1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 24 概率与统计强化训练概率与统计强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年江苏预赛】将 1，2，3，4，5，6，7，8，9这 9 个数随机填入的方格表中，每个小方格恰 填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是_. 【答案】. 【解析】 要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满 足条件的填法共有种.因此所求的概率为. 故答案为： 2 【2018 年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成
2、三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率 _ 【答案】 【解析】 如图，正 9 边形中包含中心的三角形有以下三种形状： 对于（1） ，有 3 种情况；对于（2） ，有 9 种情况：对于（3） ；有 18种情况；故所求概率为 ，故答案为： 3【2018 年安徽预赛】 从 1， 2， ， 10 中随机抽取三个各不相同的数字， 其样本方差的概率=_. 【答案】 【解析】 的样本方差，当且仅当是连续的正整数. 故. 故答案为： 4 【2018 年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的 概率为_. 【答案】 【解析】 设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种
3、不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则 . 若的值都相等，则种不同的情况； 若恰好取两个不同的值，则种不同的情况； 若恰好取 3 个不同的值，则种不同的情况； 若恰好取 4 个不同的值，则种不同的情况. 因此，满足的情况共有（种）. 故所求的概率为. 5 【2018 年甘肃预赛】 某市公租房房源位于三个小区， 每位申请人只能申请其中一个小区的房子 申 请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意 4 位申请人中，恰有 2 人申请 小区房源的概率是 _ 【答案】 【解析】 本题为古典概型， 6 【2018 年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下
4、，规定谁先掷出正面朝上为赢；前 一场的输者，则下一场先掷若第一场甲先掷，则甲赢得第 场的概率为_ 【答案】 【解析】 设甲赢得第 场的概率为，在每一场先掷的人赢得的概率为， 所以， 由此得， 因此 7 【2018 年福建预赛】 从如图所示的， 由 9个单位小方格组成的，方格表的 16 个顶点中任取三个顶点， 则这三个点构成直角三角形的概率为_ 【答案】 【解析】 先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数 如图所示，根据矩形特点，由这 16 个点可以构成个不同的矩形 又每个矩形可以分割成 4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同 因此，可得个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三
5、角形 再算直角顶点不在矩形顶点： （1）在的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为的直角三角形两个而矩形 横向、纵向各有 6个，故共有个 （2）在的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为的直角三角形 4个，边长分别 为的直角三角形 4个而矩形横向、纵向各有两个，故共有个 所以，所求的概率 8 【2016 年新疆预赛】在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为_. 【答案】 【解析】 设是半径为 1 的圆的任一内接三角形，且所对的弧长分别为.则所对的弧长为 . 对于，有 该不等式组所表示的区域面积为. 若为锐角三角形，则 该不等式组所表示的区域面积为. 从而，所求
6、的概率为. 9 【2016 年江苏预赛】若小张每天的睡眠时间在小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时 间不少于 7 小时的概率为_ 【答案】 【解析】 设小张连续两天睡眠的时间分别为 x、y小时 将可能出现的事件记作，其对应坐标平面中正方形 ABCD 的边及其内的点 小张连续两天平均睡眠时间不少于 7 小时，即对应五边形 EBCDF 边及其内的点，如图 因此，所求事件的概率为 10 【2016 年湖南预赛】在一个均有小正方体的六个面中，三个面上标数字 0，两个面上标数字 1，一个面 上标数字 2. 将该小正方体抛掷两次，则朝上的数之积的数学期望为_. 【答案】 . 【解析】 解：一个均
7、匀小正方体的 6 个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标以数 2 将这个小正方体抛掷 2 次，向上的数之积可能为 =0，1，2，4， 11 【2016 年湖北预赛】袋子中有五个白球、四个红球和三个黄球，从中任意取出四个球，各种颜色的球均 有的概率_. 【答案】 【解析】 取出的球有三种可能：两白一红一黄，一白两红一黄，一白一红两黄.故所求概率为 . 12 【2016 年河南预赛】甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛 10 次，乙抛 11 次。则乙出现 正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为_。 【答案】 【解析】 设“甲乙各自独立抛 10 次时， 乙出现正
8、面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多”为事件 .则所求事件的 概率为. 13 【2016 年安徽预赛】等可能地随机产生一个正整数.则 x 在二进制下的各位数字之和 不超过 8 的概率为 _. 【答案】 【解析】 设 x1，2，2 016的二进制表示为,即. 特别地，2016 的二进制表示为. 接下来考虑满足的 x 的个数，其充分必要条件为 ,且. 如此 x 的个数为. 从而，二进制下的各位数字之和不超过 8 的 x 的个数为 因此，所求概率. 14 【2018 年甘肃预赛】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举 办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过
9、一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关 的概率依次是. （1）求男生闯过四关的概率； （2）设 表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量 的分布列和期望. 【答案】 （1） ； （2）见解析 【解析】分析： （1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出； （2）记女生四关都闯过为事件 ，则的取值可能为 0，1，2，3，4，利用相互 独立事件的概率公式即可得出. 详解： （1）记男生四关都闯过为事件 ，则； （2）记女生四关都闯过为事件 ，则， 因为 ， ， ， ， 所以 的分布如下： . 点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了 推理能力与
10、计算能力. 15 【2016 年上海预赛】设 n 为给定的大于 2 的整数。有 n 个外表上没有区别的袋子，第 k(k=1,2, ,n)个袋 中有 k 个红球， n-k 个白球。 将这些袋子混合后， 任选一个袋子， 并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。 求第三次取出的为白球的概率。 【答案】 【解析】 设选出的是第 k 个袋子，连续三次取球的方法数为 n(n-1)(n-2). 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形: (白，白，白)取法数为 (n-k)(n-k-1)(n-k-2)， (白，红，白)取法数为 k(n-k)(n-k-1)， (红，白，白)取法数为 k(n-k)(n-k
11、-1)， (红，红,白)取法数为 k(k-1)(n-k). 从而，第三次取出的是白球的种数为 （n-k） （n-k-1） （n-k-2）+k（n-k） （n-k-1）+k（n-k） （n-k-1）+k（k-1） （n-k） =（n-1） （n-2） （n-k）. 则在第 h 个袋子中第三次取出的是白球的概率为 而选到第 k 个袋子的概率为 ，故所求的概率为 16 【2016 年甘肃预赛】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成 A、B、C 三个项目.已知选手甲完成 A、B、C 三个项目的概率分别为.每个项目之间相互独立. （1）选手甲对 A、B、C 三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率
12、. （2）该活动要求项目 A、B 各做两次，项目 C 做三次.若两次项目 A 均完成，则进行项目 B，并获得积分 a； 两次项目 B 均完成，则进行项目 C，并获积分 3a；三次项目 C 只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分 6a（积分不累计） ，且每个项目之间互相独立.用 X 表示选手甲所获积分的数值，写出 X 的分布列并求数学 期望. 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 （1）设选手甲对 A、B、C 三个项目记为事件 A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件 D. 则. （2）X 的取值分别 0、a、3a、6a.则 ， ， ， . 于是，X 的分布列如表 1. 表 1 X 0 a 3a 6a P 故.
