1、一.函数单调性的定义：的定义域为一般地，设函数Ixf)(数。说在这个区间上是增函那么就时，都有当个自变量的值内某个区间上的任意两定义域增函数：如果对于属于),()(,1212121xfxfxxxxI 函数。就说在这个区间上是减那么时，都有当个自变量的值内某个区间的任意两定义域减函数：如果对于属于),()(,2212121xfxfxxxxIxyO:(0)，0,，0,。ykxb kkk 图象的函数解析式是此函数是一次函数，当时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为当时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为)0(kbkxy)0(kbkxy二二.常用函数的单调性常用函数的单调性xyO0kxky)0(k
2、xky上也是增函数。上是增函数，在时，函数在当上也是减函数；上是减函数，在时，函数在当。此函数是反比例函数图象的函数解析式是：,00,0,00,00kkkxkyxyO)0(2acbxaxyabx2)0(2acbxaxy2(0)。0,220,22yaxbxc abbaaabbaaa 图象的函数解析式是：此函数是二次函数。当时，函数在上是减函数，在上是增函数；当时，函数在上是增函数，在上是减函数。xyO)1(aayx)10(aayx上是减函数。时，函数在当上是增函数；时，函数在当。此函数是指数函数。且图象的解析式是：,10,1)00(aaaaayxxyO)1(logaxya)10(logaxya上
3、是减函数。，时，函数在当上是增函数；，时，函数在当。此函数是对数函数。且图象的解析式是：01001)10(logaaaaxyaxyOyxyx在定义域 上是增函数。0,三、复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量小结：小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。的单调性。的单调性，从
4、而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu)(xfy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数四.函数单调区间的求解243,2,2,yxx故函数的单调递增区间为单调递减区间为的单调区间。求函数例34.12xxy。解：函数的定义域为R上是减函数。在上是增函数，在,22,122xy2212,3ux 又在上是减函数。2432,3yxx 在上是减函数。2432,3。yxx故函数的单调递减区间为小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。？）的单调递增区间是什么问：函数34(2xxy的单调递减
5、区间。求函数例34.22xxy，即解：03403422xxxx。，即函数的定义域为 3,131x，故令uyxxu342增函数。是定义域内是的单调递uy 2430,xx解：2430,xx即13x 1,3即函数的定义域为2143,2uuxxy令则小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。24313.2xxy例 求函数的单调递减区间。在定义域内是减函数。uy212243211,22uxxx又在上是增函数，在，3 上是减函数。24311,22xxy的单调递减区间为。2：430 xx解13,1,3x 即定义域为224321,uxxx 令1,2，2,3故单调递增区间为单
6、调递减区间为14.00是减区间。ty4.0log20.4()log432,3,1,2f xxx的单调递增区间为单调递减区间为。221()log43f xxx拓展：判断函数的单调性。22()log43af xxx拓展：判断函数的单调性。20.44.()log43f xxx例 求的单调区间。五.练习：函数的单调区间。：求练习5412xxy的单调递减区间。求函数练习623.2xxy的单调递增区间。：求函数练习226log3xxy0542 xx解：。函数的定义域为,51,542uyxxu则令在定义域内是增函数。uy 上是减函数，在又,2122xu上是增函数。在2,上是增函数。上是减函数，在在1,554
7、2xxy函数的单调区间。：求练习5412xxy。的定义域是解：函数Rxf)(uyxxxu3,21321622则令在定义域内是增函数。uy3上是增函数。上是减函数，在在又,2121,213212xu上是增函数。上是减函数，在在,2121,362xxy的单调递减区间。求函数练习623.2xxy。，的单调递减区间为21362xxy的单调递增区间。：求函数练习226log3xxy062xx解：062 xx即2,323，即函数的定义域为xtyxxt22log,6则令在定义域内是增函数，ty2log上是增函数。在又21,3213212xt。，的单调递增区间为函数2136log22xxy八.小结：（1）求复合函数的单调区间；注意：求函数的单调性首先要求函数的定义域。（2）掌握复合函数单调性的判断方法。2125.log,13yxaxaa例 已知函数在上是增函数，求 实数的取值范围。uyaaxxu212log,则解：令122212101,log2logyuyxaxauxaxa 在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性可知：是增函数时，应是其定义域内某区间上的减函数，则3121031312aaa。解之得：2322a。的取值范围为2322|aaa
