1、第24章 圆人教版九年级(上)数学探究新知知识归纳典型例题当堂训练课堂小结导入新课24.1.2(1)垂直于弦的直径-定理24.1 圆的有关性质把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?圆是轴对称图形.O O任何一条都是圆的对称轴.O O圆有几条对称轴？温故知新垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点知识点如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BEAE=BE弧:AC=BC,AD=BDAC=BC,AD=BD CDCD两侧的两个半圆重合,点A A与
2、点B B重合,AEAE与BEBE重合,ACAC和BCBC,ADAD与BDBD重合；O OA AB BD DE EC C或利用或利用AOEAOEBOE(HL)BOE(HL)来证明。来证明。把圆沿着直径CDCD折叠时,探究新知知识点一垂直于弦的直径-垂径定理OABCDE CDAB (或ODAB)AE=BE,ACBC ADBD 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.要点归纳知识点一垂直于弦的直径-垂径定理下列图形是否具备垂径定理的条件？不是不是O OA AB BC CO OA AB BC CE EO OA AB BC CD DE E不是不是是是定理中的两个条件缺一不可归纳总结归纳总结垂径定理
3、的几个基本图形：O OA AB BC CD DE EO OA AB BC CD DO OA AB BC CO OA AB BC CE E要点归纳知识点一垂直于弦的直径-垂径定理如图,O的弦AB=8cm,直径CEAB于D,DC=2cm,求半径OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，1184(cm)22ADAB 设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，典型例题知识点一垂直于弦的直径-垂径定理1.如图,OEAB于E,若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.2.如图所示,AB是O的直径,CD是弦,CDAB于点E
4、,则下列结论不一定成立的是()A.COE=DOE B.CE=DE C.D.OE=BEOABEOCDABEBCBD基础训练知识点一垂直于弦的直径-垂径定理垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点知识点赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求出赵州桥主桥拱的半径.(结果保留小数点后一位).典型例题知识点二利用垂径定理解决实际问题37.4m7.23mABOCE解：如图,用弧AB表示主桥拱,设其坐在圆的圆心为O,
5、半径为R经过点O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的重点,C是弧AB的重点,CD就是拱高由题设可知:AB=37cm,CD=7.23cmAD=0.5AB=0.537=18.5cm，OD=OC-CD=R-7.23在RtOAD中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2解得:R27.3(m)赵州桥的主桥拱半径约为27.3m典型例题知识点二利用垂径定理解决实际问题如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF,C
6、DOE 11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.基础训练知识点二利用垂径定理解决实际问题垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点知识点一弓形弦长为 cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为_.64DCOAB图aCBOAD图b典型例题知识点三与垂径定理有关的分类讨论已知O的半径为10cm,弦ABCD,且AB=12cm,CD=16cm,则弦AB和CD之间的距离为_ .ODCBA图 1ODCBA图 2
7、FEFE基础训练知识点三与垂径定理有关的分类讨论垂径定理内容辅助线垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线连半径,作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结强强 化化 训训 练练OPTION1.如图,O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_.3cmOP5cm3cmOP5cmB BA AO OP P拓展提升2.已知：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.你认为AC和BD有什么关系?为什么?证明：过O作OEAB,垂足为E，则AE=BE,CE=DE.AE-CE=BE-DE 即AC=BD.A
8、 AC CD DB BO OE E注意：解决有关弦的问题,常过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,它是一种常用辅助线的添法.拓展提升已知：O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)AMCMBMDM ACBD 拓展提升4.如图,在O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,求证四边形ADOE是正方形D DO OA AB BC CE E证明证明:OEAC,ODAB,ABAC.OEAC,ODAB,ABAC.四边形四边形ADOEADOE为矩形，为矩形，又又AC=ABAC=ABAE=ADAE=AD四边形四边形ADOEADOE为正方形为正方形.OEA=,OEA=,EAD=EAD=ODA=90ODA=90,拓展提升5.如图,点A,B是O上两点,AB=8,点P是O上的动点(P不与A,B重合),连接AP,BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,EF=_.OPFEBA拓展提升在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,若油面宽 AB=600mm,求油的。OBAOAB拓展提升O OA AB BC CD DD DO OA AB BC C已知A、B、C是O上三点,且AB=AC,圆心O到BC的距离为3厘米,圆的半径为5厘米,求AB长.拓展提升
