1、第二章第二章 测量误差与数据处理基础测量误差与数据处理基础第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算第四节第四节 误差的综合误差的综合第五节第五节 测量结果的数据处理测量结果的数据处理2022-11-111X-X-被测量被测量Q-Q-标准单位标准单位x x0 0-被测量的真实数值被测量的真实数值 x-x-测量值测量值 测量是借助于专用的技术和测量是借助于专用的技术和工具，通过实验的方法，把被工具，通过实验的方法，把被测量与同性质的标准量进行比测量与同性质的标准量进行比较，求取二者的比值，从而得较
2、，求取二者的比值，从而得到被测量数值大小的过程。到被测量数值大小的过程。测量的基本方程式测量的基本方程式0XxQXxQ补充补充 测量的概念测量的概念测量是测量是借助于仪器或仪表，依靠实验和计算方法借助于仪器或仪表，依靠实验和计算方法对被测量取得定性或定量信息的认识过程。对被测量取得定性或定量信息的认识过程。2022-11-112补充补充 测量的概念测量的概念测量是测量是借助于仪器或仪表，依靠实验和计算方法借助于仪器或仪表，依靠实验和计算方法对被测量取得定性或定量信息的认识过程。对被测量取得定性或定量信息的认识过程。检测技术比上述的测量定义有更加广泛的含义。它是指下检测技术比上述的测量定义有更加
3、广泛的含义。它是指下述的全面过程：述的全面过程：按照被测量的特点，选用合适的检测装置与实按照被测量的特点，选用合适的检测装置与实验方法，通过测量和数据处理及误差分析，准确得到被测量的验方法，通过测量和数据处理及误差分析，准确得到被测量的数值，并为进一步提高测量精度，改进实验方法及测量装置性数值，并为进一步提高测量精度，改进实验方法及测量装置性能提供可靠的依据。能提供可靠的依据。一切测量过程都包括：比较、示差、平衡、读数四个步骤。一切测量过程都包括：比较、示差、平衡、读数四个步骤。2022-11-113补充补充 测量的基本方法测量的基本方法标准量标准量标准计量单位（如米尺、光栅尺、标准计量单位（
4、如米尺、光栅尺、激光、激光、）绝对测量绝对测量定值标准量（如某一固定尺寸）定值标准量（如某一固定尺寸）相对测量相对测量1)1)直接测量直接测量直接将直接将被测量被测量与与标准量标准量进行比较进行比较2022-11-114-绝对测量：绝对测量：采用仪器、设备、手段测量被测量，直接得到测量值采用仪器、设备、手段测量被测量，直接得到测量值测量结果：测量结果：20.1 mm-相对测量：相对测量：将被测量直接与基准量比较，得到偏差值将被测量直接与基准量比较，得到偏差值特点：特点：简单、直观、明了；简单、直观、明了；测量精度不高测量精度不高基准量：基准量：20.00 mm测量值：测量值：+0.08 mm结
5、结 果：果：20.08 mm特点：特点：精度高；复杂、成本高、要求高精度高；复杂、成本高、要求高补充补充 2022-11-115测量与被测量有一定函数关系的参量，被测量由计算获得。测量与被测量有一定函数关系的参量，被测量由计算获得。如测导线的导电率如测导线的导电率：Rdl24补充补充 2)2)间接测量间接测量3)3)组合测量组合测量2022-11-116按照所用仪表和比较过程特点分类按照所用仪表和比较过程特点分类(1)偏差法：偏差法：利用测量仪表的指针相对于刻度的偏差位移直接表示测利用测量仪表的指针相对于刻度的偏差位移直接表示测量的数值量的数值 特点：特点：偏差式测量简单、迅速，但精度不高，偏
6、差式测量简单、迅速，但精度不高，这种测量方法广泛应用于工程测量中。这种测量方法广泛应用于工程测量中。补充补充 偏差式测量、零位式测量及微差式测量偏差式测量、零位式测量及微差式测量2022-11-117(2)零位法：零位法：将被测量将被测量x与某一已知标准量完全抵消，与某一已知标准量完全抵消，使作用到测量使作用到测量仪表上的效应等于零，如天平、电位差计等。仪表上的效应等于零，如天平、电位差计等。由此可知由此可知xs。特点：特点：测量精度主要取决于标准量的精度，与测测量精度主要取决于标准量的精度，与测量仪表的精度无关。因而测量精度很高，在计量工作量仪表的精度无关。因而测量精度很高，在计量工作中应用
7、很广。中应用很广。缺点是速度不快，用于测量变化较缓缺点是速度不快，用于测量变化较缓慢的信号。慢的信号。补充补充 2022-11-118(3)微差微差法：法：偏差法和零位法的结合偏差法和零位法的结合被测量余数被测量余数被测量大值与标准量大体平衡被测量大值与标准量大体平衡补充补充 综合了偏差式和零位式两种测量法的优点。综合了偏差式和零位式两种测量法的优点。此法在测量时分两步进行，第一步是将被测量基本工此法在测量时分两步进行，第一步是将被测量基本工作点与标准量进行比较，并调节达到平衡状态。在此基础作点与标准量进行比较，并调节达到平衡状态。在此基础上，当被测量离开工作点（有微小变动），测量仪表便离上，
8、当被测量离开工作点（有微小变动），测量仪表便离开平衡状态，此时仪表的指示值即为变动部分的值。开平衡状态，此时仪表的指示值即为变动部分的值。2022-11-119第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 一、测量误差的定义一、测量误差的定义真值：真值：在一定的时间及空间条件下，某被测量的真实数值。在一定的时间及空间条件下，某被测量的真实数值。约定真值：约定真值：为使用目的所采用的接近真值因而可代替真值的值。为使用目的所采用的接近真值因而可代替真值的值。误差公理：误差公理：误差自始自终存在于一切科学实验和检测之中，被测误差自始自终存在于一切科学实验和检测之中，被测量的真值永远是难以得到的。量
9、的真值永远是难以得到的。2022-11-1110第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 研究误差的意义：研究误差的意义：能合理确定检测结果的误差；能合理确定检测结果的误差；能正确地认识误差的性质，分析产生误差的原因，采取措施达到能正确地认识误差的性质，分析产生误差的原因，采取措施达到减少误差的目的；减少误差的目的；有助于正确处理实验数据，合理计算测量结果，以便在一定的条有助于正确处理实验数据，合理计算测量结果，以便在一定的条件下，得到最接近于真实值的最佳结果；件下，得到最接近于真实值的最佳结果；有助于合理选择实验仪表、测量条件及测量方法，使能在比较经有助于合理选择实验仪表、测量条件及测
10、量方法，使能在比较经济的条件下，得到预期的结果；济的条件下，得到预期的结果；有利于评价控制系统的各种控制规律的优劣；有利于评价控制系统的各种控制规律的优劣；有助于利用误差理论指导设计、制造仪表、减小仪表本身的误差。有助于利用误差理论指导设计、制造仪表、减小仪表本身的误差。2022-11-1111第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 绝对误差绝对误差x x 测量值测量值A A0 0 真值真值1、绝对误差、绝对误差0Ax 绝对误差绝对误差x x 测量值测量值X X0 0 约定真值约定真值0Xx常用常用绝对误差的大小表示测量值偏离真值的程度。绝对误差的大小表示测量值偏离真值的程度。真值真值
11、理论真值理论真值约定真值约定真值相对真值相对真值2022-11-1112第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 2、相对误差、相对误差%1000XA 相对误差最突出的优点是能够更好地说明测量质量的相对误差最突出的优点是能够更好地说明测量质量的好坏。好坏。实际相对误差实际相对误差公称相对误差公称相对误差%100XxX0是约定真值（实际值）是约定真值（实际值）X是仪表公称值（示值）是仪表公称值（示值）2022-11-1113第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 3、引用误差、引用误差%100B 引用误差是相对误差的一种特殊形式，常用来评价仪引用误差是相对误差的一种特殊形式，常用来
12、评价仪表的质量。但是仪表的具体示值有关，使用仍不方便。表的质量。但是仪表的具体示值有关，使用仍不方便。最大引用误差最大引用误差%100BmB是仪表的满量程是仪表的满量程 能更可靠地表明仪表的测量精确度，故常作为工业仪能更可靠地表明仪表的测量精确度，故常作为工业仪表精度等级的标志。表精度等级的标志。2022-11-1114第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 仪表的精度等级仪表的精度等级100mG 国家用最大引用误差来规定电工仪表的精度等级国家用最大引用误差来规定电工仪表的精度等级G，分为，分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0八级。规定取最大引用误差百分数
13、的分子八级。规定取最大引用误差百分数的分子作为精度等级的标志。即：作为精度等级的标志。即：【例例1】设按毫伏刻度的电子电位差计的检验记录设按毫伏刻度的电子电位差计的检验记录x x如下表，如下表，x x0 0是用高精度的仪表测出的值。是用高精度的仪表测出的值。测试值测试值x（mV）0.002.004.006.008.0010.00真值真值x0（mV）0.011.984.015.978.049.99绝对误差绝对误差（mV）-0.01+0.02-0.01+0.03-0.04+0.01引用误差（引用误差（%）-0.1+0.2-0.1+0.3-0.4+0.12022-11-1115【例例2 2】某压力表
14、精度为某压力表精度为1.51.5级，量程为级，量程为0 02.0MPa2.0MPa，测量结，测量结果显示为果显示为1.2MPa1.2MPa，求，求1 1）最大引用误差）最大引用误差m m；2 2）可能出现的）可能出现的最大绝对误差最大绝对误差mm；3 3）示值相对误差）示值相对误差xx？【解解】1）由精度等级可直接得到最大引用误差，即）由精度等级可直接得到最大引用误差，即2）3）第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类%5.1mMPam03.0%5.12%5.2%1002.103.0 xmx2022-11-1116第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类【例例3 3】现有现有0.5
15、0.5级级0 0300300和和1.01.0级级0 0100100的两个温度计，的两个温度计，要测量要测量8080的温度，试问采用哪一个温度计好？的温度，试问采用哪一个温度计好？【解解】若采用若采用0.5级温度计级温度计mx300 0.5%1.51.5100%100%1.875%80mx 若采用若采用1.0级温度计级温度计mx100 1%11100%100%1.25%80mx 结果表明，使用工作在量程下限时相对误差较大。用结果表明，使用工作在量程下限时相对误差较大。用1.0级级仪表比用仪表比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。2022-11-
16、1117 根据误差值是否变化，可将系统误差进一步划分为根据误差值是否变化，可将系统误差进一步划分为恒定恒定系差系差和和变值系差变值系差。变值系差又可分为。变值系差又可分为累进性系差累进性系差、周期性系周期性系差差和和按复杂规律变化按复杂规律变化的几种。的几种。按照对系统误差掌握的程度，可将其大致分为按照对系统误差掌握的程度，可将其大致分为已定系差已定系差和和未定系差未定系差。第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 二、测量误差的分类二、测量误差的分类 1 1、系统误差、系统误差 在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的一种误差，它
17、的绝对值和符号或者保持不变，或者在条件变一种误差，它的绝对值和符号或者保持不变，或者在条件变化时按某一规律变化，化时按某一规律变化，此类误差称为此类误差称为系统误差系统误差，简称，简称系差系差。系统误差表征测量的准确度。系统误差表征测量的准确度。性质：性质：有规律，可再现，可以预测有规律，可再现，可以预测原因：原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：处理：理论分析、实验验证理论分析、实验验证 修正修正2022-11-1118第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 2 2、随机误差、随机误差 是在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现
18、的是在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的误差，此误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性。误差，此误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性。通常用精密度表征随机误差的大小。通常用精密度表征随机误差的大小。通常将准确度和精密度合称为精确度，通常将准确度和精密度合称为精确度，简称精度。简称精度。性质：性质：正态分布正态分布原因：原因：装置误差、环境误差、使用误差装置误差、环境误差、使用误差处理：处理：统计分析、计算处理统计分析、计算处理 减小减小2022-11-1119第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 3 3、粗差、粗差 又称疏失误差，或粗大误差，指明显偏离约定真值的
19、误又称疏失误差，或粗大误差，指明显偏离约定真值的误差。差。它主要是由于测量人员的失误所致，它主要是由于测量人员的失误所致，如测错、读错或记如测错、读错或记错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。性质：性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起原因：原因：装置误差、使用误差装置误差、使用误差处理：处理：判断、剔除判断、剔除2022-11-1120第一节第一节 测量误差及其分类测量误差及其分类 三、准确度、精密度和精确度三、准确度、精密度和精确度2、精密度、精密度 在相同条件下，对同一个
20、量进行重复测量时，这些测量在相同条件下，对同一个量进行重复测量时，这些测量值之间的相互接近程度即分散程度，它反映了随机误差大小。值之间的相互接近程度即分散程度，它反映了随机误差大小。1、准确度、准确度 它表示测量仪器指示值对真值的偏离程度。它反映了系它表示测量仪器指示值对真值的偏离程度。它反映了系统误差的大小。统误差的大小。3、精确度、精确度（简称精度）（简称精度）它是精密度和准确度的综合反映，它反映了系统综合误它是精密度和准确度的综合反映，它反映了系统综合误差的大小，并且常用来表示测量误差的相对值。差的大小，并且常用来表示测量误差的相对值。2022-11-1121第一节第一节 测量误差及其分
21、类测量误差及其分类 测测量量精精度度举举例例不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）准确（系统误差小）准确（系统误差小）精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小）2022-11-1122第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 一、消除产生误差的根源一、消除产生误差的根源系统误差产生的原因系统误差产生的原因系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成
22、，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 测量方法的因素测量方法的因素 测量人员的因素测量人员的因素计量校准后发现计量校准后发现的偏差、仪器设的偏差、仪器设计原理缺陷、仪计原理缺陷、仪器制造和安装的器制造和安装的不正确等。不正确等。测量时的实际温测量时的实际温度对标准温度的度对标准温度的偏差、测量过程偏差、测量过程中的温度、湿度中的温度、湿度按一定规律变化按一定规律变化的误差。的误差。采用近似的测量采用近似的测量方法或计算公式方法或计算公式引起的误差等。引起的误差
23、等。测量人员固有的测量人员固有的测量习性引起的测量习性引起的误差等。误差等。2022-11-1123第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 二、对测量结果进行修正二、对测量结果进行修正修正值修正值指与测量误差的绝对值相等而符号相反的值。指与测量误差的绝对值相等而符号相反的值。xXC0 修正值可以是一个具体的值，也可以是一条曲线、一个修正值可以是一个具体的值，也可以是一条曲线、一个公式或图表。公式或图表。在测量之前，对仪器仪表进行校准或定期进行检定。通在测量之前，对仪器仪表进行校准或定期进行检定。通过检定，可以由上一级标准（或基准）给出受检仪表的修正过检定，可以由上一级标准（或基准）
24、给出受检仪表的修正值。将修正值加入测量值中，即可消除系统误差。值。将修正值加入测量值中，即可消除系统误差。2022-11-1124第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 三、采用特殊测量法三、采用特殊测量法（一）恒定系差消除法（一）恒定系差消除法 1 1、零示法：、零示法：将被测量与已知的标准量进行比较，当两者的差值为将被测量与已知的标准量进行比较，当两者的差值为零时，被测量就等于已知的标准量。零时，被测量就等于已知的标准量。如：书中图如：书中图1-2-2 1-2-2 用电位差计测量热电偶的热电势。用电位差计测量热电偶的热电势。2022-11-1125第二节第二节 系统误差的消除方
25、法系统误差的消除方法 2 2、替代法：、替代法：又称为又称为置换法置换法，指先将被测量接入测量装置使之处于，指先将被测量接入测量装置使之处于一定状态，然后以已知量代替被测量，并通过改变已知量一定状态，然后以已知量代替被测量，并通过改变已知量的值使仪表的示值恢复到替代前的状态。则被测量的值即的值使仪表的示值恢复到替代前的状态。则被测量的值即为已知量。为已知量。测量装置的系统误差不会带给测量结果。测量装置的系统误差不会带给测量结果。替代法在阻抗、频率等许多电参数的精密测量方法中替代法在阻抗、频率等许多电参数的精密测量方法中获得广泛的应用。例：电桥法测电阻。获得广泛的应用。例：电桥法测电阻。2022
26、-11-1126第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 3 3、交换法：、交换法：又称为又称为对照法对照法，指在测量过程中将某些测量条件相互，指在测量过程中将某些测量条件相互交换，使产生系差的原因对交换前后的测量结果起反作用。交换，使产生系差的原因对交换前后的测量结果起反作用。对两次测量结果进行数学处理，即可消除系统误差或求出对两次测量结果进行数学处理，即可消除系统误差或求出系差的数值。系差的数值。如：用天平称重，替代法可消除由于天平两臂不等而如：用天平称重，替代法可消除由于天平两臂不等而引起的固定系统误差。引起的固定系统误差。再如：书中图再如：书中图1-2-31-2-3电桥法测电
27、阻。电桥法测电阻。2022-11-1127第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法（二）变值系差消除法（二）变值系差消除法1.1.等时距对称观测法：等时距对称观测法：又称又称对称观测法对称观测法，用其可消除随时间按线性规律变化，用其可消除随时间按线性规律变化的系差，即线性系差。的系差，即线性系差。2.2.半周期偶数观测法半周期偶数观测法:某些周期性的系统误差的特点是，每隔半个周期产生某些周期性的系统误差的特点是，每隔半个周期产生的误差大小相等、符号相反。则这种系差可通过半周期偶的误差大小相等、符号相反。则这种系差可通过半周期偶数观测法来消除。即，读取相隔半周期的两次测量值，数观测法来
28、消除。即，读取相隔半周期的两次测量值，取其算术平均值作为结果。取其算术平均值作为结果。2022-11-1128第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 补充：随机变量的数字特征补充：随机变量的数字特征 数学期望：反映其平均特性数学期望：反映其平均特性X X为离散型随机变量为离散型随机变量X X为连续型随机变量为连续型随机变量1()iiiE Xx P()()E Xxp x dx2022-11-1129第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 方差和标准偏差方差和标准偏差方差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度标准偏差标准偏差同样描述随机
29、变量与其数学期望的分散程度，同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同的量纲并且与随机变量具有相同的量纲2()()D XE XEX()D X2022-11-1130第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 一、随机误差的分布规律及统计特性一、随机误差的分布规律及统计特性概率论的中心极限定理：概率论的中心极限定理：如果一个随机变量是由大量微小的随机变量共同作用如果一个随机变量是由大量微小的随机变量共同作用的结果，那么只要这些微小随机变量是相互独立或弱相关的结果，那么只要这些微小随机变量是相互独立或弱相关的，且均匀地小（即对总和的影响彼此相当），则无论它的，且均匀地小（即
30、对总和的影响彼此相当），则无论它们各自服从于什么分布，其总和必然近似于正态分布。们各自服从于什么分布，其总和必然近似于正态分布。随机误差的正态分布概率密度函数的数学表达式为：随机误差的正态分布概率密度函数的数学表达式为：)2exp(21)(22p2022-11-1131随机误差的统计特性表现在以下四个方面：随机误差的统计特性表现在以下四个方面：(1)有界性：有界性：在一定条件下的有限测量值中，误差的绝对值在一定条件下的有限测量值中，误差的绝对值不会超过一定的界限。不会超过一定的界限。(2)单峰性：单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数
31、多。出现的次数多。(3)对称性：对称性：指绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相指绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。等。(4)抵偿性：抵偿性：相同条件下对同一量进行多次测量，随机误差相同条件下对同一量进行多次测量，随机误差的算术平均值随着测量次数的算术平均值随着测量次数n n的无限增加而趋于零，即误差平的无限增加而趋于零，即误差平均值的极限为零。均值的极限为零。第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 2022-11-1132随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 长度相对测量值长度相对测量值次次数数统统计计2022-11-11
32、33第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 由由2202)(exp21)(Xxxp0Xx 可知被测量可知被测量x x也是服从正态分布的随机变量，且也是服从正态分布的随机变量，且x x的概的概率密度函数的数学表达式为：率密度函数的数学表达式为：下面讨论的问题是当只有一组数量有限的测量数据时，下面讨论的问题是当只有一组数量有限的测量数据时，如何对如何对X X0 0和和进行估算。进行估算。二、测量值的算术平均值与标准偏差二、测量值的算术平均值与标准偏差2022-11-1134第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 1.1.算术平均值与被测量真值的估计值算术平均值与被测量真值的估计值
33、在无系差和粗差的条件下，对某一被测量在无系差和粗差的条件下，对某一被测量x x进行进行n n次等次等精度测量，得到精度测量，得到n n个观测值。个观测值。可以证明，在消除了系统误差之后，无限次测量的统可以证明，在消除了系统误差之后，无限次测量的统计平均值就是被测量的真值。计平均值就是被测量的真值。由于无限次测量在实际上是做不到的，通常把多次等由于无限次测量在实际上是做不到的，通常把多次等精度测量结果的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。精度测量结果的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。这就是这就是算术平均值原理。算术平均值原理。2022-11-1135第三节第三节 随机误差及其估算随机误差
34、及其估算 n n，用平均值代替真值，则真值与测量值之差和平，用平均值代替真值，则真值与测量值之差和平均值与测量值之差是不相同的，因此，相应的测量误差就均值与测量值之差是不相同的，因此，相应的测量误差就用用残余误差残余误差来代替：来代替：xxii 残差有两个性质：残差有两个性质：残差的代数和为残差的代数和为0 0；仅有随机误差时，残差的平方和最小。仅有随机误差时，残差的平方和最小。残余误差，简称残差，也叫剩余误差，其定义为：残余误差，简称残差，也叫剩余误差，其定义为：2022-11-1136第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 2.2.标准偏差标准偏差nixinxMxnD12)(1li
35、m 用来衡量测量数据相对于算术平均值的离散程度。用来衡量测量数据相对于算术平均值的离散程度。方差方差标准差标准差niinniinxnXxnD121201lim)(1lim2022-11-1137第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 在实际测量中，由于被测量真值无法知道，且测量次在实际测量中，由于被测量真值无法知道，且测量次数也是有限的，故借助数也是有限的，故借助贝塞尔公式贝塞尔公式用算术平均值和残差来用算术平均值和残差来表示标准偏差的估计值，即表示标准偏差的估计值，即 根据此式求出的标准偏差，可用来表征在给定的等精根据此式求出的标准偏差，可用来表征在给定的等精度条件下任一次测量结果的
36、离散程度，因此，又称为度条件下任一次测量结果的离散程度，因此，又称为单次单次测量的标准偏差测量的标准偏差。2.2.标准偏差标准偏差niiniinxxn121211)(112022-11-1138第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 由于实际的测量次数有限，算术平均值毕竟还不是真由于实际的测量次数有限，算术平均值毕竟还不是真值，其本身也含有随机误差。假若各观测值服从正态分布，值，其本身也含有随机误差。假若各观测值服从正态分布，则算术平均值也是服从正态分布的随机变量。则算术平均值也是服从正态分布的随机变量。可以证明，算术平均值的标准偏差为：可以证明，算术平均值的标准偏差为：以估计值代替，
37、以估计值代替，算术平均值的标准偏差的估计值算术平均值的标准偏差的估计值为：为：3.3.算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差nxnx 2022-11-1139第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 三、置信区间和置信概率三、置信区间和置信概率如前所述，用有限次测量结果的算术平均值来代替被如前所述，用有限次测量结果的算术平均值来代替被测量的数学期望，必然会存在一个随机误差测量的数学期望，必然会存在一个随机误差m m：xmMx该误差该误差m m的绝对值小于给定的任一微小量的绝对值小于给定的任一微小量的概率的概率P Pc c为：为：)()(xxxCMxMPMxPP2022-11-1140第
38、三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算)()(xxCMxMPP上式中，区间上式中，区间(Mx-,Mx+)表示算术平均值在规定概率表示算术平均值在规定概率下可能的变化范围，称为下可能的变化范围，称为置信区间置信区间。置信区间表明了测量。置信区间表明了测量结果的离散程度，可作为测量精密度的标志。结果的离散程度，可作为测量精密度的标志。算术平均值落入某一置信区间的概率表明测量结果的算术平均值落入某一置信区间的概率表明测量结果的可靠性，亦即值得信赖的程度，称为可靠性，亦即值得信赖的程度，称为置信概率置信概率。给出了在一定概率下随机误差的极限值，称为给出了在一定概率下随机误差的极限值，称为极限误极
39、限误差差（或误差限或误差限）。在无系统误差的情况下，）。在无系统误差的情况下，也称为随机也称为随机不确定度，通常表示为：不确定度，通常表示为：tK2022-11-1141第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 置信系数置信系数Kt置信概率置信概率PC0.67450.5=50%1.00000.6827=68.27%1.96000.95=95%2.00000.9545=95.45%3.00000.9973=99.73K Kt t与与P PC C的关系的关系工程测量常用工程测量常用 估计随机误差的范围，超过估计随机误差的范围，超过 者作为疏失误差处理。即取者作为疏失误差处理。即取 为极限误差
40、，它的置信概为极限误差，它的置信概率为率为99.73%99.73%。3332022-11-1142第四节第四节 误差的综合误差的综合 误差的综合：误差的综合：在已知各局部误差的基础上求函数的误差，称为误差在已知各局部误差的基础上求函数的误差，称为误差的综合，也称为误差的传递。的综合，也称为误差的传递。在一般测量中，间接测量值在一般测量中，间接测量值Y Y是各个直接测量值是各个直接测量值X X1 1,X,X2 2,X Xj j,X Xm m的多元函数，的多元函数，),(,21mjXXXXfY一、函数误差的基本关系式一、函数误差的基本关系式多元函数的增量可用函数的全微分表示为：多元函数的增量可用函
41、数的全微分表示为：2022-11-1143第四节第四节 误差的综合误差的综合 mmjjdXXfdXXfdXXfdXXfdY2211上式称为上式称为函数误差的基本关系式函数误差的基本关系式。以。以dXdXj j表示各个直表示各个直接测量值的误差，以接测量值的误差，以 表示各个误差的传递系数，则表示各个误差的传递系数，则dYdY为函数为函数Y Y的误差。的误差。jXf例如，设函数关系为例如，设函数关系为),(sinnxxxf21则，正弦函数的角度误差公式为则，正弦函数的角度误差公式为)(cosnndxxfdxxfdxxfd221112022-11-1144第四节第四节 误差的综合误差的综合 二、系
42、统误差的综合公式二、系统误差的综合公式（一）已定系统误差的综合（一）已定系统误差的综合 假设在前面所述的函数中各假设在前面所述的函数中各X Xj j之间彼此独立无关，且之间彼此独立无关，且只含有大小及符号均已知的已定系统误差只含有大小及符号均已知的已定系统误差j j，则函数，则函数Y Y将将产生一个已定系统误差产生一个已定系统误差Y，即为，即为mjjjYXf1)(表示为相对误差的形式：表示为相对误差的形式：mjjjYYXfYY1)(2022-11-1145第四节第四节 误差的综合误差的综合（二）函数的系统不确定度（二）函数的系统不确定度 系统的不确定度反映了系统误差变化范围的大小。函系统的不确
43、定度反映了系统误差变化范围的大小。函数数Y Y的不确定度有两种求法：的不确定度有两种求法：（1 1）算术综合法（绝对值综合法）算术综合法（绝对值综合法）mjxjYjXf1Y函数函数Y Y（间接测量值）的系统不确定度（间接测量值）的系统不确定度jX自变量自变量X Xj j（直接测量值）的系统不确定度（直接测量值）的系统不确定度2022-11-1146第四节第四节 误差的综合误差的综合（2 2）方和根法）方和根法mjxjYjXf12此方法在局部误差的个数越多时，越接近实际情况。此方法在局部误差的个数越多时，越接近实际情况。432RRRRx【例例】设有某平衡电桥检测线路，若以被测电阻设有某平衡电桥检
44、测线路，若以被测电阻RxRx作为电作为电桥的第一臂，则桥的第一臂，则RxRx可表示为另外三个桥臂已知电阻的函数，可表示为另外三个桥臂已知电阻的函数，其函数关系如下：其函数关系如下：2022-11-1147第四节第四节 误差的综合误差的综合 三、随机误差的综合公式三、随机误差的综合公式 假设间接测量值假设间接测量值Y Y为直接测量值为直接测量值X X1 1和和X X2 2的函数，即的函数，即 假设对假设对X X1 1进行了进行了n n次测量，对次测量，对X X2 2进行了进行了k k次测量，在无系次测量，在无系差的情况下，以差的情况下，以j j代替前式中的代替前式中的dXdXj j，则可写出函数
45、，则可写出函数Y Y的随的随机误差为：机误差为：),(21XXfY li21,分别为分别为X X1 1和和X X2 2的随机误的随机误差差),;,(klniXfXfliilY212122112022-11-1148第四节第四节 误差的综合误差的综合 经过整理，上式变为：经过整理，上式变为：此式描述了间接测量结果的标准偏差与各直接被测量此式描述了间接测量结果的标准偏差与各直接被测量的标准偏差的关系。的标准偏差的关系。推广情况：推广情况：222221221xxYXfXf)()(mjxjxmxxYjmXfXfXfXf12222222221221)()()()(2022-11-1149第四节第四节 误
46、差的综合误差的综合 用相应的估计值代入各标准偏差，可得函数用相应的估计值代入各标准偏差，可得函数Y Y的标准偏的标准偏差估计值为：差估计值为：mjxjxmxxYjmXfXfXfXf12222222221221)()()()(mjXjYjXf12)(上两式即为上两式即为一般函数的随机误差传递公式一般函数的随机误差传递公式。上式两端同。上式两端同时乘以相同的置信系数时乘以相同的置信系数C C，即可得函数，即可得函数Y Y的随机不确定度。的随机不确定度。2022-11-1150第四节第四节 误差的综合误差的综合 四、系统不确定度与随机不确定度的综合四、系统不确定度与随机不确定度的综合 在实际测量过程
47、中，应该同时考虑系统不确定度和随在实际测量过程中，应该同时考虑系统不确定度和随机不确定度同时存在的情况，综合的结果称为机不确定度同时存在的情况，综合的结果称为总的不确定总的不确定度度。其综合方法有两种：。其综合方法有两种：（1 1）绝对值综合法）绝对值综合法)(YYu（2 2）方根综合法）方根综合法22YYu2022-11-1151第五节第五节 测量结果的数据处理测量结果的数据处理 一、测量结果的表示方法与有效数字的处理原则一、测量结果的表示方法与有效数字的处理原则 常见的测量结果表示方法是在观测值或多次观测结果常见的测量结果表示方法是在观测值或多次观测结果的算术平均值后加上相应的误差限。的算
48、术平均值后加上相应的误差限。（一）测量结果的数字表示方法（一）测量结果的数字表示方法1.1.单次测量结果的表示方法单次测量结果的表示方法 XX0（置信概率（置信概率P PC C=68.3%=68.3%）2.n2.n次测量结果的表示方法次测量结果的表示方法XCXX0（置信概率（置信概率P PC C）2022-11-1152第五节第五节 测量结果的数据处理测量结果的数据处理 一个数据，从左边第一个非零数字起至右边含有误差一个数据，从左边第一个非零数字起至右边含有误差的一位止，中间的所有数码均为有效数字。的一位止，中间的所有数码均为有效数字。（二）有效数字的处理原则（二）有效数字的处理原则2.2.数
49、据舍入规则数据舍入规则4 4舍舍6 6入入5 5看右看右1.1.有效数字的基本概念有效数字的基本概念原始数据原始数据保留小数点后两位有效数字保留小数点后两位有效数字12.32612.3365.841265.8443.485343.495.8355.848.24508.242022-11-1153第五节第五节 测量结果的数据处理测量结果的数据处理 3.3.有效数字运算规则有效数字运算规则 参加运算的常数入参加运算的常数入、e e等数值，有效数字的位数可以不等数值，有效数字的位数可以不受限制，需要几位就取几位。受限制，需要几位就取几位。加减运算加减运算 在不超过在不超过1010个数据相加减时，要把
50、小数位数个数据相加减时，要把小数位数多的进行舍入处理，使比小数位数最少的数只多一位小多的进行舍入处理，使比小数位数最少的数只多一位小数；计算结果应保留的小数位数要与原数据中有效数字数；计算结果应保留的小数位数要与原数据中有效数字位数最少者相同。位数最少者相同。乘除运算乘除运算 在两个数据相乘除时，要把有效数字多的数在两个数据相乘除时，要把有效数字多的数据作舍入处理，使之比有效数字少的数据只多一位有效据作舍入处理，使之比有效数字少的数据只多一位有效数字；计算结果保留位数同上。数字；计算结果保留位数同上。2022-11-1154第五节第五节 测量结果的数据处理测量结果的数据处理 3.3.有效数字运
