1、 中考数学专题中考数学专题 复习复习圆的切线的证明与计算圆的切线的证明与计算2一、本课主要知识梳理一、本课主要知识梳理1.定义：定义：与圆只有一个与圆只有一个_的直线叫做圆的切线，这个的直线叫做圆的切线，这个 公共点叫做切点公共点叫做切点.2.切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过圆的切线垂直于过_的半径的半径.3.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端并且经过半径的外端并且_于这条半径于这条半径 的直线是圆的切线的直线是圆的切线.4.证明一条直线是圆的切线方法：证明一条直线是圆的切线方法：主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_，二
2、，二 是利用切线的是利用切线的_，即常作的辅助线是：已知切点，即常作的辅助线是：已知切点，_证证_或未知切点，作或未知切点，作_证证_.公共点公共点切点切点垂直垂直半径半径判定定理判定定理连半径连半径垂直垂直垂直垂直半径半径3例例1、如图，在以如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心经过圆心O，且，且 与小圆相交于点与小圆相交于点A，与大圆相交于点，与大圆相交于点B.小圆的切线小圆的切线AC与大与大 圆相交于点圆相交于点D，且，且CO平分平分ACB.(1)试判断试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段试判
3、断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；(3)若若AB8 cm，BC10 cm，求大圆与小圆求大圆与小圆 围成的圆环的面积围成的圆环的面积(结果保留结果保留)二、例题讲解二、例题讲解4解：解：(1)BC所在直线与小圆相切；理由如所在直线与小圆相切；理由如下：过圆心下：过圆心O作作OEBC，垂足为垂足为E.AC是小圆的切线是小圆的切线，AB经过圆心经过圆心O，OAAC.CO平分平分ACB，OEBC，OEOA.BC所在直线是小圆的切线所在直线是小圆的切线 二、例题讲解二、例题讲解例例1、如图，在以如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，AB经过
4、圆心经过圆心O，且，且 与小圆相交于点与小圆相交于点A，与大圆相交于点，与大圆相交于点B。小圆的切线。小圆的切线AC与与 大圆相交于点大圆相交于点D，且，且CO平分平分ACB.(1)试判断试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；5解：解：ACADBC.理由如下：连接理由如下：连接OD.AC 切小圆切小圆O于点于点A，BC切小圆切小圆O于点于点E，CECA.在在RtOAD与与RtOEB中中，OAOE，ODOB，OADOEB90，RtOAD RtOEB(HL)EBAD.BCCEEB BCACAD 例例1、如图，在以如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆
5、心的两个同心圆中，AB经过圆心经过圆心O，且，且 与小圆相交于点与小圆相交于点A，与大圆相交于点，与大圆相交于点B。小圆的切线。小圆的切线AC与与 大圆相交于点大圆相交于点D，且，且CO平分平分ACB。(2)试判断线段试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，之间的数量关系，并说明理由；并说明理由；6解：解：BAC90，AB8，BC10，AC6.BCACAD，ADBCAC4.圆环的面积圆环的面积SOD2OA2(OD2OA2)，OD2OA2AD2，S4216(cm2)例例1、如图，在以、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心经过圆心O，且，且 与小圆相交于点与小圆相
6、交于点A，与大圆相交于点，与大圆相交于点B。小圆的切线。小圆的切线AC与大与大 圆相交于点圆相交于点D，且，且CO平分平分ACB.(3)若若AB8 cm，BC10 cm，求大圆与小圆围成的圆环的面求大圆与小圆围成的圆环的面 积。积。(结果保留结果保留)7例例1、如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，中，O交交x轴于轴于A、B两点两点，直线直线FAx轴于点轴于点A，点，点D在在FA上，且上，且DO平行平行 O的的MB，连连DM并延长交并延长交x轴于点轴于点C.（1）判断直线）判断直线DC与与 O的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明；（2）试判断线段试判断线段AC、AD、
7、BC之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；（3）若）若AB8 cm，BC10 cm，求大圆与求大圆与 小圆围成的圆环的面积小圆围成的圆环的面积(结果保留结果保留)回顾与思考回顾与思考81、如图，、如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C在在AB的延长线上，的延长线上，PAAB，延长延长PO至点至点D，使，使CDPO交交PO的延长线于点的延长线于点D，且且DPC=DCO。（1）求证：）求证：PC是是 O的切线；的切线；（2）若）若PA=6，tanPCA=3/4，求求OD的长。的长。91、如图，、如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C在在AB的延长线上，的延长线上，PAAB，延
8、长延长PO至点至点D，使，使CDPO交交PO的延长线于点的延长线于点D，且且DPC=DCO。（1）求证：）求证：PC是是 O的切线；的切线；证明：过点证明：过点O作作OEPC于点于点E，PAAB，CDPO,AOP=COD,OPA=DCO,DPC=DCO,OPA=DPC,OAPA,OEPC,OE=OA,PC是是 O的切线的切线;101、如图，、如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C在在AB的延长线上，的延长线上，PAAB，延长延长PO至点至点D，使，使CDPO交交PO的延的延 长线于点长线于点D，且，且DPC=DCO。（2）若）若PA=6，tanPCA=3/4,求求OD的长。的长。解：解：PA
9、AB，OA是是 O的半径，的半径，PA是是 O的切线，的切线，PE是是 O的切线，的切线，PE=PA=6，在，在RtPCA中，中，tanPCA=3/4，PA=6，AC=8，PC=10，CE=4，在在RtOCE中，中，tanECO=3/4，CE=4，OE=3，OC=5，在，在RtPOA中中，OP=3 ODCOAP,即即 ，OD=52263 5OAODOPOC111、如图，、如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C在在AB的延长线上，的延长线上，PAAB，延长延长PO至点至点D，使，使CDPO交交PO的延长线于点的延长线于点D，且且DPC=DCO。（1）求证：）求证：PC是是 O的切线；的切线；（
10、2）若）若PA=6，tanPCA=3/4，求，求OD的长。的长。回顾与思考回顾与思考12二、例题讲解二、例题讲解例例2、如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C，D在在 O上，上，A2BCD，点点E在在AB的延长线上，的延长线上，AEDABC。(1)求证：求证：DE与与 O相切；相切；(2)若若BF2，DF ，求求 O的半径的半径1013例例1、如图，在以如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心经过圆心O，且，且 与小圆相交于点与小圆相交于点A，与大圆相交于点，与大圆相交于点B.小圆的切线小圆的切线AC与大与大 圆相交于点圆相交于点D，且，且CO平分平分ACB
11、.(1)试判断试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；(3)若若AB8 cm，BC10 cm，求大圆与小圆求大圆与小圆 围成的圆环的面积围成的圆环的面积(结果保留结果保留)14解解：(1)证明：如答图，连结证明：如答图，连结OD.AB是是 O的直径，的直径，ACB90，AABC90，BOD2BCD，A2BCD，BODA，AEDABC，BODAED90，ODE90，即即ODDE，D在圆上，在圆上，DE与与 O相切；相切；例例2、AB是是 O的直径，点的直
12、径，点C，D在在 O上，上，A2BCD，点，点 E在在AB的延长线上，的延长线上，AEDABC.(1)求证：求证：DE与与 O相切；相切；15例例2、如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C，D在在 O上，上，A2BCD，点点E在在AB的延长线上，的延长线上，AEDABC.连结连结BD，过点，过点D作作DHBF于点于点H.DE与与 O相切，相切，BDEBCD，AEDABC，AFCDBF，AFCDFB，ACF与与FDB是是等腰三角形，等腰三角形，HD 3，在在RtODH中，中，OH2DH2OD2，即即(OD1)232OD2，OD5，答：答：O的半径是的半径是5.22FHDF16回顾与思考回
13、顾与思考例例2、如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C，D在在 O上，上，A2BCD，点点E在在AB的延长线上，的延长线上，AEDABC.(1)求证：求证：DE与与 O相切；相切；171、证明相切的基本思路：、证明相切的基本思路：已知半径已知半径-直接证直线与半径垂直；直接证直线与半径垂直；2如例“作垂直，证半径”-有公共点1如例“连半径，证垂直”-无公共点没有半径常用方法：常用方法：证平行、证全等、计算角度、运用角平分线证平行、证全等、计算角度、运用角平分线的性质的性质2、根据切线的性质，构造相似三角形，利、根据切线的性质，构造相似三角形，利 用相似三角形对应边成比例的性质，建用相似三角形对应边成比例的性质，建 立方程求解，（如练习立方程求解，（如练习1，练习，练习2），运），运 用勾股定理，三角函数，射影定理等用勾股定理，三角函数，射影定理等18作业布置：作业布置：测评练习测评练习 同学们，再见！同学们，再见！
