1、第十二章 全等三角形复习课全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质基本性质对应边相等，对应角相等重要性质对应高，对应中线，对应角平分线相等；周长相等，面积相等判定一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形一般三角形SSS,SAS,ASA,AAS直角三角形除上述判定方法之外，还有“HL”角平分线的性质定理角平分线的判定定理专题一 证明线段相等【例1】如图，点D、E分别在线段AB、AC上，已知AD=AE,B=C,H为线段BE、CD的交点，求证：BH=CH.ABCDEH【分析】欲证BH=CH需证BDH CEH需证BD=CE需证AB=AC需再证ABE ACD【证明】在ABE和AC
2、D中,ABCDEHA=A,B=C,AE=AD,ABE ACD(AAS).AB=AC,AB-AD=AC-AE.即BD=CE.在BDH和CEH中,DHB=EHC,B=C,BD=CE,BDH CEH(AAS)，BH=CH.【归纳拓展】利用全等三角形证明线段相等时，首先要确定证明的线段在哪两个三角形中，结合已知条件，寻找新的条件，选择合适的判定方法.【配套训练】如图，已知CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC求证：OB=OCABCDEO【证明】AO平分BAC，CDAB于点D，BEAC于点E,OD=OE，ODB=OEC=90.在BOD和COE中，ODB=OEC=90，OD=
3、OE，DOB=EOC，BOD COE(ASA)，OB=OC.专题二 证明角相等【例2】如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DEC=FEC.ABCDFEG【分析】欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DEC=DCE只需要证明DEG DCG.ABCDFEG【证明】CEAD,AGE=AGC=90.在AGE和AGC中，AGE=AGC，AG=AG，EAG=CAG，AGE AGC(ASA)，GE=GC.在DGE和DGC中，EG=CG，EGD=CGD=90，DG=DG.DGE DGC(SAS).DEG=DCG.EF/BC,FEC=ECD，DEG=F
4、EC.【归纳拓展】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.【配套训练】如图，AB=DC,A=D 求证：ABC=DCB.ABDCABDCNM【证明】取AD,BC的中点N,M，连接BN,CN，MN,则有AN=DN,BM=CM.在ABN和DCN中，AN=DN，A=D，AB=CD，ABN DCN(SAS).ABN=DCN,NB=NC.在NBM和NCM中，NB=NC，BM=CM，NM=NM，NBM NCM(SSS).NBC=NCB,NBC+ABN=NCB+DC
5、N,即ABC=DCB,想一想：本题还有其他证法吗？专题三 利用全等三角形解决实际问题【例3】如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【分析】将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC.ADBC.ABCD【解】相等，理由如下：ADBC，ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，AD=AD，AB=AC，RtADB RtADC(HL).BD=CD.【归纳拓展】利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；
6、（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.专题四 角平分线的性质与判定【例4】如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+BAP=180，求证:PA=PC.BACN)12P【分析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.EF【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.BACN)12PEF1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PCB+BAP=180,又知BAP+EAP=180.EAP=PCB.在APE和CPF中，PEA=PFC=90，EAP=FCP，PE=PF，A
7、PE CPF(AAS)，AP=CP.【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.ACN)12PB证明过程请同学们自行完成！D【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.【配套训练】如图,1=2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:PCB+BAP=180.BACN)12PEF【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1
8、=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PA=PC，PE=PF，在RtAPE和RtCPF中，RtPAE RtPCF(HL).EAP=FCP.BAP+EAP=180，PCB+BAP=180.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？全等三 角 形性质基本性质和其他重要性质判定判定方法基本思路作用是证明两条线段相等和角相等的常用方法寻找现有条件（包括图中隐含条件）选定判定方法证明准备条件角的平分线的性质定理角的平分线的判定定理证明两条线段相等证明角相等辅助线添 加 方 法课堂小结1.如图,已知AC=BD,要使得ABCDCB只需要增
9、加一个条件是 .AB=DC或ACB=DBC 2.如图：在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=.ABCDO第1题ABCDE第2题12课后训练3.已知:ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：BE=AD.EDCAB【证明】ABC和ECD都是等边三角形,AC=BC，DC=EC，BCA=DCE=60.BCA+ACE=DCE+ACE.即BCE=DCA.在ACD和BCE中，AC=BC，BCE=DCA，DC=EC，ACDBCE(SAS)，BE=AD.4.如图,在ABC中,ACB=90,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,D
10、E过点O且DEAB,垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来.(1)解：ACB=90，BCAC.AO平分BAC，又DEAB，BCAC.OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等）.(2)6对.AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.ACDOBE1.如图,已知AC=BD,要使得ABCDCB只需要增加一个条件是 .AB=DC或ACB=DBC 2.如图：在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=.ABCDO第1题ABCDE第2题12课后训练
11、3.已知:ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：BE=AD.EDCAB【证明】ABC和ECD都是等边三角形,AC=BC，DC=EC，BCA=DCE=60.BCA+ACE=DCE+ACE.即BCE=DCA.在ACD和BCE中，AC=BC，BCE=DCA，DC=EC，ACDBCE(SAS)，BE=AD.4.如图,在ABC中,ACB=90,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DEAB,垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来.(1)解：ACB=90，BCAC.AO平分BAC，又DEAB，BCAC.OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等）.(2)6对.AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.ACDOBE
