600），每单提成 4 元，若 X（600，+），每单提成 4.5 元，B 公司配送员底薪是每月 2100 元，设每月配送单数为 Y，若 Y1，400，每单提成 3 元， 若 Y（400，+），每单提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之间选择一份配送员工作，他随机 调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：A公司配送员甲送餐量统计 日送餐量x（单） 13 14 16 17 18 20 天数 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送员
10、乙送餐量统计 日送餐量x（单） 11 13 14 15 16 18 天数 4 5 12 3 5 1 （1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当 X=Y 且 X，Y300，600 时，比较f（X）与g（Y）的大小关系 （2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率 （i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y） （ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 20.（12分）已知椭圆01 3 2 2 2 a y a x C：的右焦点F到左顶点的距离为3. （1）求椭圆C的方程； （2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A
11、,B两点（A,B不在x轴上），若OBOAOE,延 长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值. 21.（12分）已知函数 .ln 2 xkxxxf （1）讨论函数 xf的单调性； （2）若函数 xf有两个极值点 21,x x，证明： .2 4 1 11 kxfxf （二）选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 。 22.（10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 m my m mx 1 1 （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 . 03cossin3
12、 （1）求曲线C和直线l的直角坐标系方程； （2）已知1 , 0P直线l与曲线C相交于A,B两点，求 PBPA 11 的值 23. 【选修45：不等式选讲】（10分） 已知 .22axxxaxxf （1）当2a时，求不等式 0xf的解集； （2）若ax,时， 0xf ，求 a的取值范围. 答案答案解析解析 一选择题：本大题共一选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1如图 1，已知全集 U=Z，集合 A2，1，0，1，2，集合 B=1，2，3，4，则图中阴影
13、部分表示 的集合是（ ） A3，4 B2，1，0 C1，2 D2，3，4 答案答案：A 考点考点：集合的运算。 解析解析：由图可知，阴影部分表示（CUA）B3，4 2已知Z= i i 1 1 2 （i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案答案：C 考点考点：复数的运算。 解析解析： 22 (1) 1 12 iii Zi i ，对应点为（1，1） ， 在第三象限，选 C。 3已知 3 1 2 1 a，3log2b，6log4c，则a,b,c的大小关系为（ ） A bca B cba C cba D bca 答案答案：D 考点考点：对
14、数运算，指数运算。 解析解析： 3 1 2 1 a 0 1 2 1， 3log2b 2 log 21，6log4c 4 log 41，所以，a 最小， 6log4c 22 1 log 6log6 2 ， 因为36，所以，bc， 所以，bca 4已知实数yx,满足 042 033 022 yx yx yx ，则yxz3的最小值为（ ） A-7 B-6 C1 D6 答案答案：A 考点考点：线性规划。 解析解析：不等式组表示的平面区域如下图所示， 目标函数经过点 A（2,3）时，取得最小值为7，故选 A。 5某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过 考核选拔
15、进入这三个社团成功与否相互独立，2019 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校 的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为 m， 3 1 ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 24 1 ，至少进入一个社团的概率为 4 3 ，且mn则 nm（ ） A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 12 5 答案答案：C 考点考点：事件的概率。 解析解析：依题意，有： 11 324 mn ，即 1 8 mn ， 又 1 1 (1) 3 （1m） （1n） 4 3 ， 即 5 () 8 mnmn ， 解得： 153 884 mn，故选 C。 6如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印
16、一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 答案答案：B 考点考点：程序框图。 解析解析：点有： （3，6） ，i5， （2，5） ，i4， （1，4） ，i3， （0，3） ，i2， （1，2） ，i1， （2，1） ，i0，结束， 共有 6 个点，圆x2+y2=25内的点有 4 个，选 B。 7.已知F为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足OFFD 2 1 （O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A 3 32 B2 C3 D 3 10 答案答案：A 考点考点：双曲线的性质。 解析解析：设
17、F（c，0） ，双曲线的渐过线为： b yx a ， 因为OFFD 2 1 ， FD 22 |bc ab 1 2 c， 解得： 22 3ab， 离心率为： 2 2 1 cb e aa 3 32 8函数 lnsin,0fxxxxx且的大致图像是（ ） A B C D 答案答案：D 考点考点：函数的图象，对数函数，正弦函数的性质。 解析解析：()( )fxf x，为偶函数，函数图象关于 y 轴对称，故排除 B， x时，( )lnf1，排除 C； 当0 2 x 时，( )lnsinf xxx是增函数， 当 2 x 时，lnx 递增，sinx 递减，故选 D。 9如图3，在ABC中，, 1,3,ADB
18、DBCABAD则 ADAC（ ） A 3 B3 C 3 D-3 答案答案：A 考点考点：平面向量。 解析解析：,ADAB0AB AD AC AD()ABBC ADAB ADBC ADBC AD 3BD AD3()ADAB AD 2 3|AD3 101772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离 为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表： 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律） ，当时德国数学家高斯根据此定则 推算，火星和木
19、星之间距离太阳 28 还有一颗大行星，1801 年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果 然找到了火星和木星之间距离太阳 28 的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估算 从水星开始由近到远算，第 10 个行星与太阳的平均距离大约是 A388 B772 C1540 D3076 答案答案：B 考点考点：数列的递推。 解析解析：7431， 10731， 1610632，即第 4 个：161032 281612322，即第 5 个：2816322 522824323，即第 6 个：5228323 1005248324，即第 7 个：10052324 依次类推：第 8 个：100325196，
20、第 9 个：196326388， 第 10 个：388327772，选 B 11已知点A,B关于坐标原点O对称，1AB，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线012y相切 ，若存在定点P，使得当A运动时，MPMA 为定值，则点P的坐标为 A 4 1 0， B 2 1 0， C 4 1 0， D 2 1 0， 答案答案：C 考点考点：动点的轨迹，抛物线的定义。 解析解析：设 M（x，y） ， 圆 M与直线012y相切，圆 M 的半径 R |21| 2 y ， 1AB，又点 A、B 关于原点 O 对称， 所以，AO 1 2 在直角三角形 AOM 中， 2 222 (21)1 () 44 y xy ，
21、解得： 2 xy ， M 点的轨迹 2 xy 是以点（0， 1 4 ）为焦点， 1 4 y 为准线的抛物线， 定点 P 为（0， 1 4 ）， MP 1 4 y， MAR |21| 2 y 1 2 2 y ， MAMP 1 2 2 y （ 1 4 y） 1 4 为定值。 所以，点 P 的坐标为（0， 1 4 ） 12已知偶函数 xf满足xfxf44，且当4 , 0x时， 2 x xexf ，若关于x的不等式 200,2000 2 在xafxf上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是 A 2 2 3 4,3ee B 2 1 2 3 ,3ee C 2 3 1 3,2ee D 2 2 1 4,
22、ee 答案答案：D 考点考点：函数的奇偶性，周期性，函数的导数及其应用。 解析解析：偶函数 xf满足xfxf44， 所以，(8)()( )f xfxf x，(4)(4)f xf x， 所以，函数( )f x的周期为 8，且函数( )f x关于直线 x4 对称， ( )f x在200,200上含有 50 个周期，且在每个周期内都是轴对称图形， 关于x的不等式 2 00,4fxaf x 在上有且只有3个整数解， 当4 , 0x时， 22 1 2 xx fxexe 2 1 (1) 2 x ex ， 所以，( )f x在0,2上单调递增，在（2,4上单调递减， f（0）0，f（1） 1 2 e 0，同
23、理有 f（2）0，f（3）0，f（4）0， 当a 0 时，不等式 2 00,4fxaf x 在上有4个整数解，不含题意， 所以，a0， 由 2 0fxaf x得( )f x0 或( )f xa， 显然( )f x0 在0,4上无整数解， 所以，( )f xa 在（0，4上有 3 个整数解，分别为 1，2，3， 所以，af（4）4 2 e， af（1） 1 2 e ， af（3）3 3 2 e ， 所以， 1 2 2 4eae 选 D。 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13已知 3 4 4 tan0 ，则cossin_. 答案答案： 4 2 5 考点考点：三角恒等变换。 解析解析
24、： tan14 tan 41tan3 ，解得： 1 tan 7 ， 即 sin1 cos7 ，又 22 sincos1， 0，得： 2 sin 10 ， 7 2 cos 10 ， cossin 4 2 5 14若 n x x 1 3展开式的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数项的值是_. 答案答案：135 考点考点：二项式定理。 解析解析：二项式系数之和是 64，所以，2n64，解得：n6， 3 6 66 2 166 1 (3 )()3 k kkkkk k TCxC x x ， 3 6 2 k0，得：k4， 所以常数项的值为： 24 6 3 C135 15已知某三棱锥的侧棱长大于底边长，其
25、外接球体积为 6 125 ，三视图如图 3 所示，则其侧视图的面积 为_. 答案答案：6 考点考点：三视图。 解析解析： 16在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为cba,，记ABC的面积为S，且 222 24cba，则 2 a S 的最大值为_. 答案答案： 10 6 考点考点：三角函数，二次函数，运算能力。 解析解析： 17.（12分）已知 n a为单调递增的等差数列，18 52 aa，80 43 aa，设数列 n b满足 422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb， Nn. （2）求数列 n a的通项；（2）求数列 n b的前n项和 n S. 解解： （1） 3425
26、18aaaa，又80 43 aa 数列是递增的，解得： 34 810aa ， 所以，公差d2，首项 1 a4，所以，22 n an （2）422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb 1 231 1231 222224 n an n bbbb n2 -得：3 2n n b ，n2， n1 时， 1 b6 也满足上式， 所以，3 2n n b ， 数列 n b是以 6 为首项，2 为公式的等比数列， 1 6(1 2 ) 3 26 1 2 n n n S 18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，平面 AEFC平面 ABCD， EFAC，AE=AB,A
27、C=2EF. （1）求证：平面BED平面 AEFC； （2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EAAC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。 解解： （1）平面 AEFC平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCDAC， 菱形 ABCD 中，BDAC， 所以，BD平面 AEFC， 又 BD平面 BED，所以，平面 BED平面 AEFC （2）平面 AEFC平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCDAC， EAAC，所以，EA平面 ABCD， 直角梯形中，AC2EF，设 AC 交 BD 于 O，连结 FO，则有 AOEF，AOEF， 所以，AOFE 为平行四边形，所以 OFEA， 所以，FO平
28、面 ABCD， 菱形 ABCD 中，ABC=60，所以，三角形 ABC 为等边三角形， 设 OC1，则 OFAEAB2，OBOD3， B（3，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（3，0，0）， BC（3，1，0），BF（3，0，2）， 设平面 BCF 的法向量为( , , )mx y z， 则 30 320 xy xz ，令2x ，可得：m（2,23，3）， 同理可求得平面 DCF 的法向量n（2,23，3）， 求得二面角 B-FC-D 的余弦值为 11 9 19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若 X1，300，每单提成 3
29、元，若 X（300，600），每单提成 4 元，若 X（600，+）， 每单提成 4.5 元，B 公司配送员底薪是每月 2100 元，设每月配送单数为 Y，若 Y1，400， 每单提成 3 元，若 Y（400，+），每单提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之间选择一 份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员 甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：A公司配送员甲送餐量统计 日送餐量x（单） 13 14 16 17 18 20 天数 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送员乙送餐量统计 日送餐量x（单） 11 13 14 15 16 18 天数
30、4 5 12 3 5 1 （1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当 X=Y 且 X，Y300， 600时，比较f（X）与g（Y）的大小关系 （2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率 （i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y） （ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 解解：(1) X=Y 且 X，Y300，600, 所以，g（Y）g（X）， 当 X（300，400时， f（X）g（Y）f（X）g（X）（18004X）（21003X）X3000， 当 X（400，600时， f（X）g（Y）f（X）g（X）（
31、18004X）（21004X）3000， 当 X（300，400时，f（X）g（Y） 当 X（400，600时，f（X）g（Y） （2）（i）送餐量 X 的分布列为： X 13 14 16 17 18 20 P 1 15 1 5 2 5 1 5 1 15 1 15 送餐量 Y 的分布列为： Y 11 13 14 15 16 18 P 2 15 1 6 2 5 1 10 1 6 1 30 则 20.（12分）已知椭圆01 3 2 2 2 a y a x C：的右焦点F到左顶点的距离为3. （3）求椭圆C的方程； （4）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若 O
32、BOAOE,延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值. 解解： 21.（12分）已知函数 .ln 2 xkxxxf （1）讨论函数 xf的单调性； （2）若函数 xf有两个极值点 21,x x，证明： .2 4 1 11 kxfxf 解解： （1）定义域为（0，）， （二）选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22.（10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 m my m mx 1 1 （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的 极坐标方程为. 03cossin3 （1）求曲线C和直线l的直角坐标系方程； （2）已知1 , 0P直线l与曲线C相交于A,B两点，求 PBPA 11 的值 解解： 24. 【选修45：不等式选讲】（10分） 已知 .22axxxaxxf （1）当2a时，求不等式 0xf的解集； （2）若ax,时， 0xf ，求 a的取值范围.
