1、圆的圆的 参参 数数 方方 程程高中数学选修高中数学选修4-44-41.1.什么是参数方程？什么是参数方程？复习复习2.2.求参数方程的步骤求参数方程的步骤（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标标(x,y)都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的的每一个允许值，由上述方程组所确定的点点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的做这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系x、y之间关系的变数之间关系的变数叫做叫做参变数参变数，简称，简称参
2、数参数。)()(tgytfx 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。1、参数方程的概念、参数方程的概念关于参数方程的几点说明：关于参数方程的几点说明：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程的参数可以是有物理、几何、参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的
3、变数。意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。求参数方程的步骤求参数方程的步骤:(1)(1)建立直角坐标系建立直角坐标系,设曲线上任一设曲线上任一点点P P坐标为坐标为(x,yx,y)(2)(2)选取适当的参数选取适当的参数(3)(3)建立点建立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式上海摩天轮上海摩天轮 2002 2002年年5 5月月1 1日，中国第一座身高日，中国第一座身高108108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。居亚洲第一。已知该摩天轮半径为已知该摩天轮
4、半径为51.551.5米，逆时针米，逆时针匀速旋转一周需时匀速旋转一周需时2020分钟。如图所示，某分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过面平行）。问：经过t t秒，该游客的位置秒，该游客的位置在何处在何处?yxorM(x,y)0M引例引例:如图，设圆如图，设圆O的半径是的半径是r，点，点M从初始位置从初始位置M0（t=0t=0时的位置）出发，按逆时针方向在圆时的位置）出发，按逆时针方向在圆O O上上作匀速圆周运动作匀速圆周运动.点点M M绕点绕点O O转动的角速度为转动的角速度为w.w.经经过过t t秒，秒，M M的位置在
5、何处的位置在何处?以圆心以圆心O为原点，为原点，OM0所在的直线为所在的直线为x轴，轴，建立直角坐标系建立直角坐标系.显然，点显然，点M的位置由的位置由时刻时刻 t 惟一确定，因惟一确定，因此可以取此可以取 t 为参数。为参数。如果在时刻如果在时刻t，点，点M转过的角度是转过的角度是，坐标是，坐标是M(x,y)，那么，那么=t，设设 ，那么由三，那么由三角函数定义，有角函数定义，有rOM rytrxtsin,cos即即)(.sin,cos为参数ttrytrx这就是圆心在原点这就是圆心在原点O，半径为，半径为 r 的圆的参数方程。的圆的参数方程。其中参数其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速
6、圆周有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）运动的时刻）考虑到考虑到 ，也可以取，也可以取为参数，于是有为参数，于是有 t)(sincos为参数ryrx 这也是圆心在原点这也是圆心在原点O，半径为，半径为r 的圆的参数的圆的参数方程。方程。(其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是OM0绕点绕点O逆时针旋逆时针旋转到转到OM的位置时，的位置时，OM0转过的角度。转过的角度。)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式
7、不同的此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。围。2,0222ryx变形为变形为:1)()(22ryrx问题问题让我们联想到什么让我们联想到什么?1)(cos)(sin221)()(22ryrx1)()(22ryrx将圆的方程将圆的方程:令令:sincosryrx有有:sincosryrx(三角代换三角代换)的参数方程的参数方程222ryx为为2,0圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式么样的呢？
8、的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxOryx),(,00222)(sincos00为参数ryyrxx其对应的普通方程为其对应的普通方程为22020)()(ryyxx例例1.1.已知圆方程已知圆方程，将它化为参数方程。，将它化为参数方程。096222yxyx096222yxyx096222yxyx096222yxyx解：把解：把 化为标准化为标准方程，即方程，即 1)3()1(22yx参数方程为参数方程为)(sin3cos1为参数yx径，并化为普通方程。径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半表示圆的圆心坐标、半所所为参数为参数、指出参
9、数方程、指出参数方程)(sin235cos21 yx4)3()5(22yx练习：练习：_4)0(sin2cos2，则圆心坐标是，则圆心坐标是是是的直径的直径为参数，为参数，、圆、圆 rrryrrx （2，1）例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cossin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：
10、的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxMyoxPMQ例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-4x-4y-1=0上动点，上动点，求（求（1）x2+y2 的最值，的最值，（2）x+y的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。解：圆解：圆x2+y2-4x-4y-1=0即（即（x-2）2+（y-2）2=9，用参数方程表示为，用参数方程表示为sin32cos32yx2,0由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P(2+3cos，2+3sin)4sin(212172)sin32(2)cos32(221yx）（所以所以:21217min21217max)4sin(234cos3sin342 yx）（所以所以:234min234max所以所以:0min2236max2)4sin(23321sin32cos323d）（1、圆的参数方程、圆的参数方程2、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化3、圆的参数方程的运用：求动点的参、圆的参数方程的运用：求动点的参数方程、求最值数方程、求最值课课 堂堂 小小 结结:
