1、2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测 数学数学测试卷共4页,满分150分.考试时间120分钟.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=-1,0,1,2,3,B=xx2-x-2a1,两次观测时镜子间的距离为am,人的“眼高”为hm,则建筑物的高度为A.aha2-a1m B.a2-a1ham C.aa2-a1hm D.ah2a2-a1m6.设等差数列an的前n项和为Sn,5S9=9a9-36,则a4=A.-2 B.-1 C.1D.27.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0的右焦点为F,两条
2、渐近线分别为l1,l2,过F且与l1平行的直线与双曲线C及直线l2依次交于点B,D,点B恰好平分线段FD,则双曲线C的离心率为A.43 B.2 C.3 D.28.已知a=25,b=e-35,c=ln5-ln4,则A.abc B.acb C.bac D.bca二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知两组样本数据x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5的均值和方差分别为x,y和s12,s22,若xi+yi=100且xiyii=1,2,3,4,5,则A.xy B.x+y=1
3、00 C.s12s22 D.s12=s2210.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是棱AB,AD,AA1上的点,则一定成立的是A.AE+AF+AG2=AE2+AF2+AG2B.AE+AF+AG=AE-AF-AGC.AE+AF+AGEF=0D.AGEF+AFEG+AEFG=011.已知函数fx=2sinx+30,则使得“y=fx的图象关于点4,0中心对称”成立的一个充分不必要条件是A.fx的最小正周期为34 B.fx的图象向右平移8个单位长度后关于原点对称 C.f-4=3 D.fx的图象关于直线x=16对称12.已知函数fx=x4-x2+x-1,则A.fx有两个零点 B.过坐
4、标原点可作曲线fx的切线 C.fx有唯一极值点 D.曲线fx上存在三条互相平行的切线三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.2x-1x9的展开式中常数项为 .14.已知a0,b0,2a+b=2,则1a+2b的最小值是 .15.已知定义域为0,+的减函数fx满足fxy=fx+fy,且f2=-1,则不等式fx+2+fx+4-3的解集为 .16.在PAB中,AB=4,APB=3,点Q满足QP=2AQ+BQ,则QAQB的最大值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=ccosA+
5、sinA.(1)求角C;(2)求a+2bc的最大值.18.(12分)已知数列an是各项均为正数的等比数列,设bn=lg2an+1-lg2an.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)设数列bn的前5项和为35,b4=9,求数列an的通项公式.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1是正方形,且平面A1BC平面ABB1A1.(1)求证:ABBC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为6,E为线段A1C的中点,求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小.20.(12分)驾照考试新规定自2022年8月1日开始实施,其中科目一的考试通过率低成为热点话题,某驾校需对其教学
6、内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试,为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计.该驾校工作人员从2022年7月份该校首次参加科目一考试的新学员和8月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人,对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成22列联表如下:合格不合格合计2022年7月202022年8月15合计附:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.PK2k0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.789(1)完成题中的22列联表,并判断能否在犯错的概率不超过0.05
7、的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响?（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率,已知该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员人数之比为2:1,现从该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查,设抽到的两名学员中有X人首次参加科目一考试不合格,求X的分布列与数学期望.21.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为22,且过点2,2,点O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上的动点M,P,Q满足直线MP,MQ的斜率互为相反数,且点M不在坐标轴上,设直
8、线PQ,OM的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值.22.(12分)已知函数fx=ax-lnx,a0.(1)讨论fx的零点个数;（2）若对x0,+,不等式eaxaxfx恒成立,求a的取值范围.数学参考答案一、单选题18DCBBABBC第8题提示:由ex1+x,e-3525,又ln1+xx,ln5-ln4=ln1+140.对于A,2=34=83=121-43,故A正确;对于B,可知-8,0是原函数的对称点,-8+3=k=-24k+83=12-2k+1-43S,故B正确;对于C,sin-4+3=32,-4+3=2k+3或2k+23,=-8k或-24k+43,不一定在S中,C错误;对于D,16+3=
9、k+2=16k+83=124k+1-43S,故D正确.第12题提示:fx=x-1x3+x2+1,对于函数gx=x3+x2+1,gx=3x2+2x,可得gx在x=-23,x=0处分别取极大值和极小值,由g00,知gx只有一个零点,fx有两个零点,A正确;假设B成立,设切点坐标为x0,fx0,切线方程y=4x03-2x0+1x-x0+x04-x02+x0-1即y=4x03-2x0+1x-3x04+x02-1,-3x04+x02-1=0,但显然-3x04+x02-10知fx只有一个零点,fx有一个极值点;若D正确,则存在实数m使得fx=4x3-2x+1=m有三个不同的根,此时只需mf66,f-66即
10、可成立,故D正确.三、填空题13.-537614.415.-2,016.-8825第15题提示:-3=3f2=f8,fx+2+fx+4-3fx2+6x+8f8x+20x+40x2+6x+8-2-2x0,bn=lgan+1+lganlgan+1-lgan=lga12q2n-1lgq=2lga1+2n-1lgqlgq故bn+1=2lga1+2n+1lgqlgq,所以bn+1-bn=2lg2q,故bn是以2lg2q为公差的等差数列;(2)数列bn的前5项和为35,5b3=35,b3=7,又b4=9,故bn的公差2,故bn=2n+1,即2lga1+2n-1lgqlgq=2n+1,故lg2q=1且2lg
11、a1-lgqlgq=1,从而q=10,a1=10或q=110,a1=110,所以an=10n或110n19.(12分)解:（1）设A1B中点为M,则AMA1B平面A1BC平面ABB1A1,AM平面A1BC,AMBC又直三棱柱ABC-A1B1C1,BB1BCBC平面ABB1A1,ABBC(2)由(1)直线AC与平面A1BC所成的角为ACM=6,不妨设AB=2,AM=2,AC=22,BC=AC2-AB2=2以B为原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴正向建立坐标系A2,0,0,C0,2,0,E1,1,1设平面ABE的法向量为n=x,y,znBA=0nBE=02x=0x+y+z=0,令y=1,n
12、=0,1,-1同理可得平面CBE的法向量为m=1,0,-1设平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小为cos=nmnm=12,=320.（12分)解：(1）由题得合格不合格合计2022年7月205252022年8月101525合计302050K2=502015-510225253020=8133.841可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响(2)由题该地7月份不合格率为525=15,8月份不合格率为1525=35,抽取7月份首次参加考试的学员概率为23,抽取8月份首次参加考试的学员概率为13X可能的取值为0,1,2PX=0=23
13、2452+C2123134525+132252=49PX=2=232152+C2123131535+132352=19PX=1=1-PX=2-PX=0=49X012P494919EX=049+149+219=2321.(12分)解:(1)由题ca=22,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,联立解得a2=8,b2=4椭圆方程为x28+y24=1(2)设Nx0,y0,Px1,y1,Qx2,y2,直线lNP:y=kx-x0+y0联立椭圆方程得2k2+1x2+4y0-kx0kx+2y0-kx02-8=0x1+x0=4kx0-y0k2k2+1,x1=2k2x0-4ky0-x02k2+1y1=kx1-x
14、0+y0=y0-2kx0-2k2y02k2+1同理可得x2=2k2x0+4ky0-x02k2+1,y2=y0+2kx0-2k2y02k2+1k1=y1-y2x1-x2=4kx08ky0=x02y0,k2=y0x0k1k2=1222.（12分)解:（1）fx=a-1x=ax-1xfx在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增fminx=f1a=1+lna当a1e时,f1a0,fx的零点个数为0;当a=1e时,fx的零点个数为1;当0a1e时,fx的零点个数为2（2）由题eaxaxax-lnx=lneaxax+lna令t=eaxax,对于gx=exx,gx=exx-1x2,gxg1=e,tetlnt+lna对te恒成立对于ht=t-lnt,ht=t-1t,ht在e,+)上单调递增hthe=e-1lnae-1,0aee-1
