1、*8 反常二重积分 与反常定积分相同,二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形,统称为反常二重积分.一、无界区域上的二重积分二、无界函数的二重积分一、无界区域上的二重积分 定义定义1 设设 (,)f x y为定义在无界区域为定义在无界区域 D 上的二元函上的二元函 数数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 ,(,)f x y E 在曲线在曲线所围的有界区所围的有界区域域与与 D 的交集的交集 EDD (图图21-42)上二重可积上二重可积.令令 22min(,).dxyx y 若若存在有限存在有限极限极限:xy2142 图图 OE
2、DD lim(,)d,dDf x y (,)f x y且与且与的取法无关的取法无关,则称则称 在在 D 上上的反常二的反常二 重积分收敛重积分收敛,并记并记 (,)dlim(,)d;(1)dDDf x yf x y 否则称否则称(,)f x y在在 D 上的反常二重积分发散上的反常二重积分发散,或简或简 (,)dDf x y 发散发散.称称 定理定理21.16 设在无界区域设在无界区域 D 上上(,)0,f x y 12,n 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足满足 22(i)inf(,)();nndxyx yn (ii)sup(,),nnDIf x y d
3、,nnDEDn nE其中其中为为所围的有界区域所围的有界区域.这时反这时反 常二重积分常二重积分(1)必定收敛必定收敛,并且并且 (,)d.Df x yI 证证 设设 为任何包围原点的光滑封闭曲线为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成它所围成 ,EDED lim,nxd的区域记为的区域记为并记并记 .因为因为 .nDDD(,)0,f x y因此存在因此存在 n,使得使得 由于由于 所所 以有以有 (,)d(,)d.nDDf x yf x yI另一方面，因为另一方面，因为sup(,)d,nnDIf x y 0,0,n故对任给的故对任给的总有总有 使得使得 0(,)d.nDf x yI(,)d.D
4、f x yI再由再由 (,)d,DIf x yI由定理由定理 21.16 的证明容易看到有以下定理的证明容易看到有以下定理:0,nDD 因而对于充分大的因而对于充分大的 有有可知可知反常二重积分反常二重积分 (,)dDf x y 存在存在,且等于且等于 I.定理定理21.17 若在无界区域若在无界区域 D上上(,)0f x y则反常二则反常二 重积分重积分(1)收敛的充要条件是：在收敛的充要条件是：在 D 的任何有界子的任何有界子 区域上区域上(,)f x y可积，且积分值有上界可积，且积分值有上界.例例1 证明反常二重积分证明反常二重积分22()edxyD 收敛收敛,其中其中 D 为第一象限
5、部分为第一象限部分,即即 0,)0,).D部分部分.因为因为 22()e0,xy所以二重积分所以二重积分 证证 设设 是以原点为圆心是以原点为圆心 R 为半径的圆在为半径的圆在第一象限第一象限 RD22()edRxyD 的值随着的值随着 R 的增大而增大的增大而增大.又因又因 2222()200edded(1e),4RRxyrRDr r 所以所以 222()limedlim(1e).44RxyRRRD 显然对显然对 D 的任何有界子区域的任何有界子区域 ,D总存在足够大的总存在足够大的 R,使得使得,RDD于是于是 2222()()eded.2RxyxyDD 因此由定理因此由定理21.17,反
6、常二重积分反常二重积分 22()edxyD 收敛，收敛，并且由定理并且由定理21.16 有有 22()ed.(2)4xyD 由由 (2)式还可推出在概率论中经常用到的反常积分式还可推出在概率论中经常用到的反常积分 20ed.x 的值的值为此为此,考察考察 0,0,aSaa上的积分上的积分 22()ed.axyS 因为因为 22()edaxyS 2200ededaaxyxy220ed,axxxy2143 图图Oa2aaDaS2aD2aaaDSD而而(图图 21-43),所以所以2222()()ededaaxyxyDS22222()0(ed)ed.aaxxyDx 令令 a,则得则得 2222()0
7、limeded,4axxyaDx 故得故得 20ed.2xx 下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有 例例2 证明证明:若若 0,0,pq 则则 ()()(,).()pqp qpq 2,xud2 dxu u证证 对于对于 函数函数,令令 则则,于是于是212100()e d2ed.pxpupxxuu 从而从而 22212100()()4ededpxqypqxxyy关关 函数与函数与 函数的联系公式函数的联系公式.22212100lim4eded.RRpxqyRxxyy令令 0,0,RDRR由二重积分化为累次积分的计由二重积分化为累次积分的计算公
8、式算公式,有有 22222121()212100ededed.RpqxyDRRpxqyxyxxyy 所以所以222121()()()lim4edRpqxyRDpqxy 222121()4ed,(4)pqxyDxy 式右边的反常二重积分式右边的反常二重积分,记记 222(,)|,0,0.rDx yxyrxy于是有于是有 222121()()()4ed,pqxyDpqxy 222121()lim4ed.rpqxyrDxy 这里这里 为平面上第一象限为平面上第一象限.和例和例1 一样一样,下面讨论下面讨论(4)D对上式积分应用极坐标变换，则得对上式积分应用极坐标变换，则得 22()22121200(
9、)()lim4d(cos)(sin)ed.rp qpqrrpqrr r 221212()1200lim2(cos)(sin)d2edrpqp qrrrr 2121202(cos)(sin)d().pqpq 再由第十九章再由第十九章3 的的 (10)式就得到式就得到 ()()(,)().pqp qpq (,)f x yD定理定理21.18 设设在无界区域在无界区域的任何有界子区的任何有界子区 证证 (只证充分性只证充分性)设设|(,)|dDf x y 收敛于收敛于M.作辅作辅|(,)|(,)(,),2f x yf x yfx y|(,)|(,)(,).2f x yf x yfx y域上可积域上可
10、积.则则反常二重积分反常二重积分(,)dDf x y 收敛的充收敛的充 要条件是要条件是:反常二重积分反常二重积分|(,)|dDf x y 收敛收敛.助函数助函数:显然有显然有 0(,)|(,)|,0(,)|(,)|,fx yf x yfx yf x y因而任给有界区域因而任给有界区域 ,D 恒有恒有 (,)d|(,)|d,fx yf x yM(,)d|(,)|d.fx yf x yM(,)fx y(,)fx y所以所以与与在在 D 上的反常二重积分都上的反常二重积分都 收敛收敛.又因又因 (,)(,)(,),f x yfx yfx y所以所以(,)f x y在在 D 上的反常二重积分也收敛上
11、的反常二重积分也收敛.关于必要性的证明关于必要性的证明,有兴趣的读者可参阅菲赫金哥有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注注 对于反常定积分对于反常定积分,绝对收敛的反常积分一定收敛绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然反之不然.而在反常二重积分中而在反常二重积分中,绝对收敛的反常积绝对收敛的反常积 分一定收敛分一定收敛,反之亦然反之亦然.出现这种区别的原因出现这种区别的原因,是因是因为直线上的点是有序的为直线上的点是有序的,而在平面上的点是无序的而在平面上的点是无序的.定理定理21.19(柯西判别法柯西判别法)设设(,)f x y在无界
12、区域在无界区域 D 的的 任何有界子区域上可积任何有界子区域上可积,D 中中的点的点 (,)x y到原点的距到原点的距 离为离为 22.rxy(i)若当若当 r 足够大时足够大时,|(,)|(),pcf x ycr为正常数为正常数2p (,)dDf x y 则当则当 时时,反常二重积分反常二重积分 收敛；收敛；(,)f x y|(,)|,pcf x yr(ii)若若在在 D 上上满足满足 其中其中 D 包包 含有以含有以原点为顶点的无限扇形区域原点为顶点的无限扇形区域,则当则当 时，时，2p 反常二重积分反常二重积分(,)dDf x y 发散发散.*证证 记记 22(,),rDx yDxyr则
13、则(i)因为对任意因为对任意 1,R 11(,)d(,)d(,)dRRDDDDf x yf x yf x y1201(,)dddRpDcf x yr rr 121(,)d22pDRf x ycp12(,)d,2Dcf x yp 所以所以 (,)dDf x y 收敛收敛.(ii)设设 ,DG 其中其中 (,)(cos,sin),0,).Gx yrrr 对任意对任意 1,R (,)d(,)dDGf x yf x y211dd22().pRpcRr rcrpR 因此因此 (,)dDf x y 发散发散.二无界函数的二重积分定义定义2 设设 P 为有界区域为有界区域 D 的一个聚点，的一个聚点，(,)
14、f x y在在 D (,)f x yD 界界,为为 D 中任何含有中任何含有 P 的小区域，的小区域，在在 上可积上可积,又设又设 d 表示表示 的直径的直径.若极限若极限 0lim(,)ddDf x y 上除点上除点 外皆有定义外皆有定义,且在且在 的任何空心邻域内无的任何空心邻域内无 PP(,)f x y存在且有限存在且有限,并与并与 的取法无关的取法无关,则称则称 在在 D 上的反常二重积分收敛上的反常二重积分收敛,记作记作0(,)dlim(,)d;dDDf x yf x y(,)dDf x y 否则称否则称反常积分反常积分发散发散.与无界区域上的反常重积分一样，对无界函数的反与无界区域
15、上的反常重积分一样，对无界函数的反 常重积分也可建立相应的收敛性定理常重积分也可建立相应的收敛性定理.其证明方法其证明方法也与定理也与定理21.19类同类同,请读者自证请读者自证.定理定理21.20 (柯西判别法柯西判别法)设设(,)f x y在有界区域在有界区域 D 00(,)P xyP上除点上除点外处处有定义外处处有定义,点点是它的瑕点是它的瑕点,则下面两个结论成立则下面两个结论成立:(i)若在点若在点 P 的附近有的附近有 (,),cf x yr 其中其中 c 为常数，为常数，2200()()rxxyy,则当则当 2(,)dDf x y 时时,反常二重积分反常二重积分收敛收敛;(,),cf x yr 且且 D 含有以点含有以点 P 为顶点的角形区域为顶点的角形区域,则当则当 2 时时,反常二重积分反常二重积分(,)dDf x y 发散发散.总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同(ii)若在点若在点 P 的附近有的附近有 之处之处.复习思考题
