1、同角三角函数的基本关系与诱导公同角三角函数的基本关系与诱导公 式式 考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式： sin2 cos2 1， sin cos tan . 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ， 的正弦、余弦、正切的诱导 公式 1同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan sin cos . 提醒：平方关系对任意角 都成立，而商数关系中 k 2，kZ. 2诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ) 2 2 正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切
2、tan tan tan tan 口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变， 符号看象限 常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin21cos2(1cos )(1cos )； cos21sin2(1sin )(1sin ) (2)(sin cos )21 2sin cos . (3)sin tan cos k 2，kZ . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 ， 为锐角，则 sin2cos21. ( ) (2)若 R，则 tan sin cos 恒成立 ( ) (3)sin()sin 成立的条件是 为锐角 ( ) (4)若 sin(k)2 3(kZ)，则 si
3、n 2 3. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1化简 sin 690 的值是( ) A1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 B sin 690 sin(720 30 )sin 30 1 2.选 B 2若 sin 5 5 ， 2，则 tan . 1 2 2，cos 1sin 22 5 5 ， tan sin cos 1 2. 3已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为 3 原式tan 1 tan 1 21 213. 4化简 cos 2 sin 5 2 sin()cos(2)的结果为 sin2 原式sin cos (sin ) cos sin
4、 2. 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 “知一求二”问题 对 sin ，cos ，tan 的知一求二问题 (1)利用 sin2cos21 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以 实现角 的弦切互化 (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因 为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断 符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论 1若 2， ，sin() 3 5，则 tan ( ) A4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 C 因为 2， ，sin 3 5，所以 cos 4 5，所以 tan 3 4，故选
5、C 2已知 tan 2，3 2 ，则 sin cos ( ) A3 5 5 B 5 5 C 5 D 5 5 A 由 tan sin cos 2，得 sin 2cos . 代入 sin2cos21 得 cos21 5. 又 3 2 ，cos 5 5 ，sin tan cos 2 5 5 ， sin cos 3 5 5 ，故选 A 3已知 0， 2 ，tan 2cos ，则 sin ( ) A 3 3 B 6 3 C 2 2 D 3 2 C 由 tan sin cos 2cos ，得 cos 2sin 2 ， 代入 sin2cos21 得 sin2sin 2 1， 即 2sin2sin 20. 解
6、得 sin 2 2 2 2 舍去 ，故选 C 已知 tan 求 sin ，cos 齐次式的值 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可 以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式， 代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为 1 的二次式，可用 sin2cos2 做分母求解 典例 11 (1)已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos 21 2sin 2 的值是( ) A3 5 B 3 5 C3 D3 (2)已知 4， 4 ，sin cos 1 5，则 tan ( ) A3 4 B3 4或 4 3 C3 4 D3 4或 3 4 (1)A (
7、2)A (1)由sin 3cos 3cos sin 5 得 tan 3 3tan 5，可得 tan 2，则 cos 2 1 2sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos cos2sin2 1tan 1tan2 3 5.故选 A (2)由 sin cos 1 5，得 12sin cos 1 25， 即 2sin cos 24 25. 又 2sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan 1tan2 24 25， 12tan225tan 120， 解得 tan 4 3或 tan 3 4. 又 4， 4 ，tan (1,1)， tan 3 4，故选 A 点评：解题中要
8、注意 sin2cos21 的应用 sin cos 与 sin cos 关系的应用 对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可 求二，若令 sin cos t(t 2， 2)，则 sin cos t21 2 ，sin cos 2t2(注意根据 的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用 典例 12 已知 x(，0)，sin xcos x1 5. (1)求 sin xcos x 的值； (2)求sin 2x2sin 2x 1tan x 的值 解 (1)由 sin xcos x1 5， 平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 1 25， 整理得 2sin
9、 xcos x24 25. (sin xcos x)212sin xcos x49 25. 由 x(，0)，知 sin x0， 又 sin xcos x0， cos x0，则 sin xcos x0， 故 sin xcos x7 5. (2)sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin xcos xsin x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175. 点评：利用 sin cos 0(sin cos 0)可知 sin ，cos 同号还是异号，再结 合角 的范围或 sin cos 的正负，可进一步确
10、定 sin ，cos 的正负 跟进训练 1若|sin |cos |2 3 3 ，则 sin4cos4( ) A5 6 B 17 18 C 8 9 D 2 3 B 因为|sin |cos |2 3 3 ，两边平方，得 1|sin 2|4 3，所以|sin 2| 1 3， 所以 sin4cos412sin2cos211 2sin 2217 18.故选 B 2已知 tan tan 11，则 (1)sin 3cos sin cos ； (2)sin2sin cos 2 . (1)5 3 (2) 13 5 由 tan tan 11 得 tan 1 2. (1)sin 3cos sin cos tan 3
11、 tan 1 5 3. (2)sin2sin cos 2 3sin2sin cos 2cos2 sin2cos2 3tan2tan 2 tan21 3 1 2 2 1 22 1 2 2 1 13 5 . 3已知 为第二象限角，sin ，cos 是关于 x 的方程 2x2( 31)xm 0(mR)的两根，则 m ，sin cos . 3 2 1 3 2 因为sin ， cos 是方程2x2( 31)xm0(mR)的两根， 所以 sin cos 1 3 2 ，sin cos m 2，可得(sin cos ) 212sin cos 1 m2 3 2 ，解得 m 3 2 .因为 为第二象限角，所以 s
12、in 0，cos 0，即 sin cos 0，因为(sin cos )212sin cos 1m1 3 2 ，所以 sin cos 1 3 2 1 3 2 . 考点二 诱导公式的应用 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步 骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了” 2明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名 (2)用诱导公式，统一角 (3)用因式分解将式子变形，化为最简 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了” 典例 2 (1)设 f () 2sincoscos 1sin22cos 3 2 sin2 2 (12sin 0)，则 f 23 6 . (2)已知
13、 cos 6 a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是 (1) 3 (2)0 (1)因为 f () 2sin cos cos 1sin 2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1 tan ， 所以 f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. (2)因为 cos 5 6 cos 6 cos 6 a，sin 2 3 sin 2 6 cos 6 a，所以 cos 5 6 sin 2 3 0. 点评： 在使用诱导公式时， 若不是诱导公式的标准形式， 如： sin 2 ， cos( )等，先化为标准形
14、式，再用诱导公式化简 跟进训练 1若 sin 是方程 5x27x60 的根， 则 sin 3 2 sin 3 2 tan22 cos 2 cos 2 sin ( ) A3 5 B 5 3 C 4 5 D 5 4 B 方程 5x27x60 的两根分别为 x12 和 x23 5，sin 3 5. 则 sin 3 2 sin 3 2 tan22 cos 2 cos 2 sin sin 2 cos tan 2 sin sin sin cos2 sin2 cos2 sin3 1 sin 5 3，故选 B 2计算：sin(1 200 )cos 1 290 cos(1 020 )sin(1 050 )tan
15、 945 . 2 原式sin 120 cos 210 cos 60 sin 30 tan 225 sin 120 cos 30 cos 60 sin 30 tan 45 3 4 1 412. 3已知 sin 3 1 3，则 cos 5 6 . 1 3 由题意知，cos 5 6 cos 2 3 sin 3 1 3. 考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本思路 分析结构特点，选择恰当公式； 利用公式化成单角三角函数； 整理得最简形式 化简要求 化简过程是恒等变换； 结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能 求值的要
16、求出值 典例 3 已知 f (x)cos 2nx sin2nx cos22n1x (nZ) (1)化简 f (x)的表达式； (2)求 f 2 018 f 504 1 009 的值 解 (1)当 n 为偶数，即 n2k(kZ)时， f (x)cos 22kx sin22kx cos222k1x cos 2x sin2x cos2x cos 2x sin x2 cos x2 sin2x； 当 n 为奇数，即 n2k1(kZ)时， f (x)cos 22k1x sin22k1x cos222k11x cos 22kx sin22kx cos222k1x cos 2x sin2x cos2x cos
17、 x 2sin2x cos x2 sin2x， 综上得 f (x)sin2x. (2)由(1)得 f 2 018 f 504 1 009 sin2 2 018sin 21 008 2 018 sin2 2 018sin 2 2 2 018 sin2 2 018cos 2 2 0181. 跟进训练 1已知 为锐角，且 2tan()3cos 2 50，tan()6sin() 10，则 sin 的值是( ) A3 5 5 B3 7 7 C3 10 10 D1 3 C 由已知可得2tan 3sin 50. tan 6sin 10， 解得 tan 3， 又 为锐角，故 sin 3 10 10 . 2已知 sin cos 1 5，且 2，则 1 sin 1 cos的值 为 35 12 由 sin cos 1 5，两边平方得 sin cos 12 25， 2， sin cos sin cos 24sin cos 7 5， 1 sin 1 cos 1 sin 1 cos cos sin sin cos 7 5 12 25 35 12.
