1、甘肃高台高三数学上册期中试卷理 1 / 24 甘肃省高台县第一中学 2020 届高三数学上学期期中试题 理 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分）请将答案写在答题卡上）请将答案写在答题卡上. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2若复数满足，则（ ） A5 B C25 D 3.正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ） A B C D 4等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A B C D 5.过抛物线的焦点的直线 交抛物线于、两点， 如果 ，则|=（ ） A6 B7 C8 D9 6.在圆心角为 9
2、0的扇形中， 以圆心 O 为起点作射线 OC，则使得AOC 与BOC 都不小于 15的概率为( ) A.1 4 B 1 3 C. 1 2 D2 3 7.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD1，AA1，点 O 为长方形 ABCD 对角线的交 点，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AD1与 OE 所成的角为（ ） 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 2 / 24 A30 B45 C60 D90 8.在中，内角，的对边分别是，外接圆半径为，若 ， 且的面积为， 则（ ） A. B. C. D. 9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平行移动 个单位 B. 向右平行移动
3、 个单位 C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 10.在三棱锥 PABC 中，点 P，A，B，C 均在球 O 的球面上，且 ABBC，AB8，BC6， 若此三棱锥体积的最大值为，则球 O 的表面积为 A B C D 11. 已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零 点 设数列的前项和为， 若不等式对任意正整数恒成 立，则实数 a 的取值范围为 A（0，） B（0，） C（0，） D（0，1） 12.已知函数在上至少存在两个不同的 满足，且函数在上具有单调性，和 分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是 （ ） 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 3 / 24
4、 A函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 B函数图象关于直线对称 C函数图象关于点对称 D函数在上是单调递减函数 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13展开式中的常数项为 14已知f(x)x 32x2x6，则 f(x)在点P(1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积等于 15将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读， 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有_种. 16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若 ，为坐标原点，则 _. 三、解答题三、解答题（6 6 个小题
5、，共个小题，共 7070 分分) ) 17.（12 分）已知数列是递增的等差数列，且，成等比 数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值. 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 4 / 24 18.(12 分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生 平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表： 平均每天锻炼的 时间/分钟 0，10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标” （1）请根据上述表格
6、中的统计数据填写下面 22 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 20 110 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别 有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体会交 流， 求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ 从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人数为X， 求X的分布列和数学期望 参考公式：K 2 ，其中n=a+b+c+d 临界值表 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 5 / 24 P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010
7、 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 19.三棱锥A-BCD中，ABC和BCD所在平面互相垂直，且BCBD4，AC42，CD 43，ACB45，E，F分别为AC，DC的中点 (1)求证：平面ABD平面BCD； (2)求二面角E-BF-C的正弦值 20.(12 分)已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线 （，）的渐近线为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两 点，设直线和的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该 定值；若不是定值，请说明理由. 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 6 / 24 21 （12 分）已知函数
8、（1）讨论函数的单调性； （2） 当时， 令函数， 当时， 恒有， 求实数的取值范围 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答, ,如果多做如果多做, ,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 【选修【选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 22 （10 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程； （2）已知，直线 与曲线交于，两点，求的最大值 【选修【选修 4 4- -5 5：不等式选讲不等式选讲】 23 （10 分）已知函
9、数 （1）求不等式的解集； 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 7 / 24 （2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范 围 高台县第一中学高台县第一中学 20192019 年秋学期高三年级期中考试年秋学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 试卷命制： 审题教师： 三、三、选择题（本大题共选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分）请将答案写在答题卡上）请将答案写在答题卡上. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由集合，则或， 又，所以. 2若复数满足，则（ ） A5 5 B C2525 D 【答案
10、】A 【解析】由，得，所以，所以 3.正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ） A B C D 【答案 C 4等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A B C D 【答案】B 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 8 / 24 5.过抛物线的焦点的直线 交抛物线于、两点， 如果 ，则|=（ ） A6 B7 C8 D9 【答案】C 6.如图，在圆心角为 90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC与BOC 都不小于 15的概率为( ) A.1 4 B1 3 C.1 2 D2 3 解析：在 AB 上取C1，C2两点使AOC115，BOC215，则满足条件的射线OC 落在C1OC2内部，C1O
11、C260，则所求概率为60 90 2 3.故选 D. 答案：D 7.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD1，AA1，点 O 为长方形 ABCD 对角线的交 点，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AD1与 OE 所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 9 / 24 8.在中，内角，的对边分别是，外接圆半径为，若 ， 且的面积为， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，由正弦定理得， 的面积为， 则，代入得， 由余弦定理得，. 9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平行移动 个单位 B. 向右平行移动
12、个单位 C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 【答案】D 【详解】由题将函数可化为， 将的图象转换为，该图象向右平移个单位， 即可得到的图象 10.在三棱锥 PABC 中，点 P，A，B，C 均在球 O 的球面上，且 ABBC，AB8，BC6， 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 10 / 24 若此三棱锥体积的最大值为，则球 O 的表面积为 A B C D 12. 已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零 点 设数列的前项和为， 若不等式对任意正整数恒成 立，则实数 a 的取值范围为 A（0，） B（0，） C（0，） D（0，1） 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 11 / 2
13、4 12.已知函数在上至少存在两个不同的 满足，且函数在上具有单调性，和 分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是 （ ） A函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 B函数图象关于直线对称 C函数图象关于点对称 D函数在上是单调递减函数 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 12 / 24 四、四、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13展开式中的常数项为 240240 14已知f(x)x 32x2x6，则 f(x)在点P(1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积等于 【解析】 f(x)x 32x2x6
14、， f(x)3x 24x1，f(1)8， 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 13 / 24 故切线方程为y28(x1)，即 8xy100， 令x0，得y10，令y0，得x5 4， 所求面积S1 2 5 410 25 4 . 15将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读， 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有_种. 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 、先将甲、乙等 5 位同学分成 3 组： 若分成 122 的三组，有=15 种分组方法， 若分成 113 的三组，有=10 种分组方法， 则将 5 人分成 3 组，有 15+10=25 种分组方法； 、将
15、分好的三组对应三所大学，有 A3 3=6 种情况， 则每所大学至少保送一人的不同保送方法 256=150 种； 16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若 ，为坐标原点，则 _. 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 14 / 24 三、解答题三、解答题（6 6 个小题，共个小题，共 7070 分分) ) 17.（12 分）已知数列是递增的等差数列，且，成等比 数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值. 【答案】 （1）； （2）. 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 15 / 24 【解析】 （1）设的公差为（） ， 由条件得，. （2）， . 由，得.满足的
16、最小的的值为. 18.(12 分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三 学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表： 平均每天锻炼的 时间/分钟 0，10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标” （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 20 110 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与 性别有关？ （2）在“锻炼
17、达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 16 / 24 会交流， 求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ 从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人数为 X，求X的分布列和数学期望 参考公式：K 2 ，其中n=a+b+c+d 临界值表 P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 17 / 24 19.19.如图如图，三棱锥三棱锥A A- -BCDBCD中中，ABCABC和和BCDBC
18、D所在平面互相垂直所在平面互相垂直，且，且BCBCBDBD4 4，ACAC4 42 2， CDCD4 43 3，ACBACB4545，E E，F F分别为分别为ACAC，DCDC的中点的中点( (导学号导学号 55460186)55460186) 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 18 / 24 (1)(1)求证：平面求证：平面ABDABD平面平面BCDBCD； (2)(2)求二面角求二面角E E- -BFBF- -C C的正弦值的正弦值 练方法练方法 练规范练规范 练满分练满分 练能力练能力 (1)(1)证明：证明：由由BCBC4 4，ACAC4 42 2，ACBACB4545， 则则ABAB
19、4242（4 4 2 2）2 2244244 2 2cos 45cos 454 4， ACAC 2 2 BCBC 2 2 ABAB 2 2， ，则则ABCABC9090，ABABBCBC. .(2(2 分分) ) 又平面又平面ABCABC平面平面BCDBCD，平面平面ABCABC平面平面BCDBCDB BC C，ABAB 平面平面ABCABC， ABAB平面平面BCDBCD. . 又又ABAB 平面平面ABDABD， 故平面故平面ABDABD平面平面BCDBCD.(4.(4 分分) ) (2)(2)解：解： 由由BCBCBDBD，点点F F为为DCDC的中点的中点，知知BFBFDCDC. .
20、CDCD4 43 3知知CFCF2 23 3， 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 19 / 24 则则 sinsinFBCFBC2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 ， FBCFBC6060，则则DBCDBC120120，(6(6 分分) ) 如图所示如图所示，以点以点B B为坐标原点为坐标原点，以平面以平面DBCDBC内内与与BCBC垂直的直线为垂直的直线为x x轴轴，以以BCBC为为y y轴轴，以以BABA 为为z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 则则B B(0(0，0 0，0 0) )，A A(0(0，0 0，4 4) )，C C(0(0，4 4，0 0) )，E E(0(0
21、，2 2，2 2) )，D D(2(23 3，2 2，0 0) )，F F( (3 3，1 1，0 0) )， (8(8 分分) ) BEBE (0(0，2 2，2 2) )，BFBF ( (3 3，1 1，0 0) )， 显然平面显然平面CBFCBF的一个法向量为的一个法向量为n n1 1(0(0，0 0，1 1) )， 设平面设平面BEFBEF的法向量为的法向量为n n2 2( (x x，y y，z z) )， 取取x x1 1，得一个法向量得一个法向量n n2 2(1(1，3 3，3 3) )(10(10 分分) ) 设二面角设二面角E E- -BFBF- -C C的大小为的大小为， 则
22、则| |coscos| | |coscosn n1 1，n n2 2| |n1n2| |n1n2| |n1|n2|n1|n2| 3 3 7 7 2121 7 7 . . 因此因此 sinsin2 2 7 7 7 7 ，则二面角则二面角E E- -BFBF- -C C的正弦值为的正弦值为2 2 7 7 7 7 . .(12(12 分分) ) 20.(12 分)已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 20 / 24 （，）的渐近线为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两 点，设直线和的斜率为，试判断是否为定值
23、，若是定值，求出该 定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】 （1）； （2）见解析. 【解析】 （1）由题意可知：， 双曲线的离心率， 则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则. 椭圆的标准方程：. （2）设直线的方程为.， 消去整理得：. 设，则， ， 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 21 / 24 将， 代入上式得，即. 21 （12 分）已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2） 当时， 令函数， 当时， 恒有， 求实数的取值范围 【解析】 （1） 当时， 在上， 函数单调递减； 在上， 函数单调递增； 当时， 在上， 函数单调递增； 在上， 函数单调递减 综上，当时，递减区间为，递增区间为
24、；当时，递增区间 为，递减区间为 （2）， ， 当时，由于，所以，即， 当时，由于，所以，即， 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 22 / 24 当时， 综上，当时，函数单调递增， 所以由可得，即， 等价于，即， 令， 则， 由，且，得， 当时，函数单调递增；当时，函数 单调递减 所以， 所以，即的取值范围为 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答, ,如果多做如果多做, ,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 【选修【选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 22 （10 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） 以 坐
25、标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程； （2）已知，直线 与曲线交于，两点，求的最大值 【答案】见解析 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 23 / 24 【解析】 （1）， ，即 （ 2 ） 将 直 线的 参 数 方 程（为 参 数 ） 代 入的 普 通 方 程 ， 得， 则， 所以， 所以，即的最大值为 【选修【选修 4 4- -5 5：不等式选讲不等式选讲】 23 （10 分）已知函数 （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范 围 【解析】 （1）当时，原不等式可化为，无解； 当时，原不等式可化为，从而； 当时，原不等式可化为，从而， 综上，原不等式的解集为 甘肃高台高三数学上册期中试卷理 24 / 24 （2）由得， 又， 所以，即，解得， 所以的取值范围为
