1、第四章 正弦交流电路目录教学目标4.1正弦交流电路4.1.1正弦交流电路定义正弦交流电路定义如果电路中，电源参数的大小和方向均随时间而如果电路中，电源参数的大小和方向均随时间而变化，则由此在电路中产生的电压、电流的大小和方变化，则由此在电路中产生的电压、电流的大小和方向也是随时间而变化的（交变电压和交变电流，简称向也是随时间而变化的（交变电压和交变电流，简称交流电交流电），这样的电路称为），这样的电路称为交流电路交流电路。正弦交流电：正弦交流电：按正弦规律作周期性变化的量按正弦规律作周期性变化的量正弦交流电路：正弦交流电路：由正弦交流电组成的电路。由正弦交流电组成的电路。注意：注意：描述交流电
2、路的电压或电流，也首先要描述交流电路的电压或电流，也首先要假设它们的参考方向，然后才能用数学假设它们的参考方向，然后才能用数学表达式表示表达式表示例：正弦交流电例：正弦交流电正弦交流电也有正方向正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。一般按正半周的方向假设。实际方向和假设方向一致(正半周)实际方向和假设方向相反tiiuRmsin()iIt数学表达式数学表达式msin()iIt正弦量的正弦量的瞬时值瞬时值 最大值最大值 角频率角频率 初相位或初相位或初相角初相角 正弦量的瞬时值，最大值、角频率、初相位或初相角，正弦量的瞬时值，最大值、角频率、初相位或初相角，它们是确定正弦量它们是确定正弦量
3、i的的三要素三要素。同理：正弦交流电压、电动势表示为：同理：正弦交流电压、电动势表示为：)tsin(Uuum)tsin(Eeem4.1.2 正弦量的三要素1、周期、频率与角频率 周期T：正弦量变化一个循环所需要的时间（单位正弦量变化一个循环所需要的时间（单位S）频率f：每秒变化的周期数每秒变化的周期数（单位：（单位：Hz）每秒正弦量转过的弧度每秒正弦量转过的弧度fT22Tf1三者的关系角频率 :(一个周期的弧度一个周期的弧度为为 )2例例已知：已知：f=50 Hz,f=50 Hz,求求 T T和和解：解：T=1/f=1/50=0.02s=20msT=1/f=1/50=0.02s=20mss/r
4、ad3145014.32f2小常识小常识2、最大值与有效值正弦量在任一瞬时的值。正弦量在任一瞬时的值。瞬时值：瞬时值：用用u、i、e表示表示用用Im、Um、Em最大值：最大值：又称幅值又称幅值幅值必须大写，幅值必须大写，下标加下标加m最大值与瞬时值的关系：最大值与瞬时值的关系：tsinIim不能用来计量正弦交流电不能用来计量正弦交流电的大小？怎么办？的大小？怎么办？交流电交流电“i”的的大小等效于直流电大小等效于直流电“I”的热效的热效应。应。有效值：有效值：TTRIdtRi022热效应相当热效应相当交流交流直流直流有效值则为：有效值则为：TmTtdtsinITdtiTI0220211其中：其
5、中：2221002TdttcostdtsinTT因此：因此：2212mmITITI同理有：同理有：2mUU 2mEE 注意：交流电的有效值 与直流电的区别3、相位、初相位与相位差代表交流电的变化进程代表交流电的变化进程等于正弦量在等于正弦量在t=0时刻的相位角。时刻的相位角。两两同频率同频率的正弦量之间的初相位之差。的正弦量之间的初相位之差。it O）（tt 1212 tt222111 tsinIitsinIimm122i1i ti1i2 则：i1i2i tOi1i2 i1i2222111 tsinIitsinIimm021若021若021若21注意：只有两个同注意：只有两个同频率的正弦量，相
6、频率的正弦量，相位差才有意义位差才有意义i1i2 i1i2i1i2i1i2iti2i190O902102118021itOi2i1tuiOi1i2 ti2i1iO两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。314 rad/s31450Hz22 3.14f110.02s50Tfm311VUm311220V22UU 解:例4.1.1：已知一正弦交流电压 ，试求 该正弦量的角频率 、频率f和周期T。该正弦量的最大值、有效值Um和t=0.1s时的瞬时值u。311sin314 VutV).sin(tsin)t(u.t01031431
7、131431110，例4.1.3:已知两正弦交流电压 ，试问与的相位差等于多少？画出与的波形图；1100 2sin(30)Vut2150 2sin(30)Vut3030600 解:1u2u滞后604.2正弦量的相量表示法正弦量的表示方法：正弦量的表示方法：msin()iIt波形图波形图三角函数式三角函数式相量相量it OiImmI不方便不方便计算计算计算同频率正弦量计算同频率正弦量的有效方法的有效方法4.2.1复数基础PQ+10 1234531245j-1-2-3-4-5-3-1-2-4-5实轴虚轴复数复数实轴与虚轴构成的平面为复平面复数的表示方法复数的表示方法b ba aA A+1+1+j+
8、j0 0r r代数形式代数形式A=a+jb虚部实部1jsinrbcosra其中其中)ab(arctgbar22复数的模复数的辐角注意：的取值范围为，或180，180 三角形式三角形式指数形式指数形式极坐标形式极坐标形式sinjrcosrA rA（欧拉公式）（欧拉公式）sinjcosejjreArresinjrcosrjbaAj复数的基本运算复数的基本运算复数的基本运算包括加、减、乘、除复数的基本运算包括加、减、乘、除（1 1）加、减运算）加、减运算设：设：111jbaA222jbaA；则：则：)bb(j)aa(BA212111（加）（加）（减）（减）+1+1j j1A2A21AA 21AA 2
9、Aj j+1+12A1A（2 2）乘、除运算）乘、除运算设：设：1111rerAj2222rerAj；则：则：2121212121rrerrAA)(j2121212121rrerrAA)(j（3 3）旋转因子）旋转因子sinjcosej时当90jjej)90sin()90cos(90+j+j是模为是模为1 1，辐角为，辐角为9090的复数的复数 90901AAjA相当于把复数相当于把复数A A所对应的向量逆时针旋转所对应的向量逆时针旋转9090(模不变，辐角加模不变，辐角加9090)将将j j称为称为9090旋转算子旋转算子（3 3）旋转因子）旋转因子（1 1）1je设：设：jreA)(jjr
10、eeA+1+1j jr rr rAjAeje为旋转因子为旋转因子jjjeoojo0)90sin()90cos(90101180sin180cos180jjeoojo注意：注意：j j、-j-j、-1-1都是旋转因子都是旋转因子 将两复数化为极坐标形式；求例4.2.1:已知两复数，、。341jA3552jA12AA12AA12/AA21AA 111180arctan/180arctan 3/(4)18036.9143.1ba 221(4)35A 解 140a 130b ，（第二象限）15 143.1A 2225(5 3)10A 250a 25 30b ，（第四象限）222arctan/arcta
11、n5 3/560ba 21060A 12(45)j(35 3)9j11.66AA 121212/()5/10(143.160)0.5 203.10.5156.9AAAA 12(45)j(3 5 3)1j3.66AA 1.8350601.143105212121AAAA正弦量的相量表示正弦量的相量表示 ：一个正弦量的瞬时值可以用一一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。矢量长度矢量长度 =mI矢量与横轴夹角矢量与横轴夹角=初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度 按逆时针按逆时针方向旋转方向旋转tIim sinmIt 4.2.2 正弦
12、量的相量表示法可表示成可表示成 iimmIII2mi()sin()i tIt电流i的幅值相量有效值有效值1.1.描述正弦量的有向线段称为相量描述正弦量的有向线段称为相量 。若其幅度用最。若其幅度用最大值表示大值表示 ，则用符号：则用符号：mmUI 、mII最大值最大值2.2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号IU 、3.3.相量符号相量符号 包含包含幅度幅度与与相位相位的的信息。信息。IU 、222111 sin2 sin2tIitIi1U12U22I 落后于落后于1I1I2I领先领先 落后落后？例例：将：将 i1、i2 用用相量表示相量表示
13、相位：相位：幅度：幅度：相量大小相量大小12II 12设：设：相量图相量图 在复平面上用有向线段的长度表示相量的模，有向线段在复平面上用有向线段的长度表示相量的模，有向线段与正实轴的夹角表示相量的幅角。这种表示相量的图形与正实轴的夹角表示相量的幅角。这种表示相量的图形称为称为相量图相量图 1.1.只有正弦量只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不才能用相量表示，非正弦量不 可以。可以。2.2.只有只有同频率同频率的正弦量才能画在一张相量图的正弦量才能画在一张相量图 上，不同频率不行。上，不同频率不行。注意：注意：问题：问题：相量如何计算呢？相量如何计算呢？解决方法解决方法 平行四边形法则平行四边形
14、法则21UUUU222111 sin2 sin2tUutUu同频率正弦波的同频率正弦波的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。例：同频率例：同频率正弦波相加正弦波相加22U1U1平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。解决方法：相量的复数运算法。解决方法：相量的复数运算法。相量相量 复数表示法复数表示法复数运算复数运算 步骤：步骤：sincosjIIjbaIabIIj+1将复数将复数I放到复平面上，可如下表示：放到复平面上，可如下表示：abtgbaI122sincosjUUjbaU相量的复数表示相量的复数表示abUUj+1将复数将复数U放
15、到复平面上，可如下表示：放到复平面上，可如下表示：abtgbaU122sinjcosej欧拉公式欧拉公式 IeIjIjbaIj)sin(cos代数式代数式 指数式指数式 极坐标形式极坐标形式abII jeIjbaI在第一象限在第一象限设设a、b为正实数为正实数jeIjbaI在第二象限在第二象限jeIjbaI在第三象限在第三象限在第四象限在第四象限jeIjbaI例例4.2.2 4.2.2 把下列相量化为直角坐标形式。把下列相量化为直角坐标形式。，解解:AI5310VU)150(150)53sin1053cos10(5310jAIAj)86(VjVjVjVU)759.129()30sin15030
16、cos150()150sin(150)150cos(150)150(150解解:VU602201VU)30(2202试写出它们的相量式。试写出它们的相量式。例例4.2.3 4.2.3 已知正弦电压已知正弦电压VtuVtuVtuVtu)30314sin(2220,)60314sin(2220)30314sin(2220,)60314sin(222043213u4u对对、先把它们化成标准的正弦函先把它们化成标准的正弦函数表达式，再写出相量式，由数表达式，再写出相量式，由3220 2sin(31460)V =220 2sin(31460180)V 220 2sin(314120)Vuttt 4220
17、 2cos(31430)V =220 2sin(3143090)V 220 2sin(314120)Vuttt220(120)VU 3220 120 VU4得得 1()141sin(/3)Vu tt2()70.7sin(/4)Vu ttU1U2()u t例例4.2.4 4.2.4 已知已知，。求。求:相量相量，画出相量图。画出相量图。、两电压之和两电压之和141V=100 60 V=(50+j86.6)V32U170.7()V=50(45)V=(35.36j35.36)V42U 2解：解：(50+j86.6)+(35.36 j35.36)=(85.36+j51.24)V=99.56 31 VU
18、U12+-12()()()99.56 2sin(31)V =140.78sin(31)Vu tu tu ttt 相量图见下图所示。相量图见下图所示。6031-451U2U12UU0从相量图中可以看出，从相量图中可以看出，相量的加法符合矢量运相量的加法符合矢量运算的平行四边形法则算的平行四边形法则思考思考UU12-的相量图呢？的相量图呢？波形图波形图瞬时值瞬时值相量图相量图复数复数符号法符号法jIajb IeI 小结：正弦波的四种表示法小结：正弦波的四种表示法sin miIt TmIt iIi符号说明瞬时值瞬时值-小写小写u、i有效值有效值-大写大写U、I复数、相量复数、相量-大写大写 +“.”
19、U最大值最大值-大写大写+下标下标mU4.3 R、L、C单一参数正弦交流电路4.3.14.3.1纯电阻正弦交流电路纯电阻正弦交流电路Riu+_电路图电路图mmsinsinuRiRItUt则则msiniIt设设得得u与与i同频率同频率u与与i的大小关系的大小关系mmURIURI，u与与i同相位同相位IUituOui2 0UURI0II;2mmmmsinsinsin(1 cos2)puiUt ItU ItUIt小写小写ituOtpOiu1.（耗能元件耗能元件）0p结论：结论：2.随时间变化随时间变化pP tUutIisin2sin2 uiRTTdtiuTdtpTP0011UIdttUITdttUI
20、TTT002)2cos1(1sin21大写大写：22UPUIRIR 单位单位:瓦（瓦（W）ituOtpOiuP22iu、与与 成比例成比例p解：由欧姆定律可得电流的瞬时值表达式为解：由欧姆定律可得电流的瞬时值表达式为220 2sin(31430)A100 =2.2 2sin(31430)AutiRt电压的有效值为电压的有效值为220V220V，电流的有效值为，电流的有效值为2.2A2.2A，220 2.2W=484WPUI220 2sin(31430)V,ut例例4.3.14.3.1已知交流电压已知交流电压加在加在R=100R=100的电阻两端，试写出电流的瞬时值的电阻两端，试写出电流的瞬时值
21、表达式，并求平均功率表达式，并求平均功率P P。4.3.24.3.2纯电感正弦交流电路纯电感正弦交流电路iuLdtdiLusinmiItmmd(sin t)cosdIuLLIttmmsin(90)sin(90)LItUt 结论：结论：u与与i是同频率的正弦量是同频率的正弦量u与与i的幅值关系为的幅值关系为mmm2ULIfLI2ULIfLI有效值有效值 感抗感抗（）LXL定义：定义：LXIU 则：则：f=0,XL=0，电感电感视为视为短路短路fXL感抗与电感感抗与电感L及频率及频率f成正比，频率越高，感抗越大成正比，频率越高，感抗越大 感抗（感抗（XL=L ）是频率的函数，是频率的函数，表示电感
22、电路中电表示电感电路中电压、电流有效值（或最大值）之间的关系，且只对正弦压、电流有效值（或最大值）之间的关系，且只对正弦波有效。电感电路中电压和电流不同相。波有效。电感电路中电压和电流不同相。注意注意mmLUUuXIIi即：即：Liu？思考：思考：u、i 相位不一致相位不一致！iu90UI相量图相量图90IU超前超前 90ui结论：结论：t波形图波形图u，iUI)90sin(2tUutIisin20 II设：设：9090LIUU9090LUULjLIIUjLIjX I 则：则：电感电路复电感电路复数形式的欧数形式的欧姆定律姆定律iuLsinsin(90)mmiItuUt mmsin(90)si
23、nsinsinsin2mmpuiUtItUt ItUItp 0ui+-ui+-ui+-ui+-+p 0p 0p 0p XC 时时，0，u 超前超前 i 呈呈感性感性当当 XL XC 时时，XC，或或 XL XL、RXC ，Q 则体则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。4.5.4 4.5.4 应用实例应用实例例例4.5.1 某收音机的信号接受电路如图（某收音机的信号接受电路如图（a）所示，）所示，等效电路模型如图（等效电路模型如图（b）所示。若线圈的电阻）所示。若线圈的电阻R=10，电感电感L=0.4mH。当调节可变电容当调节可变电容 时，可听到
24、哪个电台频时，可听到哪个电台频道的广播？此时电路的品质因数道的广播？此时电路的品质因数Q为多少？为多少？若各种信号的电压都是若各种信号的电压都是 ，求谐振时电路中的，求谐振时电路中的电流和电容两端的电压。电流和电容两端的电压。当信号频率当信号频率 时，求引起时，求引起的回路电流与电容两端的电压。的回路电流与电容两端的电压。100pFC 10V12562kHz1028kHzff和(a)信号接收电路信号接收电路(b)等效电路模型等效电路模型CLR3e2e1e1f2f3f解：解：谐振频率为谐振频率为0312121Hz796kHz20.4 10100 10fLC3302 796 100.4 10200
25、10LQR当调节可变电容为当调节可变电容为 时，可听到频率时，可听到频率为为796kHz796kHz的电台广播。此时电路的品质因数为的电台广播。此时电路的品质因数为100pFC 6010 10A1A10UIR6C200 10 10 V2mVUQ U 谐振时电路中的电流和电容两端的电压分别为谐振时电路中的电流和电容两端的电压分别为33L1122 562 100.4 101411Xf L C13121112833.422 562 10100 10Xf C 22221L1C1()10(1411 2833.4)1422.4ZRXX 1562kHzf 当信号频率当信号频率时时 由由 61110 10A0
26、.007A1422.4UIZ6C11C10.007 102833.4V19.9VUI X得得 62210 10A0.0097A1033UIZ6C22C20.0097 101549V15VUIX得得 kHzf10282当信号频率当信号频率时时33L2222 1028 100.4 102582Xf L C2312211154922 1028 10100 10Xf C 22222L2C2()10(2582 1549)1033ZRXX 由由 例例4.5.2 一线圈与电容并联的电路如图所示，设线圈一线圈与电容并联的电路如图所示，设线圈的电感比其电阻大得多，即的电感比其电阻大得多，即 ，试证明当电，试证明当电路中电压与电流同相时，路中电压与电流同相时，。RL LC10+-RLZ1Z2C例例4.5.2图图证：电路的等效复阻抗为证：电路的等效复阻抗为122121(j)(j)j11j(j)jRLZ ZRLCZZZRCLCRLC由由RL 得得22j1jj(1)LLZRCLCRCLC当电路中电压与电流同相时，即等效阻抗的虚部为零当电路中电压与电流同相时，即等效阻抗的虚部为零2(1)0LCLC10所以所以当线圈与电容并联时，也会发生电路总电压当线圈与电容并联时，也会发生电路总电压U U与与总电流总电流I I同相位，这种情况称为同相位，这种情况称为并联谐振。并联谐振。
