1、1.3.1三角函数的周期性三角函数的周期性【教学目标】【教学目标】（1）了解周期现象在现实中广泛存在，）了解周期现象在现实中广泛存在，感受周期现象对实际工作的意义；感受周期现象对实际工作的意义；（2）了解周期函数的概念，会判断一）了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期；求一些简单三角函数的周期；（3）培养及渗透数形结合思想，培养）培养及渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点辩证唯物主义观点（一）情境引入（一）情境引入1问题：问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢
2、？几？过了十四天呢？（2）物理学中的单摆振动、圆周运动中）物理学中的单摆振动、圆周运动中质点运动，规律如何呢？质点运动，规律如何呢？2我们学过的函数中哪些函数也具有这我们学过的函数中哪些函数也具有这种种“周而复始周而复始”的基本特征呢？怎样的基本特征呢？怎样从数学的角度研究函数的周期现象呢？从数学的角度研究函数的周期现象呢？（二）意义建构（二）意义建构 由单位圆中的三角函数线可知，正、由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）当角增加（或减少）2，所得角的终边，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余与原来角的终
3、边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同即有弦函数值也分别相同即有sin（2x）sinx，cos（2x）cosx，正弦函数和余弦函数所具有的这种正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性性质称为周期性（三）数学理论（三）数学理论 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果，如果存在一存在一个个非零常数非零常数T，使得定义域内的，使得定义域内的每一个每一个x值，都满足值，都满足f(xT)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做周期函数周期函数，非零常数，非零常数T叫做这个叫做这个函数的函数的周期周期 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果在它所，如果在它所有的周期中存在一个
4、有的周期中存在一个最小的正数最小的正数，那么，那么这个最小正数就叫做这个最小正数就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期（四）数学应用（四）数学应用 例例1 课本课本P26 例例2 T 是是ysinx的周期吗？的周期吗？试证明你的结论试证明你的结论2例例3 已知已知f(xT)f(x)(T为常数，为常数，T0)，求证，求证f(x2T)f(x)例例4 证明证明f(x)sinx(xR)的最小正周的最小正周期是期是2例例5 求函数求函数y3cosx的周期的周期例例6 求求ysin2x的周期的周期例例8 求求yAsin(x)的周期的周期(其中其中A，为常数，且为常数，且A0，0，xR)(六六)课堂小结（回
5、顾反思）课堂小结（回顾反思）(七七)课堂巩固与课后作业（略）课堂巩固与课后作业（略）【课堂教学设计说明】【课堂教学设计说明】1此教学方案是按照此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体教师为主导，学生为主体”的原则，以的原则，以“感受理解、感受理解、思考运用、探究拓展思考运用、探究拓展”为主线而设计的教师通过为学生创设问题情境，激为主线而设计的教师通过为学生创设问题情境，激发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题题2函数周期性概念的教学是本节课的重点函数周期性概念的教学是本节课的重点,也是本节课的难点概
6、念教学是也是本节课的难点概念教学是中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视也不能因其难而回中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视也不能因其难而回避概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生避概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻因此，进行概念教学时，除了逐字逐对它的认识不可能一下子就十分深刻因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导使学生句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导使学生对概念的理解逐步深入对概念的理解逐步深入2.4向量的数
7、量积向量的数量积一、问题情景一、问题情景sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，且，且F与与s的夹角为的夹角为,那么力那么力F 所做的功应所做的功应当怎样计算？当怎样计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.|sFW cos数量数量 叫做叫做力力F 与位移与位移s的数量积的数量积 cossF 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功向上的力做功sFbOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，
8、垂足为 ，则，则1B 1OB|b|cosOABab 1BOABab)(1B|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0BOAab 1B平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即，即 cos|ba cos|baba 规定规定：零向量与任意向量的数量积为零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a （
9、1）两向量的数量积是一个）两向量的数量积是一个数量数量，而，而不不是是向量向量，符号由夹，符号由夹角决定；角决定；（3）a b不能不能写成写成ab，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合数学理论数学理论向量的夹角向量的夹角)1800(两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 与与 反向反向abOABabOAa0 与与 同向同向abOABaba Bbb AOBab则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB
10、 ab注意注意:在两向量的在两向量的夹角定义中夹角定义中,两向两向量必须是量必须是“共起点共起点”的的bOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB|b|cosOABab 1BOABab)(1B定义定义：|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0BOAab 1B投影的概念及两个向量的数量积的性质投影的概念及两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质：两个向量数量积的性质：（1 1）e a=a e=|a|cos（2
11、2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)（3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当，当a 与与b 反向反向时，时，a b=|a|b|特别地特别地aaaaaa|2或或（4）|cosbaba（5）a b|a|b|数学应用数学应用2.判断下列各题是否正确：判断下列各题是否正确：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03若若a 00，ab b=0，则，则b=04若若ab=0，则，则ab中至少有一个为中至少有一个为06 6若若a0，a b=a c，则，则b=c5对
12、任意向量对任意向量 a 有有22|aa 引入方法探索引入方法探索75sin75cos诸如7515、等角都是较为特殊的角，如何求它们的三角函数值？方法：1、计算器2、查表9659.02588.0在实际生活及科研中必须要保证每一步计算都非常精确才能不会造成不必要的损失和后果！但是：如何求75cos的精确值？分析：304575出的三角函数值能精确求和而3045问题问题：?304575的三角函数值关系如何的三角函数值关系如何、与与一、一、3045cos75cos即?)(cos?,cos二、一般的，?cos 如何求如何求xyO)0,1(0P)sin,(cos2 P)sin,(cos 1P由图可知：由图可
13、知：,1 2OPP),sin,cosOP1（向量a),sin,cosOP2（向量b设设)(cosbabasinsincoscosba sinsincoscos)-cos(建构数学建构数学 这种这种“算两次算两次”的方法是一种重要的数的方法是一种重要的数学方法，也称做富比尼学方法，也称做富比尼(G.Fubini)原理原理 由此可得：)cos()sin(sin)cos(cos )(cos(sinsincoscos C弦公式弦公式结论：两角和与差的余结论：两角和与差的余)cos(sinsincoscos注：1、公式中两边的符号正好相反（一正一负）、公式中两边的符号正好相反（一正一负）2、式子右边同名三角函数相乘再加减，、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。且余弦在前正弦在后。数学应用数学应用例例1 用两角和的（差）的余弦公式证明下列用两角和的（差）的余弦公式证明下列诱导公式：诱导公式：sin2cos1 ）()(cos2sin2 ）()(.15,15,15cos75cos:tansin,:2 不查表，求值不查表，求值例例75cos解：15cos15sin)3045cos(30sin45sin30cos45cos;426;426；426
