1、2021 年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 M2，3，4，5，集合 N4，5，6，则集合U（MN）（）A1，2，3，5B2，3，6，7C1，2，3，5，6，7D1，2，3，6，7y x+2 42（5 分）设变量 x、y 满足约束条件，则目标函数 z2x+y 的最小值为（）A6B4C3D23（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）试试卷卷A15B
2、37C83D17712 2=1（a0，b0）的一条渐近线方程是 y=3，且它的一个焦点在抛物4（5 分）已知双曲线2 2线 y 224x 的准线上，则双曲线的方程是（）2 22 2A=1B=136 108108 362222C9 27=1D27 9=15（5 分）设 xR，则“x1”是“|x5|4”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5 分）已知向量AB与AC的夹角为 120，|AB|5，|AC|2，若AP=+，且AP =6，则实数 的值为（）121211A-BC-D10107（5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移（0）个单位长度后得到函
3、数 g（x）的图象，2若 g（x）在区间0，上单调递增，则实数 的取值范围是（）6 5B，6 12 A-，）C（，D（0，12 46 44138（5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时 f（x）lnx，记 af（），bf21（log 3），cf（3），则 a，b，c 的大小关系为（）2AcbaBbcaCbacDabc二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.9（5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）23i，则 z 的虚部为22 310（5 分）已知函数 f（x）=，f（x）为 f（x）
4、的导函数，则 f（1）11（5 分）已知直线 k（x+1）+y+20 恒过定点 C，且以 C 为圆心，5 为半径的圆与直线 3x+4y+10 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为 12（5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3高高考考12113（5 分）已知函数 yalog xb（a0，b0）的图象过点（，1），则+的最小值为 24 11|+1|2 0，若函数 g（x）=f（x）+b 在区间2，14（5 分）已知函数 f（x）=(2)(0+)36内有 3 个零点，则实数 b 的取值范围是三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 8
5、0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.715（13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+c6，b2，cosB=9（）求 c 和 sinA 的值；（）求 sin（2AB）的值16（13 分）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A，A，乙校教师记为 B，B，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D现从这 6 名教师代表中选出 3 名1212教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出 1 名3（）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（）求教师
6、 A 被选中的概率；1（）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率17（13 分）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，直线 FC平面 ABCD，EDFC，点 G 为 AB 的中点，且FCAB2ED2CD2，ABC60（）求证：AE平面 GCF；（）求证：平面 ACF平面 BCF；（）求直线 FB 与平面 ADE 所成角的正弦值18（13 分）已知数列a 为等比数列，数列b 为等差数列，且 b a 1，b a+a，a 2b 6nn1121233（）求数列a，b 的通项公式；nn11 1，数列c 的前 n 项和为 T，证明：n n 5 3（）设 c=n +22 2+2=1（ab0）的离心率为 2，椭圆的一
7、个顶点与两个焦点构成的三19（14 分）已知椭圆 C：角形的面积为 22 2（）求椭圆 C 的方程；（）已知直线 yk（x1）（k0）与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且与 x 轴，y 轴交于 M、N 两点（i）若MB=AN，求 k 的值；47（ii）若点 Q 的坐标为（，0），求证：QA为定值4120（14 分）设函数 f（x）2lnx+，g（x）2xalnx（aR）（）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数 g（x）在（0，e 上恰有 2 个零点，求 a 的取值范围；211（）当 a1 时，若 h（x）f（x）+2g（x）时，若对任意的正整数 n 在区间，6+上始终2
8、存在 m+5 个数使得 h（a）+h（a）+h（a）+h（a）h（am+1）+h（am+2）+h（am+3）+h123m（am+4）+h（am+5）成立，试问：正整数 m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，；若不存在，说明理由52021 年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）（2021天津二模）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 M2，3，4，5，集合 N4，5，6，则
9、集合（MN）（）UA1，2，3，5B2，3，6，7C1，2，3，5，6，7D1，2，3，6，7【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】根据交集与补集的定义计算即可【解答】解：全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 M2，3，4，5，集合 N4，5，6，MN4，5，集合（MN）1，2，3，6，7U故选：D【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题y x+2 42（5 分）（2021天津二模）设变量 x、y 满足约束条件，则目标函数 z2x+y 的最小值为（）A6B4C3D2【考点】7C：简单线性规划6【专题】11：计算题；31：数形结合
10、；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案y x+2 4【解答】解：由变量 x、y 满足约束条件作出可行域如图，化目标函数 z2x+y 为 y2x+z，高考高考由图可知，当直线 y2x+z 过 A（1，1）时直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，为 21+13故选：C练练【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3（5 分）（2021天津二模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）72高高A15B37C83D177【考点】EF：程序框图【专题】11：计算题；
11、28：操作型；5K：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 i1 时，不满足退出循环的条件：S1，i3；当 i3 时，不满足退出循环的条件：S5，i5；当 i5 时，不满足退出循环的条件：S15，i7；当 i7 时，不满足退出循环的条件：S37，i9；当 i9 时，满足退出循环的条件，故输出的 S 值为 37，故选：B8【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答2 24（5 分）（2021天津二模）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是
12、y=3，且它2 2的一个焦点在抛物线 y 224x 的准线上，则双曲线的方程是（）2 22 2A=1B=136 108108 362222C9 27=1D27 9=1【考点】KB：双曲线的标准方程【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的一条渐近线方程得 =3，求出抛物线 y 24x 的准线：，得到双曲线的半焦距 c6，由此利用双曲线的简单性质能求出双曲线的方程lx622 2【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是 y=3x，2 2它的一个焦点在抛物线 y 224x 的准线：x 上，l6=3，解得 a3，b3 3，=6222=+22=1双曲线方程为9 27故选：C
13、【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线、抛物线标准方程及其简单几何性质的合理运用，是基础题5（5 分）（2021天津二模）设 xR，则“x1”是“|x5|4”的（）9A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑【分析】“|x5|4”4x541x9，即可判断出结论【解答】解：“|x5|4”4x541x9，“x1”是“|x5|4”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（
14、5 分）（2021天津二模）已知向量AB与AC的夹角为 120，|AB|5，|AC|2，若AP=+，且AP =6，则实数 的值为（）1111A-BC-D221010【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】根据条件：，=120，|=5，|=2，AP=+，即可得到AP =(+)()=6，进行数量积的运算即可求出【解答】解：，=120，|=5，|=2，AP=+；2 2AP =(+)()=-+(1)|120+10255（1）+46；1解得=2故选：B【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式7（5
15、分）（2021天津二模）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数2g（x）的图象，若 g（x）在区间0，上单调递增，则实数 的取值范围是（）6 5B，6 12 A-，）C（，D（0，12 46 44【考点】HJ：函数 yAsin（x+）的图象变换【专题】36：整体思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】根据平移关系求出 g（x）的解析式，结合函数的单调性建立不等式关系进行求解即可【解答】解：将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数 g（x）的图2象，则 g（x）sin2（x）sin（2x2），若 g（x）在区间0，上单调递增
16、，6则 2k-2 2x22k+2，kZ，得 2k-2+22x2k+2+2，kZ，即 k-4+xk+4+，kZ，即函数的单调递增区间为k-4+，k+4+，kZ，11若 g（x）在区间0，上单调递增，6k+-k-4612，+4满足，即 +04则k-k+4，kZ，12当 k0 时，-4，12又因为：02所以 的取值范围是（0，4故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合函数的单调性建立不等式关系是解决本题的关键8（5 分）（2021天津二模）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时 f（x）lnx，记 af11323（），bf（log），cf（3），则 a
17、，b，c 的大小关系为（）2AcbaBbcaCbacDabc【考点】3E：函数单调性的性质与判断【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据 x0 时 f（x）解析式即可知 f（x）在（0，+）上单调递增，由 f（x）为奇函数即可得13出b=f(lo 2)，然后比较()，2，和 3的大小关系，根据 f（x）在（0，+）上单调递增332即可比较出 a，b，c 的大小关系【解答】解：x0 时，f（x）lnx；12f（x）在（0，+）上单调递增；f（x）是定义在 R 上的奇函数；11b=-f(lo 3)=(3)=f(lo 2)；322131lo 22，0()
18、1；32130()23；3213f()(2)(3)；32abc；即 cba故选：A【点评】考查对数函数的单调性，奇函数的定义，以及增函数的定义，熟悉指数函数的图象二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.59（5 分）（2021天津二模）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）23i，则 z 的虚部为-2【考点】A5：复数的运算【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数【分析】把已知等式变形，再直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1+i）23i，2 3(2 3)(1 )1 5
19、1 5得z=1+=，(1+)(1 )22 25则 z 的虚部为-21352故答案为：-【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2 34，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（1）10（5 分）（2021天津二模）已知函数 f（x）=【考点】63：导数的运算【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用【分析】根据商的导数的计算公式求出 f（x），然后便可得出 f（1）的值222 (3)2 +3【解答】解：f(x)=；2()4f(1)=4故答案为：【点评】考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法11（5 分）（2021天
20、津二模）已知直线 k（x+1）+y+20 恒过定点 C，且以 C 为圆心，5 为半径的圆与直线 3x+4y+10 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为2 21【考点】J9：直线与圆的位置关系【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆【分析】求出直线过的定点坐标 C，以及圆心到直线的距离 d，根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可x+1=0 x=-1，即直线恒过定点 C（1，2），=2【解答】解：由得+2=0以 C 为圆心，5 为半径的圆的标准方程为（x+1）（y+2）25，2+214|3 2 4+1|10圆心到直线的距离 d=5=2，32+4222则 AB 的长度为|AB|2 R
21、 =2 25-4=2 21，故答案为：2 21【点评】本题主要考查直线和圆相交的弦长公式的应用，求出直线的定点坐标以及点到直线的距离是解决本题的关键高考高考12（5 分）（2021天津二模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为16+2cm 33【考点】L!：由三视图求面积、体积【专题】35：转化思想；48：分析法；5F：空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与半个圆柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为 2，底面矩形的宽为 2，长为 4，圆柱的高为
22、4，底面半径为 1，1312163该组合体的体积为 V=242+1 4=2+21516故答案为：3+2【点评】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目12113（5 分）（2021天津二模）已知函数 yalog xb（a0，b0）的图象过点（，1），则+的24 最小值为9【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；7F：基本不等式及其应用【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用121【分析】由函数 yalog xb（a0，b0）的图象图象过点（，1），2a+b1，可得+=24 21222 2 5+2（2a+b）（+）4+1+=9，即可 11【解答】解：函数 y
23、alog xb（a0，b0）的图象过点（，1），alog b12a+b22441，2121222 22 2+=（2a+b）（+）4+1+5+2 =9，（当且仅当 =，即 ab 时取等号）故答案为：9【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题1|+1|2 01，14（5 分）（2021天津二模）已知函数 f（x）=，若函数 g（x）=f(2)(0+)，34 2（x）+b 在区间2，6内有 3 个零点，则实数 b 的取值范围是（-3 3，【考点】52：函数零点的判定定理；5B：分段函数的应用【专题】31：数形结合；48：分析法；51：函数的性质及应用1【分析】作出函数 yf（x）和 y=x+b
24、 的图象利用两个图象的交点个数问题确定 b 的取值范围316【解答】解：若 0 x2，则2x20，f（x）f（x2）1|x2+1|1|x1|，0 x2若 2x4，则 0 x22，f（x）f（x2）1|x21|1|x3|，2x4若 4x6，则 2x24，f（x）f（x2）1|x23|1|x5|，4x6f（1）1，f（2）0，f（3）1，f（5）1，11设 yf（x）和 y=x+b，则方程 f（x）=x+b 在区间2，6内有 3 个不等实根，331等价为函数 yf（x）和 y=x+b 在区间2，6内有 3 个不同的零点31作出函数 f（x）和 y=x+b 的图象，如图：31143当直线经过点 F（
25、4，0）时，两个图象有 2 个交点，此时直线 y=3x+b 为 y=x-，3当直线经过点 D（5，1），E（2，0）时，两个图象有 3 个交点；11当直线经过点 O（0，0）和 C（3，1）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y=3x+b 为 y=x，31123当直线经过点 B（1，1）和 A（2，0）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y=3x+b 为 y=3x+，1要使方程 f（x）=x+b，两个图象有 3 个交点，3在区间2，6内有 3 个不等实根，174 2则 b（-，3 34 2故答案为：（-，3 3高考复习高考复习【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数
26、形结合是解决此类问题的基本方法三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13 分）（2021天津二模）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+c6，b72，cosB=9（）求 c 和 sinA 的值；（）求 sin（2AB）的值【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值；58：解三角形【分析】（）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得 c 和 sinA 的值；（II）根据同角的三角函数关系和三
27、角恒等变换，计算即可【解答】解：（）ABC 中，由余弦定理 b a2+c22accosB，2（1 分）得 b（2a+c）2ac（1+cosB），（分）22187又 a+c6，b2，cosB=9，所以 ac9，解得 a3，c3；（3 分）4 22在ABC 中，sinB=1 =9，（4 分）2 2由正弦定理得 sinA=3，（5 分）2 2c3，sinA=3；（6 分）12（II）因 ac，则 A 为锐角，所以 cosA=1 =，（73分）2 2314 29，（9sin2A2sinAcosA2 =3分）2 2 2)=；7cos2A12sin2A12 (（11 分）39sin（2AB）sin2Aco
28、sBcos2AsinB4 297 7 （-）9 94 29=56 281（13 分）【点评】本题考查了解三角形与三角函数求值问题，是基础题16（13 分）（2021天津二模）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A，A，乙校教师记为 B，B，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D现从这 6 名教师代1212表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出 1 名（）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；19（）求教师 A 被选中的概率；1（）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率【考点】CC：列举法计算基本事件数及事
29、件发生的概率【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】（）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A，A，乙校教师记为 B，B，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D从这 6 名教师代表中选出 3 名教1212师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出组成人员的全部可能结果（II）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出 A 被选中的结果有 5 种，由此能求出教师 A 被选11中的概率（III）利用列举法求出宣讲团中没有乙校代表的结果有 2 种，由此能求出宣讲团中没有乙校教师代表的概率【解答】（本小题满分 13 分）解：（）某
30、区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A，A，乙校教师记为 B，B，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D1212从这 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有 12 种，分别为：A，B，C，A，B，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，A，B，C，11111212121A，B，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D，B，C，D212222212（6 分）（II）组成人员的全部可能结果中，A 被选中的结果有A，B，C，A，B，D，A，B，C，1111112A，B，D，A，C，D，共有 5 种，1215所以
31、教师 A 被选中的概率为 p=11220（10 分）（III）宣讲团中没有乙校代表的结果有 A，C，D，A，C，D，共 2 种结果，1221所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为 p=12=6（13 分）【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题17（13 分）（2021天津二模）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，直线 FC平面 ABCD，EDFC，点 G为 AB 的中点，且 FCAB2ED2CD2，ABC60（）求证：AE平面 GCF；（）求证：平面 ACF平面 BCF；（）求直线 FB 与平面 ADE 所成角的正弦值【考点】L
32、S：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（I）取 FC 中点 N，连接 EN，推导出四边形 EDCN 是平行四边形，从而 EN DC，连接=NG，推导出四边形 EAGN 是平行四边形，从而 EANG，由此能证明 AE平面 GCF（II）由 DC AG，得四边形 AGCD 为平行四边形，从而 ADGC，推导出 ACBC，ACCF，从=而 AC平面 BCF，由此能证明平面 ACF平面 BCF21（III）推导出 ED平面 GCF，AE平面 GCF，从而平面 ADE平面 GCF
33、，进而直线 FB 与平面ADE 所成角也为直线 FB 与平面 GCF 所成角由此能求出直线 FB 与平面 ADF 所成角正弦值【解答】（本小题满分 13 分）证明：（I）取 FC 中点 N，连接 EN，因为 EDFC，FC2ED，所以 ED NC，=所以四边形 EDCN 是平行四边形，所以 EN DC，=连接 NG，EN DC，又 DC AG，所以 EN AG，=所以四边形 EAGN 是平行四边形，所以 EANG，（2 分）又 EA平面 GCF，NC平面 GCF，所以 AE平面 GCF（4 分）解：（II）DC AG，四边形 AGCD 为平行四边形，ADGC，=ADBC，BCGC，ABC60，
34、BCG 为等边三角形，1AB2，BCBG=1，2由余弦定理得 AC AB2+BC222AB BC cosABC，3所以 AC2+BC2AB2，ACB90，（分）所以 ACBC，又 ACCF，BCFCC，6所以 AC平面 BCF，又 AC平面 ACF，所以平面 ACF平面 BCF（8 分）（III）因为 EDFC，ED平面 GCF，FC平面 GCF，所以 ED平面 GCF，由（I）知 AE平面 GCF，且 ADEDD，22所以平面 ADE平面 GCF，所以直线 FB 与平面 ADE 所成角也为直线 FB 与平面 GCF 所成角由（II）知 CGBGBC1，设 Q 为 CG 中点，连接 BQ、FQ
35、，所以 BQGC因为 FC平面 ABCD，所以 FCBQ，因为 FCGCC，所以 BQ平面 GCF，所以BFQ 为直线 FB 与平面 GCF 所成角，（11 分）33，因为 BQ=2 CG=222在直角BCF 中，FB=+=5，315，2sinBFQ=5=1015所以直线 FB 与平面 ADF 所成角正弦值为 10（13 分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18（13 分）（2021天津二模）已知数列a 为等比数列，数列b 为等差数列，且 b a 1，b nn11
36、2a+a，a 2b 61233（）求数列a，b 的通项公式；nn11 1，数列c 的前 n 项和为 T，证明：n n 5 3（）设 c=n +2【考点】8E：数列的求和【专题】35：转化思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法23【分析】（I）设数列a 的公比为 q，数列b 的公差为 d，由题意得：1+d1+q，q （1+2d）22nn6，解得：dq2，即可111111 11（II）证 明：因 为 c=()，T=(+nn +2(2 1)(2+3)4 2 1 2+33 4 2+1111)即可得 2+353【解答】解：（I）设数列a 的公比为 q，数列b 的公差为 d（1 分）nn由题
37、意得：1+d1+q，q （221+2d）6，（2 分）解得：dq2，（3 分）所以：a 2n1，2n（分）b15nn11111（II）证明：因为 c=()，（7 分）n +2(2 1)(2+3)4 2 1 2+3111 11111所以 T=（1-）+（）+n453 72 3 2+1 2 1 2+3141111 111=（1+）=(+)（10 分），3 2+1 2+33 4 2+1 2+31 1n+时，(3 4 2+1 2+3111+)31因为 T 在1，+）单调递增，所以当 n1 时，T 取最小值 T=，（12 分）nn1511所以 （13 分）53【点评】本题考查等差数列和等比数列通项公式的
38、求法，训练了裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题2 2+219（14 分）（2021天津二模）已知椭圆 C：两个焦点构成的三角形的面积为 2（）求椭圆 C 的方程；=1（ab0）的离心率为 2，椭圆的一个顶点与2 224（）已知直线 yk（x1）（k0）与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且与 x 轴，y 轴交于 M、N 两点（i）若MB=AN，求 k 的值；7（ii）若点 Q 的坐标为（，0），求证：QA为定值4【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据椭圆的离心率和三角形的面积即
39、可求出 a ，则椭圆方程可得，（）（i）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出24b222，【解答】解：（）e=2a 2c2，代入 a2b2+c2 得 2bc又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为 2，1即 b2c2，即 bc2，以上各式联立解得 a ，24b22222则椭圆方程为4+2=1（）（）直线 yk（x1）与 x 轴交点为 M（1，0），与 y 轴交点为 N（0，k），22联立x+2=4消去 y 得：（1+2k）x40，24k2x+2k2=(1)16k （1+2k2）（2k2）44424k2+160，42设
40、A（x，y），B（x，y），则 x+x=2，1122121+22542又MB=（x 1，y），AN=（x，ky），由MB=AN得：x+x=1，2211121+2222；解得：k 2由 k0 得 k=2422 4，x x=2，1 21+22证明（）由（）知 x+x=121+22QA7777 =（x-，y）（x-，y）（x-）（x-）+y y，11221212444477（x-）（x-）+k（）（），2x1x11212）+k2424474916（1+k）2x x+1 2（-k2）（x+x+，12422 4744916（1+k）2+（-k2）+k2+，1+221+222 8 4 49491516=+
41、16=4+16=为定值1+22QA 为定值【点评】本题考查了椭圆的方程的求法，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题120（14 分）（2021天津二模）设函数 f（x）2lnx+，g（x）2xalnx（aR）（）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数 g（x）在（0，e 上恰有 2 个零点，求 a 的取值范围；211（）当 a1 时，若 h（x）f（x）+2g（x）时，若对任意的正整数 n 在区间，6+上始终2存在 m+5 个数使得 h（a）+h（a）+h（a）+h（a）h（am+1）+h（am+2）+h（am+3）+h123m26（a
42、m+4）+h（am+5）成立，试问：正整数 m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，；若不存在，说明理由【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，计算 f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；2（）得到=，令 p（x）=，结合函数的单调性求出 a 的范围即可；（）求出 h（x）的导数，根据函数的单调性求出 h（x）的最值，从而求出 m 的范围即可【解答】解：（I）函数 f（x）的定义域为（0，+），212 1所以 f（x）=（2 分）22所
43、以 f（1）1 且 f（1）1，由导数几何意义知 f（x）在点（1，f（1）处切线方程为：y1x1，即 xy0（4 分）（II）由 g（x）2xalnx0，2=（5 分）1 令 p（x）=，所以 p（x）=，2所以 p（x）在（0，e）上单调递增，在（e，e 上单调递减，2所以当 xe 时，p（x）取得极大值，也是最大值（7 分）12因为 p（e）=，p（e）=且 时，（），2x0px22722 1故 ，2 所以 2eae（分）29214 1（III）由题意 h（x）=+4x，h（x）=（10 分）211因为 x，6+n+，所以 h（x）0，211所以 h（x）在，6+n+单调递增，211h（
44、x）minh（）4，h（x）maxh（6+n+）211由题意，mh（）5h（6+n+）恒成立（12 分）211令 k6+n+8，且 h（k）在6+n+，+）上单调递增，2578，hmin（k）=257因此 4m5 8，而 m 是正整数，故 m40，1所以 m40 时，存在 a a a=40，122am+1am+2am+3am+4am+58 时，对所有 n 满足题意，mmax40（14 分）【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题28单击输入您的封面副标题使 用说 明【提示】下载后此页用户可自行删除！【提示】下载后此页用户可自行删除！【提示】下载后此页用户可自行删除！失 量图 标【提示】下载后此页用户可自行删除！
