1、 探究探究试证：试证：-1+3-5+(-1)n(2n-1)=(-1)n 了解数学归纳法的原理及其使用范围了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤和基本步骤.1.通过递推思想研究数学归纳法通过递推思想研究数学归纳法.2.通过多米若骨牌游戏这个模型直观地类通过多米若骨牌游戏这个模型直观地类比抽象的数学归纳法比抽象的数学归纳法.培养学生严密的逻辑思维能力和严培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度谨的态度.了解数学归纳法的原理及其使用了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤范围和基本步骤.排序不等式的证明思路及应用排序不等式的证明思路及应用.探究探究 多米若骨牌是一种码放骨牌的游戏，码放多米若骨牌
2、是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定会导致后一块骨牌倒下下，则一定会导致后一块骨牌倒下.这样，只要这样，只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下下最后，不论有多少块骨牌，都能倒下最后，不论有多少块骨牌，都能倒下.你知道为什么所有骨牌都会倒下吗？你知道为什么所有骨牌都会倒下吗？数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1分分 析析使所有骨牌都倒下的条件有两个：使所有骨牌都倒下的条件有两个：(1)第
3、一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下一定导致后一块倒下.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1 其中，条件其中，条件(2)事实上是一个递推事实上是一个递推关系；当第关系；当第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下块也倒下.只要保证只要保证(1)(2)成立，那所有成立，那所有的骨牌一定会全部倒下的骨牌一定会全部倒下.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt
4、人教版人教版1 1按照上述思路按照上述思路证明题目会怎证明题目会怎样？样？数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1证证 明明(1)(1)当当n=1n=1时，等式左右两边都等于时，等式左右两边都等于-1-1，即，即这时等式成立这时等式成立.(2)(2)假设当假设当n=k(k1)n=k(k1)时等号成立，即时等号成立，即-1+3-5+-1+3-5+(-1)+(-1)k k(2k-1)=(-1)(2k-1)=(-1)k kk k数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公
5、开课pptppt人教版人教版1 1此时，此时，左边左边=-1+3-5+(-1)k(2k-1)+(-1)k+12(k+1)-1=(-1)k-k+2(k+1)-1=(-1)k+1(k+1)=右边右边所以当所以当n=k+1时，等号成立时，等号成立.由由(1)(2)可证等式成立可证等式成立.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1 当证明一个命题对于不小于某正整数当证明一个命题对于不小于某正整数n n0 0的所的所有正整数有正整数n n都成立，可以用以下两个步骤：都成立，可以用以下两个步骤：(1)(1)证明当证明当n=
6、nn=n0 0 时命题成立；时命题成立；(2)(2)假设当假设当n=k(k N+,n=k(k N+,且且knkn0 0）时命题成立，证明时命题成立，证明n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.数学归数学归纳法纳法数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1思考思考 你认为数学归纳法的基本思想是你认为数学归纳法的基本思想是什么？什么？数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1 在数学归纳法的两个步骤中，第在数学归纳法的两个步骤中，
7、第一步是奠基，第二步是假设与递推一步是奠基，第二步是假设与递推.这这两部非常重要，缺一不可两部非常重要，缺一不可.而递推是实而递推是实现从有限到无限的飞越关键现从有限到无限的飞越关键.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1例例1 证明：证明：n3+5n(n N+)能够被能够被6整除整除.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1分析分析 这是一个与整除有关的命题，它涉及这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证
8、明，第一全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证步应证n=1时命题成立；第二步要明确目时命题成立；第二步要明确目标，即在假设标，即在假设k3+5k能够被能够被6整除的前提下整除的前提下证明证明.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1证证 明明(1)当当n=1时，时，n3+5n=6显然能够被显然能够被6整除，整除，命题成立命题成立.(2)假设假设n=k(k1)时，命题成立，即时，命题成立，即k3+5k能被能被6整除整除.当当n=k+1时，时，(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6.由假
9、设知由假设知k3+5k能被能被6整除，而整除，而k(k+1)是偶数，是偶数，故故3k(k+1)能够被能够被6整除。整除。因此，当因此，当n=k+1时命题成立时命题成立.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1 由由(1)(2)知，命题对一切正整数成立，知，命题对一切正整数成立，即即n3+5n(n N+)能够被能够被6整除整除.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1例例2 平面上有平面上有n(n N+,nn(n N+,n3)3)
10、个点，个点，其中任何三点都不在同一条直线上其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中任意两点作直线，这样过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论的直线共有多少条？证明你的结论.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1分析分析 可以先从有限个点的情况中，可以先从有限个点的情况中，归纳出一个猜想；然后再用数学归归纳出一个猜想；然后再用数学归纳法证明猜想成立纳法证明猜想成立.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1
11、解：解：猜想过猜想过n个点个点(任意三点不共线任意三点不共线)中任意中任意两点作直线，共有两点作直线，共有 .112n n 证证 明明(1)当当n=3时，命题成立时，命题成立.(2)(2)假设当假设当n=kn=k时命题成立时命题成立,即过即过k k个个点点(任意三点不共线任意三点不共线)中任意两点作中任意两点作直线，这样的直线共有直线，这样的直线共有 11.2k k 数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1当当n=k+1n=k+1时，共有时，共有k+1k+1个点个点(任意三点不共线任意三点不共线)，过过k k个
12、点中的任一两点作直线，这样的直线个点中的任一两点作直线，这样的直线共有共有 条，过这条，过这k k个点中的任意一点个点中的任意一点与第与第k+1k+1个点作直线，这样的直线共有个点作直线，这样的直线共有k k条条.因此，过这因此，过这k+1k+1个点中任意两点作直线，这个点中任意两点作直线，这样的直线共有样的直线共有 所以当所以当n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立.112k k 111111.22k kkkk由由(1)(2)(1)(2)可知，猜想正确可知，猜想正确.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1
13、思考思考 结合上述证明过程，你认结合上述证明过程，你认为数学归纳法有什么特殊作用为数学归纳法有什么特殊作用吗？吗？数学归纳法实现数学归纳法实现了由有限到无限了由有限到无限的飞跃的飞跃数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 11.1.数学归纳法的步骤：数学归纳法的步骤：(1)证明当证明当n=n0时命题成立；时命题成立；(2)假设当假设当n=k时命题成立，证明时命题成立，证明n=k+1时命题也成立时命题也成立.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人
14、教版人教版1 12.数学归纳法的应用数学归纳法的应用.当证明一个命题对于不小于某正整当证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数数的所有正整数n n都成立，可以用数学归都成立，可以用数学归纳法纳法.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 11.由数学归纳证明：由数学归纳证明：1+3+5+(2n-1)=n2数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1证证 明明(1)当当n=1时，命题成立时，命题成立.(2)假设当假设当n=k(k1)时，
15、命题成立时，命题成立.即即1+3+(2k-1)=k2.当当n=k+1时时,1+3+5+（2k-1)+(2k+1)-1=(k+1)2.所以，当所以，当n=k+1时，命题成立时，命题成立.由由(1)(2)知，命题对一切正整数成立知，命题对一切正整数成立.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 12.凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对角线？证明你的结论证明你的结论.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1解：凸解：凸n n边形有边
16、形有 条对角线条对角线.下面证明这个命题下面证明这个命题.132n n(1)(1)当当n=3n=3时，三角形没有对角线，命题成立时，三角形没有对角线，命题成立.(2)(2)假设当假设当n=kn=k时，命题成立，即凸时，命题成立，即凸k k边形有边形有 条对角线条对角线.当当n=k+1n=k+1时，凸时，凸(k+1)(k+1)边形的对角线条数为边形的对角线条数为所以，当所以，当n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立.132k k 11132kk由由(1)(2)(1)(2)可知，对任意正整数可知，对任意正整数n n，命题成立，命题成立.数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1再见再见数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1数学归纳法数学归纳法公开课公开课pptppt人教版人教版1 1
