1、小学经典奥数题 小学经典奥数题及答案解析 2019 年 6 月 一 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题 解读：解读：鸡兔同笼问题是小学必考也是一个非常重要的内容，它 的重点在于要找到它的本质问题，大概就是要求两个量分别是多 少，它已知的是他们两种量的两个关系，我们利用一个关系设未 知数，利用另一个关系列出方程，这是经典万能方法，这类问题 并不一定要鸡与兔，类似的有桌子与椅子，上衣与下衣，三轮车 与自行车等等，都属于这种类型，要引导学生看清类型的本质， 收获的应该是一种思维， 不是鸡与兔的问题， 那样才能得心应手。 1 鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28 条,问鸡与兔各有几只? 解： 4*1
2、00400，400-0400 假设都是兔子，一共有 400 只兔子的脚，那 么鸡的脚为 0 只，鸡的脚比兔子的脚少 400 只。 400-28372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28 只，相差 372 只，这 是为什么？ 4+26 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡， 兔子的总脚数就会减少 4 只（从 400 只变为 396 只） ，鸡的总脚数就会增加 2 只（从 0 只到 2 只） ，它们的相差数就会少 4+26 只（也就是原来的相差数是 400-0 400，现在的相差数为 396-2394，相差数少了 400-3946） 372662 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100 只兔子中有
3、 62 只改为了鸡，所以脚的相差数从 400 改为 28，一共改了 372 只 100-6238 表示兔的只数 小学经典奥数题 二、工程问题 解读：解读：工程问题是小考，以及奥数题中必考的经典内容，这类 问题主要是学生不适应总量没告诉的情况下答题有点转不过弯。 要接受一个整体思想，把工程看作单位“1”的量，这种思想在 数学思维中有着重要的地位，要有一定的想象能力，这种思想给 我们解题带来一种新的思路，也要引导学生，在日常生活中也要 从整体看问题。 1甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时. 丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水 管，5 小
4、时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/169/80 表示甲乙的工作效率 9/80545/80 表示 5 小时后进水量 1-45/8035/80 表示还要的进水量 35/80（9/80-1/10）35 表示还要 35 小时注满 答：5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。 2修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。 如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的五分之四， 乙队工作效率只有原来的十分之九。 现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么 两队要合作几天？ 解：由题
5、意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工效 小学经典奥数题 为 1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的 工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲 多做，16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能 “两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为 x 天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x1 x10 答：甲乙最短合作 10 天 3一件工作，甲、乙合做需 4 小时完成，乙、丙合做需 5 小时完成。 现在先请甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独 做
6、完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量，1/5 表示乙丙合作 1 小时的工作量 （1/4+1/5）29/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、丙做了 2 小时的工作量。 根据“甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成”可知甲做 2 小时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。 所以 19/101/10 表示乙做 6-42 小时的工作量。 1/1021/20 表示乙的工作效率。 11/2020 小时表示乙单独完成需要 20 小时。 答：乙单独完成需要 20 小时。 小学经典奥数题 4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲
7、做，第四天乙做， 这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天 甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要 比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17 天完成，甲单独做这项 工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲0.51 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如 上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天） 1/甲1/乙+1/甲0.5（因为前面的工作量都相等） 得到 1/甲1/乙2 又因为 1/乙1/17 所以 1/甲2/17，甲等于 1728
8、.5 天 5师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120 个。 当师傅完成了任务时， 徒弟完成了 4/5 这批零件共有多少个？ 答案为 300 个 120（4/52）300 个 可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全部 完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5，刚好是 120 个。 小学经典奥数题 6一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果单份给女生 栽，平均每人栽 10 棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 答案是 15 棵 算式：1（1/6-1/10）15 棵 7一个池上装有
9、3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20 分钟 可将满池水放完，丙管也是出水管，30 分钟可将满池水放完。现在先 打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了 18 分钟放完，当 打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 答案 45 分钟。 1（1/20+1/30）12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多 放了 6 分钟的水，也就是甲 18 分钟进的水。 1/2181/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1（1/20-1/36）45 分钟。 8某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰
10、好如期完成， 若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由 乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 答案为 6 天 解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天， 再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做 3 天的工作量甲 2 天的工作量 小学经典奥数题 即：甲乙的工作效率比是 3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2：3 时间比的差是 1 份 实际时间的差是 3 天 所以 3（3-2）26 天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法： 1/x+1/（x+2）2+1/（x+2）（x-2）1 解得 x6 9两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2
11、小时，而点完一根细蜡烛 要 1 小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分 钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟？ 答案为 40 分钟。 解：设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x（1-1/60*x）*2 解得 x40 小学经典奥数题 三数字数位问题三数字数位问题 1把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.2005,这个多位数除以 9 余数是多少? 解： 首先研究能被 9 整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9 整除， 那么这个数也能被 9 整除； 如果各
12、个位数字之和不能被 9 整除， 那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45 能被 9 整除 依次类推：11999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除 1019，20299099 这些数中十位上的数字都出现了 10 次，那么 十位上的数字之和就是 10+20+30+90=450 它有能被 9 整除 同样的道理，100900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9 整除 也就是说 1999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9 整 除； 同样的道理：10001999 这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的 数字之和可以被 9
13、 整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们 少 200020012002200320042005 从 10001999 千位上一共 999 个“1”的和是 999，也能整除； 200020012002200320042005 的各位数字之和是 27，也刚好整除。 最后答案为余数为 0。 小学经典奥数题 2A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的最 小值. 解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了， 只需求后面的最小值， 此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B
14、 / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100 3已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 的近似值市 6.4, 那么它的准确值是多少? 答案为 6.375 或 6.4375 因为 A/2 + B/4 + C/168A+4B+C/166.4， 所以 8A+4B+C102.4，由于 A、B、C 为非 0 自然数，因此 8A+4B+C 为 一个整数，可能是 102
15、，也有可能是 103。 当是 102 时，102/166.375 当是 103 时，103/166.4375 4一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1. 如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数, 则新的三位数比原三位数大 198,求原数. 答案为 476 小学经典奥数题 解：设原数个位为 a，则十位为 a+1，百位为 16-2a 根据题意列方程 100a+10a+16-2a100（16-2a）-10a-a198 解得 a6，则 a+17 16-2a4 答：原数为 476。 5一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7 倍 多
16、24,求原来的两位数. 答案为 24 解：设该两位数为 a，则该三位数为 300+a 7a+24300+a a24 答：该两位数为 24。 6把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原 数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 答案为 121 解：设原两位数为 10a+b，则新两位数为 10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a11（a+b） 因为这个和是一个平方数，可以确定 a+b11 因此这个和就是 1111121 答：它们的和为 121。 7一个六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是新数的 3 倍,求原数. 小学经典奥数题 答案为 85714
17、解： 设原六位数为 abcde2， 则新六位数为 2abcde （字母上无法加横线， 请将整个看成一个六位数） 再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10x+2，新六位数就是 200000+x 根据题意得， （200000+x）310x+2 解得 x85714 所以原数就是 857142 答：原数为 857142 8有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数 字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换, 新数就比原数增加 2376,求原数. 答案为 3963 解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d+b12，a+c9 根据“新
18、数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观 察 abcd 2376 cdab 根据 d+b12，可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d3，b9；或 d8，b4 时成立。 先取 d3，b9 代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 小学经典奥数题 根据 a+c9，可知 a、c 可能是 1、8；2、7；3、6；4、5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当 c6，a3 时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd3963 再取 d8，b4 代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所 以不成立。 9有一个两
19、位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6,如果用 这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个 两位数. 解：设这个两位数为 ab 10a+b9b+6 10a+b5（a+b）+3 化简得到一样：5a+4b3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a3 或 7，b3 或 8 原数为 33 或 78 均可以 10 如果现在是上午的 10 点 21 分,那么在经过 28799.99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分? 答案是 10：20 解： （287999（20 个 9）+1）/60/24 整除，表示正好过了整数天，时 间仍然还是 10： 21， 因为
20、事先计算时加了 1 分钟， 所以现在时间是 10： 小学经典奥数题 20 四排列组合问题 1 有五对夫妇围成一圈， 使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 （ ） A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 解： 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 54321120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120524 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2 种排法，总共又 2222232 种 综合两步，就有 2432768 种。 2 若把英语单
21、词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 解： 5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 小学经典奥数题 4慢车车长 125 米，车速每秒行 17 米，快车车长 140 米，车速每秒 行 22 米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢 车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？ 答案为 53 秒 算式是（140+125)(22-17)=53 秒 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车 车尾上的点追及慢车车头的点， 因
22、此追及的路程应该为两个车长的和。 5在 300 米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均 速度是每秒 5 米，乙平均速度是每秒 4.4 米，两人起跑后的第一次相 遇在起跑线前几米？ 答案为 100 米 300（5-4.4）500 秒，表示追及时间 55002500 米，表示甲追到乙时所行的路程 25003008 圈100 米，表示甲追及总路程为 8 圈还多 100 米， 就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。 6一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57 秒火 车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360 米，(轨道是直的),声音每 秒传 340 米，求火车的速度（
23、得出保留整数） 答案为 22 米/秒 算式：1360(1360340+57）22 米/秒 关键理解：人在听到声音后 57 秒才车到，说明人听到声音时车已经从 小学经典奥数题 发声音的地方行出 13603404 秒的路程。也就是 1360 米一共用了 4+5761 秒。 7猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上 去，猎犬的步子大，它跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步，但是兔子的动 作快，猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步，问猎犬至少跑多少米才 能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少跑 60 米才能追上。 解： 由“猎犬跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步”可知当猎犬每步
24、a 米，则兔 子每步 5/9 米。由“猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步”可知同一 时间，猎犬跑 2a 米，兔子可跑 5/9a*35/3a 米。从而可知猎犬与兔 子的速度比是 2a：5/3a6：5，也就是说当猎犬跑 60 米时候，兔子 跑 50 米，本来相差的 10 米刚好追完 8 AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5,如果甲 乙二人分别同时从 AB 两地相对行使,40 分钟后两人相遇,相遇后各自 继续前行,这样，乙到达 A 地比甲到达 B 地要晚多少分钟? 答案：18 分钟 解：设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y 列式 40x+40y=1 x:y=5:4
25、 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72 分钟,乙需 90 分钟 小学经典奥数题 故得解 9甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶， 各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米。AB 两地相距多 少千米？ 答案是 300 千米。 解： 通过画线段图可知， 两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始到第二次相遇，一共又行了 3 个 AB 的路程，可以推算出甲、乙 各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的 3 倍。即甲 共走的路程是 120*3360 千米，从线段图
26、可以看出，甲一共走了全程 的（1+1/5） 。 因此 360（1+1/5）300 千米 从 A 地到 B 地，甲、乙两人骑自行车分别需要 4 小时、6 小时，现在 甲乙分别 AB 两地同时出发相向而行，相遇时距 AB 两地中点 2 千米。 如果二人分别至 B 地，A 地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇 点之间有（）千米 10 一船以同样速度往返于两地之间， 它顺流需要6小时;逆流8小时。 如果水流速度是每小时 2 千米，求两地间的距离？ 解： （1/6-1/8）21/48 表示水速的分率 21/4896 千米表示总路程 小学经典奥数题 11快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 3
27、3 千米，相 遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要 8 小时，求甲乙 两地的路程。 解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4：3 时间比为 3：4 所以快车行全程的时间为 8/4*36 小时 6*33198 千米 12 小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5 分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米, 乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相距多少千米? 解： 把路程看成 1，得到时间系数 去时时间系数：1/312+2/330 返回时间系数：3/512+2/530 两者之差： （3/512+2/530）-（1/312+2
28、/330）=1/75 相当于 1/2 小时 去时时间：1/2（1/312）1/75 和 1/2（2/330）1/75 路程： 12 1/2 （1/312） 1/75 +30 1/2 （2/330） 1/75 =37.5（千米） 八比例问题 1 甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人 小学经典奥数题 请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人 留下 10 元,甲、乙怎么分？快快快 答案：甲收 8 元，乙收 2 元。 解： “三人将五条鱼平分，客人拿出 10 元”，可以理解为五条鱼总价值为 30 元，那么每条鱼价值 6 元。 又因为“甲钓了三条”，相当于
29、甲吃之前已经出资 3*618 元，“乙 钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资 2*612 元。 而甲乙两人吃了的价值都是 10 元，所以 甲还可以收回 18-108 元 乙还可以收回 12-102 元 刚好就是客人出的钱。 2 一种商品， 今年的成本比去年增加了 10 分之 1， 但仍保持原售价， 因此，每份利润下降了 5 分之 2，那么，今年这种商品的成本占售价 的几分之几？ 答案 22/25 最好画线段图思考： 把去年原来成本看成 20 份， 利润看成 5 份， 则今年的成本提高 1/10， 就是 22 份，利润下降了 2/5，今年的利润只有 3 份。增加的成本 2 份 刚好是下降利润的 2
30、 份。售价都是 25 份。 所以，今年的成本占售价的 22/25。 3 甲乙两车分别从 A.B 两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是 小学经典奥数题 5:4,相遇后,甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样,当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千米,那么 A.B 两地相距多少千米? 解： 原来甲.乙的速度比是 5:4 现在的甲：5（1-20）4 现在的乙：4（1+20）4.8 甲到 B 后，乙离 A 还有：5-4.80.2 总路程：100.2（4+5）450 千米 4一个圆柱的底面周长减少 25%，要使体积增加 1/3，现在的高和原 来的高度比是多少？ 答案为 64：2
31、7 解：根据“周长减少 25”，可知周长是原来的 3/4，那么半径也是 原来的 3/4，则面积是原来的 9/16。 根据“体积增加 1/3”，可知体积是原来的 4/3。 体积底面积高 现在的高是 4/39/1664/27，也就是说现在的高是原来的高的 64/27 或者现在的高：原来的高64/27：164：27 5某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共 30 吨香蕉、橘子和梨共 45 吨。橘子正好占总数的 13 分之 2。一共运来 水果多少吨？ 第二题：答案为 65 吨 小学经典奥数题 橘子+苹果30 吨 香蕉+橘子+梨45 吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨75 吨 橘子（香蕉+苹果+橘子+梨）2/13 说明：橘子是 2 份，香蕉+苹果+橘子+梨是 13 份 橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是 2+1315 份
