1、 - 1 - 数学试题数学试题 2019.12 1已知集合 U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9，则U（AB） 2若复数 zi（32i） （i 是虚数单位） ，则 z 的模为 3直线 l1：x10 和直线 l2：xy0 的夹角大小是 4我国古代庄周所著的庄子天下篇中引用过一句话： “一尺之棰日取其半，万世不竭 ” 其含义是：一根 尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长 度记为 1 个单位，则 第 n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为 an，则 an 5已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 的终边与单位圆的交点坐标 是（，
2、） ，则 sin2 6已知正四棱柱底面边长为 2，体积为 32，则此四棱柱的表面积为 7设 x，yR+，若 4x1则 的最大值为 8已知数列an中，a11，anan1（nN*） ，则an 9 某地开展名优教师支教活动， 现有五名名优教师被随机分到 A、 B、 C 三个不同的乡镇中学， 现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同 的分配方案共有 种 10已知对于任意给定的正实数 k，函数 f（x）2x+k2 x 的图象都关于直线 xm 成轴对称 图形，则 m 11如图，一矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另两个顶点 C、D 在函数 f（x），x0 的
3、图象上，则此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 - 2 - 12 已知点 P 在双曲线1 上， 点 A 满足（t1） （tR） ， 且60， （0，1） ，则|的最大值为 13使得（3x）n（nN*）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ） A4 B5 C6 D7 14对于两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面 ，以下结论正确的是（ ） A若 m，n，m，n 是异面直线，则 ， 相交 B若 m，m，n，则 n C若 m，n，m，n 共面于 ，则 mn D若 m，n， 不平行，则 m，n 为异面直线 15 过抛物线y22px （p0） 的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD， 则的值
4、为 （ ） A B C2p D 16设等比数列an的公比为 q，其前 n 项之积为 Tn，并且满足条件： a11，a2019a20201， 0，给出下 列结论：0q1；a2019a202110；T2019是数列Tn中的最大项；使 Tn1 成 立的最大自然数等于 4039，其中正确结论的序号为（ ） A B C D 17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC 的中点，已知 AB2，AD2，PA2，求： （1）三角形 PCD 的面积； （2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 - 3 - 18 （14 分）已知向量（cosx，s
5、inx） ，（cosx，cosx）其中 0，记 f（x） （1）若函数 f（x）的最小正周期为 ，求 的值； （2）在（1）的条件下，已知ABC 的内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 f（） ，且 a4，b+c5求ABC 的面积 19 （14 分）某企业生产的产品具有 60 个月的时效性，在时效期内，企业投入 50 万元经销该 产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的 10%再投入到次月的经营中，市场调 研表明， 该企业在经销这个产品的第 n 个月的利润是 f （n）（单 位：万元） 记第 n 个月的当月利润率为 g（n），例 g（3） （1）求第 n 个月的当月利润率；
6、（2） 求该企业在经销此产品期间， 哪一个月的当月利润率最大， 并求出该月的当月利润率 20 （16 分） 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到两个焦点的距离和为 10， 椭圆 C 经过点（3， ） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线 l1，直线 l1上存在 M、N 两点满足 OM ON，求OMN 面积的最小值 - 4 - （3）若与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 x 轴于定点 M，线段 AB 的垂直 平分线交 x 轴于点 N，且为定值，求点 M 的坐标 21 （18 分）已知函数 f（x）的定义域为0，2且
7、f（x）的图象连续不间断，若函数 f（x） 满足：对于给定的实数 m 且 0m2存在 x00，2m，使得 f（x0）f（x0+m） ，则称 f（x）具有性质 P（m） （1）已知函数 f（x），判断 f（x）是否具有性质 P（） ，并说明理 由； （2）求证：任取 m（0，2） 函数 f（x）（x1）2，x0，2具有性质 P（m） ； （3）已知函数 f（x）sinx，x0，2，若 f（x）具有性质 P（m） ，求 m 的取值范围 - 5 - 1集合 U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9 AB1，3，9 U（AB）5， 答案5 2复数 zi（32i）3i+2， 则|z| 答案：13 3直线
8、 l1：x10 的倾斜角为 ，直线 l2：xy0 的斜率为倾斜角为 ， 故直线 l1：x10 和直线 l2：xy0 的夹角大小为， 答案：6 4依题意，第 1 天“日取其半”后 a1； 第 2 天“日取其半”后 a2； 第 3 天“日取其半”后 a3； 、 第 n 天“日取其半”后 an， 答案： 5角 的终边与单位圆的交点坐标是（， ） ， 所以， - 6 - 所以 答案： 6设正四棱柱的高为 h，由底面边长为 a2，体积为 V32， 则 Va2h，即 h4； 所以此四棱柱的表面积为： SS侧面积+2S底面积 442222 3216 答案：16+322 74x1，x，yR+， ， 即， 当
9、且 仅 当 “”时取等号， 答案：116 8数列an中，a11，anan1（nN*） ， 可得 a2a1，a3a2，a4a3，anan1， 累加可得：an1， 则an1 - 7 - 答案：54答案 9根据题意，分 2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况， ，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则剩 下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法； 答案：81 10由题意可知，k0，函数 f（x）2x+k2 x 的图象都关于直线 xm 成轴对称图形， 则 f（m+x）为偶函数，关于 y
10、 轴对称， 故 f（mx）f（m+x）恒成立， 2m x+k2（mx）2m+x+k2（m+x） ， 对于任意 xR 成立，故 2mk2 m0， m 答案： 11由 yf（x）=1+2，当且仅当 x1 时取等号， 得 x； 又矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体是圆柱， 设 A 点的坐标为（x1，y） ，B 点的坐标为（x2，y） ， 则圆柱的底面圆半径为 y，高为 hx2x1， 且 f（x1），f（x2）， 所以， 即（x2x1） （x2x11）0， 所以 x2x11， - 8 - 所以 h2（x2+x1）24x2x1（x1）244， 所以 h， 所以 V圆柱y2hy （），当且仅当 y时取等号，
11、故此矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 答案： 12（t1）， 则， 设 A（xA，yA） ，P（xP，yP） ， （xA，yA）t（xP，yP） ， 则，即，将点（）代入双曲线中得： ， 60，| |t|60， 由得 60|t|t|， |yA|8， - 9 - |yA|8 则|的最大值为 8 答案：8 13 （3x）n的展开式的通项公式为：Tr+1， 令 n，可得 n， 当 r2 时，n 取得最小值为 5， 答案：B 14若 m，n，m，n 是异面直线，则 ， 相交或平行，故 A 错误； 若 m，m，则 ，由 n，则 n 或 n，故 B 错误； 若 m，n，m，n 共面于 ，则
12、mn，故 C 正确； 若 m，n， 不平行，则 m，n 为异面直线或相交，故 D 错误 答案：C 15抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（） ，所以设经过焦点直线 AB 的方程为 yk （x） ， 所以，整理得，设点 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ， 所以，所以， 同理设经过焦点直线 CD 的方程为 y（x） ， - 10 - 所以，整理得， 所以：|CD|p+（p+2k2p） ，所以， 则则 答案：D 16a11，a2019a20201，0， a20191，a20201 0q1，故正确； a2019a20211，a2019a202110，故不正确； a20201，T2019是数
13、列Tn中的最大项，故正确； T4039a1a2a4038a40391， T4038a1a2a4037a40381， 使 Tn1 成立的最大自然数等于 4038，故不正确 正确结论的序号是 答案：B 17 （1）PA底面 ABCD，CD底面 ABCD， CDPA 矩形 ABCD 中，CDAD，而 PA、AD 是平面 PAD 的交线 CD平面 PDA， PD平面 PDA，CDPD，三角形 PCD 是以 D 为直角顶点的直角三角形 RtPAD 中，AD2，PA2， PD2 三角形 PCD 的面积 SPDDC2 - 11 - （2）解法一 如图所示，建立空间直角坐标系，可得 B（2，0，0） ，C（2
14、，2，0） ，E（1， 1） （1，1） ，（0，2，0） ， 设与夹角为 ，则 cos， ，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 解法二 取 PB 的中点 F，连接 AF、EF、AC， PBC 中，E、F 分别是 PC、PB 的中点， EFBC，AEF 或其补角就是异面直线 BC 与 AE 所成的角 RtPAC 中，PC4 AEPC2， 在AEF 中，EFBC，AFPB AF2+EF2AE2，AEF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形， AEF，可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 - 12 - 18 （1）， ， f（x）的最小正周期为 ，且 0， ，解得 1；
15、（2）由（1）得， ， ，由 0A 得， ，解得， 由余弦定理知：a2b2+c22bccosA，即 16b2+c2bc（b+c）23bc，且 b+c5， 16253bc，bc3， 19 （1）依题意得 f（1）f（2）f（3）f（9）f（10）10， 当 n1 时，g（1），当 1n10，nN*时，f（1）f（2）f（n1） 10， - 13 - 则 g（n）， n1 也符合上式，故当 1n10，nN*，g（n），当 11n60，nN*时， g（n） ， 所以第 n 个月的当月利润率为 g（n）； （2） 当 1n10， nN*， g （n）是减函数， 此时 g （n） 的最大值为 g （1）
16、， 当 11n60，nN*时， g（n）， g（n）在 11n33，nN*单调递增，g（n）在 34n60，nN*单调递减， 当且仅当 n，即 n时，g（n）有最大值，又 nN*， g（33），g（34）， 因为，所以当 n33 时，g（n）有最大值， 即该企业经销此产品期间，第 33 个月利润最大，其当月利润率为 20 （1）设椭圆的方程为，椭圆 C 上的点到两个焦点的距离和为 10， 所以 2a10，a5， - 14 - 又椭圆 C 经过点（3，） ，代入椭圆方程，求得 b4， 所以椭圆的方程为：； （2）设 M（3，yM） ，N（3，yN） ，F（3，0） ， 由 OMON，所以， ，故
17、OMN 面积的最小值为 9； （3）设直线 l 的方程为：ykx+m，则点 M（） ， 联立，消去 y 得（25k2+16）x2+50kmx+25m24000， ， 所以|AB|， 则 AB 的中点 P 的坐标为 （） ， 又 PNAB， 得， 则直线 PN 的方程为：ym， 令 y0，得 N 点的坐标为（） ，则|MN|， 所以， 当且仅当时，比值为定值，此时点 M（） ，为 M（3，0） ， 故 M（3，0）或（3，0） - 15 - 21 （1）f（x）具有性质 P（ ） ， 设 x00，令 f（x0）f（x0） ，则（x01）2（x0）2， 解得 x0，又0，所以 f（x）具有性质 P
18、（） ； （2）任取 x00，2m，令 f（x0）f（x0+m） ，则（x01）2（x0+m1）2， 因为 m0，解得 x01，又 0m2，所以 011， 当 0m2，x01 时， （2m）x0（2m）（1）11 0， 即 012m，即任取实数 m（0，2） ，f（x）都具有性质 P（m） ； （3） 若 m （0， 1， 取 x0， 则0 且 2m0， 故 x00， 2m， 又 f（x0）sin（） ，f（x0+m）sin（）sin（）f（x0） ， 所以 f（x）具有性质 P（m） ； 假设存在 m（1，2）使得 f（x）具有性质 P（m） ，即存在 x00，2m，使得 f（x0）f （x0+m） ， 若 x00，则 x0+m（1，2） ，f（x0）0，f（x0+m）0，f（x0）f（x0+m） ， 若 x0（0，2m，则 x0+m（m，2，进而 x0（0，1） ，x0+m（1，2，f（x0）0，f （x0+m）0， f（x0）f（x0+m） ，所以假设不成立，所以 m（0，1
