1、第四章第四章 三角形三角形第五节第五节 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用第一部分第一部分 考点研究考点研究 考点精讲锐角三锐角三角函数角函数及其应及其应用用锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值锐角三角函数锐角三角函数直角三直角三角形的角形的边角关系边角关系锐角三角函数锐角三角函数的实际应用的实际应用(1)如图如图，RtABC中除直角中除直角C外，外，其余五个元素有以下关系三边关系：其余五个元素有以下关系三边关系：(2)利用这些关系，可以解直角三角形，利用这些关系，可以解直角三角形，具体如下：具体如下：（1）仰角、俯角：）仰角、俯角：（2）坡度（坡比）
2、、坡角：）坡度（坡比）、坡角：（3）方向角：）方向角：锐角三角函数的定义：如图锐角三角函数的定义：如图，在，在RtABC中，中，C90，A为为ABC中的一锐角中的一锐角,则有：则有：A的正弦：的正弦：sinA=A的余弦：的余弦：cosA _ A的正切：的正切：tanA _ A的正弦、余弦、正切都是的正弦、余弦、正切都是A的锐角三角函数的锐角三角函数A对边边ac的的斜斜A 的邻边斜边AA的对边邻边bcab特殊特殊角的角的三角三角函数函数值值 角度角度三角函数三角函数304560sin_cos_tan_2212333232122231三边关系：三边关系：a2+_c2两锐角关系：两锐角关系：A+_9
3、0边角关系：边角关系：sinAcosB cosA_ tanA_，tanB_b2(1)如图如图，RtABC中除直角中除直角C外，外，其余五个元其余五个元 素有以下关系素有以下关系acbc11 11 12 12 13 13 BsinBbaab(2)利用这些关系，可以解直角三角形，具体如下：利用这些关系，可以解直角三角形，具体如下：已知条件已知条件图形图形解法解法一直角边和一一直角边和一锐角（锐角（a,A）B=90-A,c=,b=_ (或或b=)已知斜边和一已知斜边和一个锐角（个锐角（c,A）B=90-A,a=c _,b=ccosA(或或b=)sinaA22baatanA22ca sinA14 14
4、 15 15(2)利用这些关系，可以解直角三角形，具体如下：利用这些关系，可以解直角三角形，具体如下：已知条件已知条件图形图形解法解法已知两直角边已知两直角边(a,b)c=_,由由tanA=求求A,B=90-A已知斜边和一已知斜边和一条直角边（条直角边（c,a）b=,由由sinA=_求求A,B=90-A22ab22ca16 16 17 17 abac（1）仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角）仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角 中，视线在水平线上方的角叫中，视线在水平线上方的角叫 仰角，视线在水平线下方的角仰角，视线在水平线下方的角 叫俯角叫俯角.如图如图（2）坡度（坡比）、坡角）坡度（坡比
5、）、坡角:如图如图，坡面的铅直高度，坡面的铅直高度 h和水平宽度和水平宽度l的比叫坡度的比叫坡度 （坡比），用字母（坡比），用字母i表示；表示；坡面与水平线的夹角坡面与水平线的夹角叫叫 坡角，坡角，i=tan=_hl18 18（3）方向角）方向角:一般指以观测者的位置为中心，将正北一般指以观测者的位置为中心，将正北 或正南方向作为始方向旋转到目标方向或正南方向作为始方向旋转到目标方向 线所成的角（一般指锐角），通常表线所成的角（一般指锐角），通常表 达成北（南）偏东（西）多少度，如达成北（南）偏东（西）多少度，如 图图，A点位于点位于O点的北偏东点的北偏东30方方 向，向，B点位于点位于O点的
6、南偏东点的南偏东60方向，方向，C点位于点位于O点的北偏西点的北偏西45方向（或西方向（或西 北方向）北方向）重难点突破 锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用(高频点)例例（2015安徽安徽）如图，平台）如图，平台AB高为高为12米，在米，在B处测得楼房处测得楼房CD顶部点顶部点D的仰角为的仰角为45，底部，底部点点C的俯角为的俯角为30，求楼房，求楼房CD的高度的高度.（31.7)【信息梳理信息梳理】原题信息原题信息整理后的信息整理后的信息一一平台平台AB高为高为12 米米AB=12 米米二二在在B处测得楼房处测得楼房CD顶顶部点部点D的仰角为的仰角为45，底部点底部点C的俯角为的俯
7、角为30过点过点B作作BECD，垂，垂足为足为E.DBE=45，CBE=30 三三求楼房求楼房CD的高度的高度CD=CE+DE 如解图，作如解图，作BECD于点于点E，则，则CE=AB12.在在RtBCE中，中，BE .在在RtBDE中，中，DBE=45，DEB=90，BDE45，DE=BE=，CD=CE+DE=12+32.4，楼房楼房CD的高度约为的高度约为32.4米米.E1212 3tantan30CECBE12 312 3例题解图例题解图解：解：1.有关锐角三角函数的实际应用的解题步骤：有关锐角三角函数的实际应用的解题步骤：审题：通读题干结合图形，在图中找出与题干审题：通读题干结合图形，
8、在图中找出与题干相吻合的已知条件，弄明白哪些是已知量，哪些相吻合的已知条件，弄明白哪些是已知量，哪些是未知量是未知量；构造直角三角形：将已知条件转化为示意构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边角关系，再结合问题，把所求的量转化图中的边角关系，再结合问题，把所求的量转化到与已知条件相结合的直角三角形中，若不能在到与已知条件相结合的直角三角形中，若不能在图中体现，则需添加适当的辅助线将其结合图中体现，则需添加适当的辅助线将其结合；列关系式：在直角三角形中选择适当的锐列关系式：在直角三角形中选择适当的锐角三角函数关系式进行求解角三角函数关系式进行求解；检验：解题完毕后，可能会存在一些较为检验：
9、解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如含有复杂的小数等特殊的数据，例如含有复杂的小数等.因此，要特因此，要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意结果有无要求保留的条件意结果有无要求保留的条件.2.在实际测量高度、宽度、距离等问题中，在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造常结合视角知识构造“直角三角形直角三角形”利用三角函利用三角函数来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几数来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（种：（1）构造一个直角三角形：）构造一个直角三角形：（2）构造两个直角三角形：）构造两个直角三角形：不同
10、地点测量不同地点测量：同一地点测量同一地点测量：1.(2015锦州锦州)如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，处，测得该岛在北偏东测得该岛在北偏东30方方向，海监船以向，海监船以20海里海里/时的速时的速度继续航行，度继续航行，2小时后到达小时后到达B处，测得该岛在北偏东处，测得该岛在北偏东75方向，求此时海监船与黄岩方向，求此时海监船与黄岩岛岛P的距离的距离BP的长的长.（参考数（参考数据：据：1.414，结果精确到，结果精确到0.1）2 2 如解图，过如解图，过B作作BDAP交交A
11、P于点于点D.由题意可知，由题意可知，AB=202=40（海里），（海里），在在RtABD中，中，A=30，BD=ABsin30 =40 =20（海里），（海里），在在ABP中，中，P=75-A =75-30=45，12解：解：则在则在RtBDP中中，BP=（海里（海里）.答：此时海监船与黄岩岛答：此时海监船与黄岩岛P的距离的距离BP的长为的长为28.3海海里里.2020 228.3sin22BDBPD2.如图，小明从点如图，小明从点A处出发，沿着坡角为处出发，沿着坡角为 的斜坡向的斜坡向上走了上走了0.65千米到达点千米到达点B，sin =，然后又沿着坡，然后又沿着坡度为度为i=1 4的斜坡
12、向上走了的斜坡向上走了1千米达到点千米达到点C问小明问小明从从A点到点点到点C上升的高度上升的高度CD是多少千米是多少千米?（结果保留（结果保留根号）根号）135 如解图所示，过点如解图所示，过点B作作BFAD于点于点F，过点，过点B作作BECD于点于点E，由题意得，由题意得AB=0.65，BC=1，sin ，BF=0.25，i=1 4,设设CE=a,则则BE=4a,FE第第2 2题解图题解图1350.65BFBFAB14CEBE解：解：BC=,sinCBE=,CE=BCsinCBE=1 ，CD=CE+ED=CE+BF=+.答：小明从答：小明从A点到点到C点上升高度是（点上升高度是（+）千米）千米.2217CEBEa171717CEaBCa17171717171717171414FE第第2 2题解图题解图
