1、第四章指数函数与对数函数网络构建 核心归纳1.指数函数的图象和性质 一般地，指数函数yax(a0且a1)的图象与性质如下表所示.a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在(，)上是增函数在(，)上是减函数注意(1)对于a1与0a1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0a10a1时，y0；当0 x1时，y1时，y0；当0 x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.指数函数与对数函数的关系对数函数ylogax(a0且a1)与指数函数yax(a0且a1)互为反函数，其图象关于直线yx对称(如图).4.函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)0的解，
2、函数f(x)的零点的个数与方程f(x)0的解的个数相等，也可以说方程f(x)0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.5.函数零点存在定理 (1)该定理的条件是：函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的；f(a)f(b)0，得x1，即函数的定义域为(，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C.法二函数y2log4(1x)的图象可认为是由ylog4x的图象经过如下步骤
3、变换得到的：(1)函数ylog4x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y2log4x的图象；(2)把函数y2log4x的图象关于y轴对称得到函数y2log4(x)的图象；(3)把函数y2log4(x)的图象向右平移1个单位，即可得到y2log4(1x)的图象，故选C.答案C【训练2】在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()解析幂函数f(x)xa的图象不过(0，1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)logax的图象知0a1，而此时幂函数f(x)xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.答案D要点三大小比较问题数的大小比较常用方法
4、：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.答案C答案A要点四函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f
5、(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.法一(函数单调性法)当x0时，f(x)2x6ln x.而f(1)216ln 140，所以f(1)f(3)0时，由f(x)0，得2x6ln x0，即ln x62x.如图，分别作出函数yln x和y62x的图象.显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x0时，f(x)0只有一个解.综上，函数f(x)共有2个零点.(2)如图，当xm时，f(x)|x|.当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数.
6、若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m|m|.m0，m23m0，解得m3.答案(1)2(2)(3，)【训练4】已知关于x的方程a4xb2xc0(a0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是()A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根答案D要点五函数模型的应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则(1)简化原
7、则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.解(1)由题意得G(x)2.8x.f(x)R(x)G(x)(2)当0 x5时，由0.4x23.2x2.80得x28x70，解得1x7，15时，由8.2x0，得x8.2，所以5x8.2.综上，当1x0，即当产量x大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利.
8、(3)当0 x5时，函数f(x)0.4(x4)23.6，当x4时，f(x)有最大值为3.6；当x5时，函数f(x)单调递减，f(x)f(5)3.2(万元).综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.即x4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.(2)设tlog25(x1)，则当0 x24时，0t1.设g(t)|ta|2a1，t0，1，显然g(t)在0，a上是减函数，在(a，1上是增函数，则f(x)maxmaxg(0)，g(1)，因为g(0)3a1，g(1)a2，一、指数、对数运算1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质
9、进行化简、计算、证明等.2.掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养.例1化简：(1)2932532(8)(10)10.解原式92235233222101021103 2152101210(2)2log32 log38 .5log 325解原式log34 log3852log 355log 95log399297.反思感悟指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对
10、数计算、化简、证明常用的技巧.111原式 22331214271111.1344223二、指数函数、对数函数的图象及其应用1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养.例2(1)已知f(x)是函数ylog2x的反函数，则yf(1x)的图象是解析函数ylog2x的反函数为y2x，故f(x)2x，此函数在R上为减函数，其图象过点(0,2)，所以选项C中的图象符合要
11、求.(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是A.x|1x0B.x|1x1C.x|1x1D.x|1x2解析借助函数的图象求解该不等式.作出函数ylog2(x1)图象如图.结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1.反思感悟指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.解析当x0时，2x1，当x0时，2x1，三、指数函数、对数函数的性质及其应用1.以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等
12、.在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围.2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养.例3(1)设alog37，b21.1，c0.83.1，则A.bac B.cabC.cba D.acb解析因为alog37，所以1a2.因为c0.83.1，所以0c1.故cab，故选B.求f(2)f(log212)；2log 1212解f(2)f(log212)1log242log 12122解不等式f(x)4.解得6x1或1x3，即6x0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析当a1时，f(x)axb在定义域上为增函数，当0a1时，
13、f(x)axb在定义域上为减函数，1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴交点以及两函数交点问题.2.掌握零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养.四、函数的零点与方程的根A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)x0(2,3).解析函数f(x)有两个零点，即方程f(x)0有两个不同的解，即方程|3x1|k有两解，即函数y|3x1|与yk的图象有两个交点，如图作出y|3x1|的图象.(2)函数f(x)|3x1|k，若f(x)有两零点，则实数k的取值范围是_.(0,1)所以0k1.反思感悟(1)函数的零点与方程的根的关
14、系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.A.1个 B.2个 C.3个 D.至少1个可以看出只有一个交点.(2)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_.解析画出函数f(x)的图象，如图所示.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知 k0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是12345解析由函数ylogax的图象过点(3,1
15、)，得a3.12345选项B中的函数为yx3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y(x)3，则其函数图象不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，则其函数图象不正确.2.若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有A.一个 B.两个C.至少两个 D.无法判断12345解析f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以f(x)在(0，)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(，0)上有且仅有一个零点2.因此函数f(x)有两个零点2与2.A.cba B.bcaC.abc D.bac13452因此bca.4.f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是A.(，)B.(2，)C.(0，)D.(1，)13452可知g(x)的值域为(1，)，故当a1时，f(x)在(0，)内有零点.5.已知函数 若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_.212log,0,()log(),0,x xf xx x13452(1,0)(1，)解析当a0时，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，12log a12log a12log()a当af(a)，即 log2(a)，12log()a121loga综上得1a1.13452
