1、第二章第二章2.5 简单复合函数的求导法则课件 知能目标解读知能目标解读1知能自主梳理知能自主梳理2学习方法指导学习方法指导3思路方法技巧思路方法技巧4探索延拓创新探索延拓创新5易错辨误警示易错辨误警示6课堂巩固训练课堂巩固训练7知能目标解读知能目标解读 1能利用公式能利用公式yx f(x)f()(x)求简单复合函数的导数求简单复合函数的导数 2能够准确分出函数的复合关系能够准确分出函数的复合关系 本节重点：复合函数的求导法则本节重点：复合函数的求导法则 本节难点：准确分出函数的复合关系本节难点：准确分出函数的复合关系知能自主梳理知能自主梳理 1复合函数的概念复合函数的概念 一般地，对于两个函
2、数一般地，对于两个函数yf(u)和和u(x)axb，给定，给定x的一个值，就得到了的一个值，就得到了u的值，的值，进而确定了进而确定了y的值，这样的值，这样y可以表示成可以表示成x的函的函数，我们称这个函数为函数数，我们称这个函数为函数yf(u)和和u(x)的复合函数，记作的复合函数，记作yf(x)其中其中u为中间变量为中间变量 2复合函数的求导法则复合函数的求导法则 复合函数复合函数yf(x)的导数为的导数为 yx f(x)f(u)(x)说明：说明：yx表示表示y对对x的导数的导数学习方法指导学习方法指导 1求复合函数导数的步骤求复合函数导数的步骤 求复合函数的导数，一般按以下三个步骤求复合
3、函数的导数，一般按以下三个步骤进行：进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系即说明函数关系yf(u)，u(x)；(2)分步求导分步求导(弄清每一步求导是哪个变量弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求自变量求导，即先求f(u)，再求，再求(x)；(3)计算计算f(u)(x)，并把中间变量代回原，并把中间变量代回原自变量的函数自变量的函数 整个过程可简记为分解整个过程可简记为分解求导求导回代回代 2求复合函数的导数时，首先要分析复合求复合函数的导数时，首先要分析复
4、合函数的结构，再从最外层开始由外及里逐函数的结构，再从最外层开始由外及里逐层求导，做到不重不漏层求导，做到不重不漏 3求复合函数的导数要处理好以下环节：求复合函数的导数要处理好以下环节：中间变量的选择应是基本函数结构；中间变量的选择应是基本函数结构；关键是正确分析函数和复合层次；关键是正确分析函数和复合层次；一般是从最外层开始，由外及里，一层一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；层地求导；善于把一部分表达式作为一个整体；善于把一部分表达式作为一个整体；最后要把中间变量换成自变量的函数最后要把中间变量换成自变量的函数思路方法技巧思路方法技巧 复合函数的求导复合函数的求导 分析二分析二 函数
5、关系式结构较为复杂，可函数关系式结构较为复杂，可以先设中间变量，然后由复合函数的求导以先设中间变量，然后由复合函数的求导法则求导法则求导 点评点评 对较复杂的函数式求导，一般先对较复杂的函数式求导，一般先化简再求导本例题中的解法二，把原函化简再求导本例题中的解法二，把原函数分解为三个层次的基本函数来求导数分解为三个层次的基本函数来求导 复合函数的实际应用复合函数的实际应用 点评点评 本题主要考查复合函数的求导法本题主要考查复合函数的求导法则以及导数的实际意义正确使用复合函则以及导数的实际意义正确使用复合函数的求导法则是解决此类问题的关键数的求导法则是解决此类问题的关键 某质点某质点P在半径为在
6、半径为10 cm的圆上沿逆时针方的圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，角速度为向作匀速圆周运动，角速度为2 rad/s，设，设圆心在坐标原点圆心在坐标原点O，A(10，0)为起始点，求为起始点，求时刻时刻t1 s时，质点时，质点P在在y轴上的射影点轴上的射影点M的的速度速度 解析解析 设设OM的长为的长为y cm，因为质点，因为质点P转转动的角速度动的角速度2 rad/s，所以，所以ys(t)10sin2t.函数函数y10sin2t是由函数是由函数f(u)10sinu和函和函数数u(t)2t复合而成的，其中复合而成的，其中u是中间变是中间变量量 由导数公式表可得由导数公式表可得f(u)10cosu
7、，(t)2，再由复合函数求导法则得再由复合函数求导法则得yts(t)f(u)(t)10cosu220cos2t.将将t1代入代入s(t)可得可得s(1)20cos2.所以当所以当t1时，质点时，质点P在在y轴上的射影点轴上的射影点M的速度为的速度为20cos2 m/s.探索延拓创新探索延拓创新 复合函数的综合应用复合函数的综合应用 分析分析 本题的关键是对本题的关键是对x的指数作合理的的指数作合理的变形，两边取对数可将原函数变形为变形，两边取对数可将原函数变形为lnylnxlnx.点评点评 较复杂的函数求导时，若值域为较复杂的函数求导时，若值域为正数，一般可通过两边取对数等途径，将正数，一般可
8、通过两边取对数等途径，将所求函数进行变形后利用复合函数求导法所求函数进行变形后利用复合函数求导法则求导则求导 求求y(x1)()(x2)(x10)()(x10)的导的导数数(提示：对数运算能使提示：对数运算能使“积积”的形式转化的形式转化为为“和和”的形式，函数的形式，函数f(x)lny是复合函是复合函数，它是由数，它是由f(u)lnu与与uy(x)复合而成复合而成的的)分析分析 利用两边取对数，使利用两边取对数，使“积积”的形的形式转化为式转化为“和和”的形式的形式易错辨误警示易错辨误警示 误解误解 yxe12xx(e12x)e12xxe12x(1x)e12x.正解正解 yxe12xx(e1
9、2x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.点评点评 复合函数复合函数yf(x)的导数为的导数为yx f(x)f(u)(x)，即对自变量的导，即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数掌握复合函数中间变量对自变量的导数掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的第一步适当选定中间变量，分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数别注意的是中间变量的系数课
10、堂巩固训练课堂巩固训练 答案答案 C 3函数函数ye2x4在点在点x2处的切线方程为处的切线方程为()A2xy30B2xy30 Cexy2e10Dexy2e10 答案答案 A 解析解析 y2e2x4，则当则当x2时，时，y2e02，斜率为斜率为2.又当又当x2时，时，ye2241，切点为切点为(2，1)切线方程为切线方程为2xy30.二、填空题二、填空题 4函数函数f(x)(2x1)5，则，则f(0)的值为的值为_ 答案答案 10 解析解析 f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.5(2014西安模拟西安模拟)曲线曲线ye2x在点在点(0，1)处的切线方程为处的切线方程为_ 答案答案 2xy10 解析解析 y(e2x)2e2x，ky|x02e202，切线方程为切线方程为y12(x0)，即即2xy10.分析分析 函数函数yln(2x3)可以看作函数可以看作函数ylnu和和u2x3的复合函数，根据复合函的复合函数，根据复合函数的求导法则来求数的求导法则来求
