1、5.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 5.2.1 5.2.1 相似矩阵相似矩阵 5.2.2 5.2.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化5.2.1 相似矩阵定义5.2.1 5.2.1 设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆阵P使 BAPP1称矩阵A与B相似，记为AB。用可逆矩阵P对A作运算P-1AP，称为对矩阵A进行一次相似变换.相似是矩阵之间的一种关系.这种关系满足下面三个性质:(1)反身性:对任意n阶方阵A，有AA;矩阵的相似还具有以下运算性质:(3)传递性:若AB，且BC，则AC.(2)对称性:若AB，则BA;(1)若P-1A1P=B1，P-1A2P=B2，则P-1(A1+A2)P=
2、B1+B2;(2)若AB，则kAkB，k为常数，kP成立;(3)若P-1A1P=B1，P-1A2P=B2，则P-1A1A2P=P-1A1PP-1A2P=B1B2.特别，若AB，则AkBk，k为正整数;(4)若AB，f(x)是一个多项式，则f(A)f(B).以上运算性质可以用来简化矩阵的计算.相似矩阵的下述性质，称为相似不变性。定理5.2.1 设AB，则有(1)R(A)=R(B)，此处R(A)，R(B)分别是A、B的秩;(3)A可逆时B也可逆，反之亦然.当A可逆时还有A-1B-1.(2)BA;证 (1)和(2)是显然的，只证(3).由于|A|=|B|,故|A|0时|B|0，即A可逆时B也可逆,反
3、之亦然.且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1P，即A-1B-1.证毕。定理5.2.2 5.2.2 相似的矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证 设AB，则有可逆阵P使P-1AP=B，从而 PAEPAPPEBE)(11AEAEPPPAEP11这样，A与B有相同特征多项式.从而有相同的特征值.证毕.应该指出，定理5.2.2的逆是不成立的.特征多项式相同的矩阵未必是相似的.如1011,1001BA的，因为A是单位阵，而与单位阵相似的矩阵只能是其本身.21BEAE，但A与B不是相似由定理5.2.2可知，相似的矩阵有相同特征值.如果能找到与A相似的较简单的矩阵，则可简化许多问题的处理.在n
4、阶矩阵中，对角矩阵是比较简单的矩阵.那么一个矩阵什么情况下能相似于对角矩阵呢?下面讨论这一问题.5.2.2 矩阵的相似对角化给定n阶方阵A，怎样在A相似的所有方阵中找出一个最简单的方阵?换言之，如何寻找可逆方程阵P使P-1AP=B成为对角阵呢?这就是下面要讨论的问题.定义5.2.2 设A是数域P上的n阶方阵.如果存在P上可逆阵P，使得niPAPPin,2,1,211则称A是可相似对角化的方阵，简称为A为可对角化.下面的例子说明，并非所有方阵都能对角化.例5.2.1 取复数域C上的二阶矩阵:1011A则A在复数域上不能对角化.证 设若不然,则存在可逆矩阵dcbaP21100APP，1，2P.于是
5、 使 2100PAP21001011dcbadcba即比较两边元素有2121ddccbdaaca由于P可逆，c，d不能同时为0，不妨设c0，则有1=1，再由第一式有c=0，这导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P使P-1AP成对角形.即A在复数域C上不能对角化。那么，什么样的矩阵是可以对角化的呢?如果A可相似对角化，则存在可逆阵P使,211nAPP从而有.21nPAP记1,2，n为P的列向量，则有,),(),(212121nnnA即nnnAAA,221121从而niAiii,2,1(5.2.1)由于P可逆，则1，n线性无关.因此，要使A可对角化，A必须有n个线性无关的特征向量，而与A相似的对角
6、形矩阵中的i(i=1,n)则是A的特征值.以上分析说明，矩阵A是否可对角化，与A的特征值、特征向量的状况有密切关系.定理5.2.3 5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证 必要性上面已经证明.下面证充分性.设A有n个线性无关的特征向量12，n，分别属于特征值1，2，n，则有 niAiii,2,1以1，2，n为列向量作矩阵P，则P可逆，且),(21nAAAAP),(2211nn,),(2121nn.211nAPP即 从而A可相似对角化.证毕.推论 若n阶矩阵A在数域P中有n个不同的特征值，则A可对角化.证 设 1，2，nP是A的n个不同的特征值.1，2，
7、n是分别属于它们的特征向量，由定理5.1.4可知1，2，n线性无关，从而由定理5.2.3，A可相似对角化.由例5.2.1可以看到，并非任何矩阵都可相似对角化，这个推论给出的只是方阵相似于对角形矩阵的一个充分条件，但不是必要条件.定理5.23说明，一个n阶方阵是否可以相似对角化，在于它是否有n个线性无关的特征向量。如果A的特征值都是单根，因为属于不同特征值的特征向量是彼此线性无关的，这时A有n个线性无关的特征向量，从而A可以对角化。如果A有重根，注意到属于A的不同特征值的线性无关的特征向量组成的向向量组是线性无关的，那么只有属于它的每个重根的线性无关的特征向量个数和该特征值的重数相等时，它才有n
8、个线性无关的特征向量，这时A才可对角化。将数域P上n阶矩阵A相似对角化的步骤归纳如下。第一步:求特征多项式 AEf)(，若)(f在数域P上不能分解为一次因式之积，则A不能对角化;第二步:若 在数域P上可分解为一上可分解为一)(fP，则t,1就是A的全部特t,21次因式之积次因式之积 21)()()(21rrf trt)(，征值;第三步:对每个特征值i，求方程组(iE-A)X=0的基础解系，得到属于i的所有线性无关特征向量.如果这些特征向量的总个数等于n，则A可对角化，否则不能对角化;第四步:若方阵A的线性无关特征向量全体有n个，设为1,2,n,令P=(1，2，n),则P-1AP为对角阵，且主对
9、角线上元素等于i(i=1,2,n)对应的特征值.注意，前面所说的对角化总是对数域P上而言的，矩阵是否可对角化是与所在数域有关的.对于没有明确指出所在数域的矩阵A，一般认为是在复数域上讨论的.例5.2.2 设 142252001A为实数域R上的三阶方阵，问A是否可对角化?若可对角化，求出可逆阵P使P-1AP为对角形.解 首先求出A的特征值为1（二重特征根）和3。分别把1 =1=1，1 =3代入线性方程组(E-A)X=0,解之，得到属于特征值1的线性无关特征向量为 101,01221属于特征值3的特征向量为 1103由定理5.1.6可知，1,2,3线性无关。A为三阶矩阵，它有三个线性无关的特征向量
10、，故A可对角化。令 110101012),(321P3112111APP则 例5.2.3 已知三阶矩阵A在实数域R上有3个不同特征值-1,1,2，矩阵B=A3+2A+E，问B在实数域上是否可对角化?并求B.解 已知A有3个互异特征值，由定理5.2.3的推论可知，A可对角化,即有可逆阵P使2111APP由于811211311131APPAPPAPPPAP4222211APPPAP则EAPPPAPPEAAPBPP131311221342111422811故B可对角化,且B的特征值为-2,4,13.由定理5.2.1可知，1041342B例5.2.4 设三阶方阵A，4E-A，A+5E都不可逆，问A是否可对角化，写成其对角阵。解解 因为A，4E-A，A+5E都不可逆，所以|A|=|4E-A|=|A+5E|=0，从而A有三个不同特征值0，4，-5，由定理5.2.3的推论可知，A可相似对角化。045它的对角阵为
