1、 - 1 - 专题检测（四） 复数、算法、推理与证明 一、选择题 1.(2019 全国卷)设 z 3i 12i，则|z|( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 解析： 选 C 法一： z 3i 12i （3i）（12i） （12i）（12i） 17i 5 ， |z| 1 5 2 7 5 2 2.故选 C. 法二：|z| 3i 12i |3i| |12i| 10 5 2. 2.已知复数 z i2 019 12i，则复数 z 的虚部为( ) A.2 5 B.2 5i C.1 5i D.1 5 解析：选 D 因为 z i2 019 12i i4 5043 12i i 12i i（12i） （12
2、i）（12i） 2 5 1 5i，所以虚 部为1 5，故选 D. 3.给出下面四个类比结论： 实数 a，b，若 ab0，则 a0 或 b0；类比复数 z1，z2，若 z1z20，则 z10 或 z2 0. 实数 a，b，若 ab0，则 a0 或 b0；类比向量 a a，b b，若 a a b b0，则 a a0 或 b b0. 实数 a，b，有 a2b20，则 ab0；类比复数 z1，z2，有 z21z220，则 z1z20. 实数 a，b，有 a2b20，则 ab0；类比向量 a a，b b，若 a a2b b20，则 a ab b0. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2
3、 D.3 解析：选 C 对于，显然是正确的；对于，若向量 a a，b b 互相垂直，则 a a b b0，所以 错误；对于，取 z11，z2i，则 z21z220，所以错误；对于，若 a a2b b20，则|a a| |b b|0，所以 a ab b0，故是正确的.综上，类比结论正确的个数是 2. 4.(2019 开封市定位考试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则输入的 x 为 ( ) - 2 - A.1 B.0 C.1 或 1 D.1 或 0 解析：选 D 由 x0， x243得 x1；由 x0， 3x23得 x0.故选 D. 5.(2019 蓉城名校第一次联考)设复数 zxyi
4、(x，yR R)满足 z32i2i5， 则y2 x1的值为 ( ) A.3 2 B.2 3 C.1 D.1 3 解析：选 A 因为 z32i2i51ixyix1，y1，所以y2 x1 3 2.故选 A. 6.(2019 重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有 人走访了四位同学，甲说： “是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.” 丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：选 D 假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是 获奖的同学；假设获奖的同学
5、是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假 设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖 的同学，此时只有乙的话是对的，故选 D. 7.(2019 武昌区调研考试)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 s( ) - 3 - A.26 B.102 C.410 D.512 解析：选 B s0，n1，第一次运行，s2102，n123； 第二次运行，s2326，n325； 第三次运行，s25626，n527； 第四次运行，s2726102，n7298，终止循环. 输出 s102，故选 B. 8.(2019 长沙市统一模拟考试)在复平面内， 复数mi
6、mi对应的点位于第一象限， 则实数 m 的 取值范围是( ) A.(，1) B.(，0) C.(0，) D.(1，) 解析： 选D 因为复数mi mi （mi）2 （mi）（mi） m21 m21 2m m21i对应的点位于第一象限， 所以 m 21 m210， 2m m210， 解得 m1，故选 D. 9.(2019 山东泰安一轮复习质量检测)下图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范围是( ) A.9a10 B.9a10 C.10a11 D.8a9 - 4 - 解析：选 B 输入 n13，S0， 第一次循环 S13，n12； 第二次循环 S25
7、，n11； 第三次循环 S36，n10； 第四次循环 S46，n9， 输出 S46，此时应满足退出循环的条件， 故 a 的取值范围是 9a10，故选 B. 10.(2019 河北省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图， 如果输入的 a， b， k 分别为 1， 2，4，输出的 M15 8 ，那么判断框中应填入的条件为( ) A.nk? B.nk? C.nk1? D.nk1? 解析：选 A 由于输入的 a1，b2，k4，所以当 n1 时，M11 2 3 2，此时 a2， b3 2；当 n2 时，M2 2 3 8 3，此时 a 3 2，b 8 3；当 n3 时，M 3 2 3 8 15 8 ，与
8、输出的 M 值一致，故循环需终止.此时 n4，而输入的 k4，故结合选项知，判断框中应填入 nk？. 故选 A. 11.(2019 唐山市摸底考试)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( ) - 5 - A.求 11 3 1 5 1 7 1 21的值 B.求 11 3 1 5 1 7 1 19的值 C.求 11 3 1 5 1 7 1 19的值 D.求 11 3 1 5 1 7 1 21的值 解析：选 C 执行程序框图，S1，a1，n3；S11 3，a1，n5；S1 1 3 1 5， a1，n7；S11 3 1 5 1 7 1 19，a1，n2119 满足条件，退出循环，输出 S.故该程
9、序框图的功能是求 S11 3 1 5 1 7 1 19的值，故选 C. 12.埃及数学中有一个独特现象：除2 3用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干 个单位分数和的形式，例如2 5 1 3 1 15.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给 5 个人， 若每人分得一个面包的1 2，不够，若每人分得一个面包的 1 3，还余 1 3，再将这 1 3分成 5 份，每人 分得 1 15，这样每人分得 1 3 1 15.形如 2 n(n5，7，9，11，)的分数的分解： 2 5 1 3 1 15， 2 7 1 4 1 28， 2 9 1 5 1 45，按此规律， 2 n( ) A. 2 n1
10、2 n（n1） B. 1 n1 1 n（n1） C. 1 n2 1 n（n2） D. 1 2n1 1 （2n1）（2n3） 解析：选 A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加 1 的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子 都是 1，即2 n 1 n1 2 1 n（n1） 2 2 n1 2 n（n1）. 二、填空题 13.已知 a，bR R，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2_，ab_. 解析：(abi)2a2b22abi34i， a2b23， 2ab4， a2， b1 或 a2， b1， a2b25，ab2. 答
11、案：5 2 - 6 - 14.已知复数 zx4i(xR R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|5，则 z 1i的共轭复数为_. 解析：由题意知 x0，且 x24252， 解得 x3， z 1i 34i 1i （34i）（1i） （1i）（1i） 1 2 7 2i， 故其共轭复数为1 2 7 2i. 答案：1 2 7 2i 15.在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 r2S C .在空间中，三棱 锥的体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个 面均相切)的半径 R_. 解析：若三棱锥表面积为 S，体积为 V，
12、则其内切球半径 R3V S .理由如下： 设三棱锥的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4， 由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径， 所以 V1 3S1R 1 3S2R 1 3S3R 1 3S4R 1 3SR， 所以内切球的半径 R3V S . 答案：3V S 16.使用“”和“”按照如下规律从左到右进行排位：， ，若每一个“”或“”占 一个位置，如上述图形中，第 1 位是“”，第 4 位是“”，第 7 位是“”，则第 2 020 位之前(不含第 2 020 位)，共有_个“”. 解析：记“，”为第 1 组， “，”为第 2 组， “， ”为第 3 组，以此类推，第 k 组共有 2k 个图形，故前 k 组共有 k(k1)个图形，因为 4445 1 9802 01945462 070，所以在这 2 019 个图形中有 45 个“”，1 974 个“”. 答案：1 974
