1、核心素养核心素养导向导向的的数学教学变革数学教学变革 一一、如何理解数学学科核心素养、如何理解数学学科核心素养“教育的根本任务在于立德树人教育的根本任务在于立德树人”，这，这就是整个教育改革的核心任务。就是整个教育改革的核心任务。如何如何落实落实“立德树人立德树人”的根本任务？抓的根本任务？抓手在哪里？手在哪里？教育部的顶层设计是教育部的顶层设计是“以学生发展核心以学生发展核心素养为统领素养为统领”，各学科教学都要为学生，各学科教学都要为学生核心素养的发展作出独特的贡献，从而核心素养的发展作出独特的贡献，从而实现实现“立德树人立德树人”根本任务。根本任务。数学数学教育中教育中的的“立德树人立德
2、树人”，以数学学科核心素养为，以数学学科核心素养为统领。统领。数学学科核心素养数学学科核心素养是通过是通过数学数学学习学习而逐步形成而逐步形成的的具有具有数学特征的数学特征的关键关键能力、必备品格与价值观念。能力、必备品格与价值观念。表现：表现：会会用数学眼光观察用数学眼光观察世界；会世界；会用数学思维思考用数学思维思考世界世界；会；会用数学语言表达用数学语言表达世界。世界。高中高中课课标提炼标提炼了六个数学学科核心了六个数学学科核心素养素养要素要素：数学抽数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析据分析。理解数学学科核心素养的几个
3、角理解数学学科核心素养的几个角度度 数学教育中数学教育中“立德树人立德树人”的内涵；的内涵；从与学生发展核心素养关系的角度；从与学生发展核心素养关系的角度；从从数学学科特点出发；数学学科特点出发；数学课程目标的发展角度。数学课程目标的发展角度。数学学科核心素养数学学科核心素养“是什么是什么”？深化？深化数学教育改革中提出核心素养导向有什么数学教育改革中提出核心素养导向有什么历史的必然性？能否历史的必然性？能否“举例子举例子”？数学教育数学教育“立德树人立德树人”的基本内的基本内涵涵 帮助帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法需的数学知
4、识、技能、思想和方法；提升提升学生的数学素养，引导学生会用数学学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界会用数学语言表达世界；促进促进学生思维能力、实践能力和创新意识学生思维能力、实践能力和创新意识的发展的发展；在在学生形成正确人生观、价值观、世界观学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。等方面发挥独特作用。数学学科核心素养与学生发展核心素养数学学科核心素养与学生发展核心素养 中国学生发展核心素养：中国学生发展核心素养：文化基础（人文文化基础（人文底蕴、科学精神）、自主发展（学会学习底蕴、科学精神）
5、、自主发展（学会学习、健康生活）、社会参与（责任担当、实、健康生活）、社会参与（责任担当、实践创新）践创新）数学教育对发展学生核心素养的独特贡献数学教育对发展学生核心素养的独特贡献，主要体现在科学，主要体现在科学精神精神（理性思维、批判理性思维、批判质疑、勇于探究质疑、勇于探究）、学会学会学习学习（乐学善学乐学善学、勤于、勤于反思反思、信息意识、信息意识）和和实践实践创新创新（劳劳动意识、问题解决、技术应用动意识、问题解决、技术应用）上。上。数学学科核心素养与数学的特数学学科核心素养与数学的特点点数学特点数学特点抽象性抽象性严谨性严谨性应用性应用性核心素养核心素养数学抽象数学抽象逻辑推理逻辑推
6、理数学建模数学建模核心素养核心素养数学运算数学运算直观想象直观想象数据分析数据分析具体内容具体内容代数代数几何几何统计概率统计概率数学课程目标的发展数学课程目标的发展 是是“三维目标三维目标”的进一步融合；的进一步融合；是是义教义教的八的八个个“核心概念核心概念”（数数感、符号感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型念、运算能力、推理能力、模型思想思想）的的进一步整合进一步整合；以以“四基四基”“”“四能四能”为载体；为载体；双基、三大能力是数学育人目标的内核双基、三大能力是数学育人目标的内核与时俱进丰富内涵，万变不离其宗！与
7、时俱进丰富内涵，万变不离其宗！新一轮数学课改的新一轮数学课改的核心核心任务任务是提升学生是提升学生的数学学科核心素养，的数学学科核心素养，为学生发展核心为学生发展核心素养作出独特贡献。素养作出独特贡献。要有具体措施要有具体措施，要要把数学学科核心素养把数学学科核心素养落实在落实在数学教育的数学教育的各个环节各个环节。二、新教材的体系二、新教材的体系 普通高中教科书普通高中教科书数学（数学（A A版）版）结构体系结构体系三三、关于落实关于落实核心素养的思考核心素养的思考1理性思维是理性思维是数学素养数学素养的的灵魂灵魂 发展发展学生的理性思维（特别是逻辑思维）学生的理性思维（特别是逻辑思维），使
8、学生学会有逻辑，使学生学会有逻辑地地、创造性地、创造性地思考思考，学会使用数学学会使用数学语言语言表达与交流表达与交流，成为善于成为善于认识和解决问题的人才，是数学课程的主认识和解决问题的人才，是数学课程的主要任务要任务。例例1 1 如何研究如何研究“相交线相交线”研究对象是什么？研究对象是什么？两条直线相交所形成的几何图形两条直线相交所形成的几何图形 研究内容是什么？研究内容是什么？两两条直线相交形成四个角，这些角之间条直线相交形成四个角，这些角之间的相互关系的相互关系 如何发现这些角的相互关系？如何发现这些角的相互关系？探究过程探究过程 四个角的关系四个角的关系 1+2+3+4=360 三
9、个角的关系三个角的关系 变化中不存在不变性变化中不存在不变性没有固定的关系没有固定的关系 两个角的关系两个角的关系（1）两两两两配对配对有有6对角，即对角，即1和和2，1和和3，1和和4，2和和3，2和和4，3和和4。（2）1和和2的关系如何研究？的关系如何研究？从角的定义出发：两个角的顶点的关系、从角的定义出发：两个角的顶点的关系、边的关系，得到边的关系，得到1与与2的位置的位置特点特点。顶点重合；一边重合，称这两个角顶点重合；一边重合，称这两个角“相邻相邻”；另一边互为反向延长线，所以两个角；另一边互为反向延长线，所以两个角“互补互补”。用用几何语言准确几何语言准确表达表达即为即为邻邻补角
10、的定义：补角的定义：1与与2有一条公共边有一条公共边OA，它们的另一边，它们的另一边互为反向延长线，即互为反向延长线，即1与与2互补，具有互补，具有这种关系的两个角，互为邻补角这种关系的两个角，互为邻补角（3）其余）其余5对角的关系的研究对角的关系的研究 让让学生类比学生类比1与与2的位置关系的研究的位置关系的研究过程，过程，对对其余其余5对角的边的位置关系对角的边的位置关系进行进行自主探究自主探究，并作出分类并作出分类，得出，得出对顶角的对顶角的定义，再得出：两条直线相交所形成的定义，再得出：两条直线相交所形成的4个角中，两两之间的位置关系，根据两个角中，两两之间的位置关系，根据两个角的边之
11、间特殊的位置关系，分成两个角的边之间特殊的位置关系，分成两类，一类是邻补角，一类是对顶角。类，一类是邻补角，一类是对顶角。接下去研究什么？接下去研究什么？已经已经研究研究了两条直线相交形成的了两条直线相交形成的6 6对角的对角的位置关系，发现可以分为两类。那么，位置关系，发现可以分为两类。那么，邻补角、对顶角分别有怎样的数量关系邻补角、对顶角分别有怎样的数量关系呢？这呢？这就是接下来就是接下来要研究的问题要研究的问题。定性到定量定性到定量研究几何问题的基本之研究几何问题的基本之道。道。如何让学生感受证明如何让学生感受证明“对顶角相对顶角相等等”的必要性的必要性 从一个给定的图形中得到从一个给定
12、的图形中得到“对顶角相等对顶角相等”，但任，但任意两个对顶角都相等吗意两个对顶角都相等吗？观察剪刀观察剪刀剪纸的过程，这个过程中什么在变化？剪纸的过程，这个过程中什么在变化？对顶角的相等关系总能保持吗？为什么？对顶角的相等关系总能保持吗？为什么？在在一个平面内的两条相交线，不仅一个平面内的两条相交线，不仅AB，CD的位的位置关系可以改变，交点置关系可以改变，交点O的位置也可以改变。在的位置也可以改变。在这些变化过程中，对顶角仍然相等吗？你如何使这些变化过程中，对顶角仍然相等吗？你如何使人相信：如果两个角具有对顶角的位置关系，那人相信：如果两个角具有对顶角的位置关系，那么它们就一定相等？你能把道
13、理完整地写出来吗么它们就一定相等？你能把道理完整地写出来吗？思考题思考题 你认为教材为什么把平行线的研究内容你认为教材为什么把平行线的研究内容安排在安排在“三线八角三线八角”之后？之后？在在“三线八角三线八角”的基础上，如何引导学的基础上，如何引导学生发现平行线的判断与性质？生发现平行线的判断与性质？进一步地：如何研究位置进一步地：如何研究位置关系的关系的性质？性质？两两条直线平行，从条直线平行，从“同位角相等同位角相等”、“内错角相等内错角相等”以及以及“同旁内角互补同旁内角互补”可可以想到，这时的以想到，这时的“性质性质”是与是与“第三条第三条直线直线”构成某种关系构成某种关系平行、相交，
14、平行、相交，相交时又形成一些相交时又形成一些角，然后看由两条直角，然后看由两条直线平行这一位置线平行这一位置关系（条件）所关系（条件）所决定的决定的这些角之间有什么确定的关系这些角之间有什么确定的关系。从方法论的高度看从方法论的高度看，研究两个几何，研究两个几何元素的元素的某种位置某种位置关系的关系的性质，就是探索在这种位性质，就是探索在这种位置关系下的两个几何元素置关系下的两个几何元素与与其其他（同类）他（同类）几何元素所形成的图形中出现的确定关系几何元素所形成的图形中出现的确定关系（不变性和不变量）。（不变性和不变量）。具体方法是让具体方法是让“其他几何元素其他几何元素”动起来，动起来，看
15、看“变化中的变化中的不变性、不变量不变性、不变量”这是这是教学设计的源头。教学设计的源头。例例2 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质 位置关系（大前提）位置关系（大前提）：直线：直线l 平面平面；探究性质的思路：直线探究性质的思路：直线l、平面、平面与其他直线、平与其他直线、平面所形成的确定关系，可以得到命题：面所形成的确定关系，可以得到命题：（1）如果）如果 al（小前提（小前提），那么，那么a ；（2）如果）如果 a，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果
16、）如果l，那么，那么；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）与）与“公理公理”相联系，直线相联系，直线l与平面与平面 内任内任意一点意一点A确定一个平面确定一个平面，=m，那么，那么 ml；（10）l，所以，所以l=。如果。如果m在在 内，则内，则或者或者ml，或者，或者m与与l是异面直线。是异面直线。（11）直线）直线m与直线与直线l异面，则过直线异面，则过直线m有且只有且只有一个平面与直线有一个平面与直线l平行。平行。（12）l，=l，=l1，=l2，那么那么l1l2。例例3 两两个平面个平面垂直的性质与判定垂直的性质与判定 研究对象是什么？研究对象是什么？研究内容是什么？研究内容是什
17、么？如何引导学生发现性质？如何引导学生发现性质？一般一般地，什么叫地，什么叫“几何图形的性质几何图形的性质”？几何性质分为哪些类型？几何性质分为哪些类型？教材的教材的变化变化2数学育人要数学育人要发挥数学的内在力发挥数学的内在力量量，数学育人要，数学育人要用数学的用数学的方式方式 数学是思维的科学，数学是思维的科学，具有具有“追求最大限度追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向的一般性模式特别是一般性算法的倾向”；有一种研究的有一种研究的“基本套路基本套路”；有有一套具有普适性的思考结构和交流的符一套具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，号形式，这种结构和符号
18、形式是强大的，富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一种思维方式助于理解和处理周围环境的一种思维方式。教材如何体现教材如何体现“数学的方式数学的方式”以以发展学生发展学生数学素养为数学素养为追求，根据学生的追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排认知规律，螺旋上升地安排教教学学内容内容，特，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会机会。心理性心理性 以以“事实事实概念概念性质（关系）性质（关系）结构（联系）结构（联系）应用应用”
19、为明线为明线；以以“事实事实方法方法方法论方法论数学学数学学科本质观科本质观”为为暗线。暗线。从数学思维从数学思维、思想、思想或核心或核心素养角度素养角度看看“事实事实概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（在周而复始的运动过（在周而复始的运动过程中，涉及哪些量，它们之间的关系如何，可以用怎样的程中，涉及哪些量，它们之间的关系如何，可以用怎样的数学方式表示）数学方式表示）；“概念概念性质性质”主要是主要是“推理推理”，包括通过归纳推理发，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；“性质性质结构结构”主要也是主要也是“推理推理”，是建立相关知识之，是
20、建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程结构的过程；“概念、性质、结构概念、性质、结构应用应用”主要是主要是“建模建模”，是，是用用数数学学知识知识解决数学内外的问题。解决数学内外的问题。在在整个整个教学内容教学内容的的展开过程中，都要发挥展开过程中，都要发挥“一一般观念般观念”的作用，加强的作用，加强“如何思考如何思考”、“如何如何发现发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要的启发和引导，特别是在概念的抽象要做做什么什么、“几何性质几何性质”“”“代数性质代数性质”“”“函数性函数性质质”指什么等问题指什么等
21、问题上要及时引导，以使学生明上要及时引导，以使学生明确思考方向确思考方向。“不在不在知知其其然然，而在，而在知其所以然知其所以然；不在；不在知其所知其所以然，以然，而在何而在何由由以知其所以然以知其所以然”；“启发学启发学者者，示以思维之示以思维之道道耳耳”。当前的教学，主要问题是数学没有讲好，老师当前的教学，主要问题是数学没有讲好，老师不知道如何不知道如何“示以思维之道示以思维之道”。我们应当加强。我们应当加强这方面的研究。这方面的研究。例例4 4 三角函数的知识结构图三角函数的知识结构图三角函数概念与基本性质三角函数概念与基本性质单位单位圆上点圆上点的运动的运动规律规律三角三角函 数函 数
22、的 概的 概念念三角三角函数的函数的基本性基本性质质三 角 函三 角 函数 值 的数 值 的符号符号诱 导 公诱 导 公式一式一同 角 三同 角 三角 函 数角 函 数的 基 本的 基 本关系关系三角函数三角函数概 念 和 性概 念 和 性质 的 简 单质 的 简 单应用应用诱导公式诱导公式关于原点的对称性关于原点的对称性旋转旋转/2的对称性的对称性关于关于x轴的对称性轴的对称性圆圆的的对对称称性性关于关于y轴的对称性轴的对称性关于直线关于直线y=x的对称性的对称性公式二公式二公式三公式三公式四公式四公式五公式五公式六公式六3加强推理和运算加强推理和运算 推理推理是数学的是数学的“命根子命根子
23、”（伍鸿熙）（伍鸿熙），运算是数学运算是数学的的“童子功童子功”。陈建功：片段的推理，不但见诸任何学科，也可以陈建功：片段的推理，不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈话得之。但是，推理之成为说理从日常有条理的谈话得之。但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科的体系者，限于数学一科忽视数学教育论理性忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀。的原则，无异于数学教育的自杀。数学数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，训练的基本载体是逻辑推理和数学运算思维训练，训练的基本载体是逻辑推理和数学运算。代数运算代数运算“代数学的根源在于代数运
24、算代数学的根源在于代数运算”，有效，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。成高层次函数观点。例例5 5 等差数列的研究等差数列的研究 数列的一般概念数列的一般概念等差数列，等比数列；等差数列，等比数列；研究的对象：一般研究的对象：一般有序、有规律（函数有序、有规律
25、（函数）；）；研究的过程：事实研究的过程：事实概念概念表示表示性性质质联系联系应用；应用；研究的内容与方法：研究的内容与方法：（1 1）事实）事实概念，这类数列的规律（通过概念，这类数列的规律（通过运算发现规律）；运算发现规律）；（2 2）表示，决定规律的要素及其关系（运算）表示，决定规律的要素及其关系（运算，代数式表示是核心）；，代数式表示是核心）；思路二：直接针对一般等差数列，利用通思路二：直接针对一般等差数列，利用通项公式，从特殊到一般进行归纳；项公式，从特殊到一般进行归纳；总结：总结：无论采取哪种方法，运算、性质、无论采取哪种方法，运算、性质、归纳都是关键词。归纳都是关键词。4教好数学
26、就是教好数学就是落实落实数学学科核心素养数学学科核心素养 构建系列的数学活动构建系列的数学活动，引导引导学生通过对现实问题的数学抽学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题值的数学结论，建立数学模型解决现实问题。要要把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教学的关键任务学的关键任务，以实现从，以实现从“知其然知其然”到到“
27、知其所以然知其所以然”再再到到“何由以知其所以然何由以知其所以然”的跨越的跨越。做到做到“两个过程两个过程”的合理性的合理性 从数学知识发生发展过程的合理性、学从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。落实数学学科核心素养的关键点。前一个的核心是数学的学科思想问题，前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问后一个是学生的思维规律、认知特点问题。题。系列系列数学数学活动活动的育人价值的育人价值数学数学知识、数学活动与核心素养的知识、数学活动与核心素养的关系关系：核心素养就是在复杂情
28、境中解决问题的能核心素养就是在复杂情境中解决问题的能力和品质力和品质。核心核心素养所蕴含的学习观认为，核心素养素养所蕴含的学习观认为，核心素养是个体在与情境的持续互动中，不断解决是个体在与情境的持续互动中，不断解决问题、创生意义的过程中形成的问题、创生意义的过程中形成的。数学数学核心素养的形成是以数学知识为载体核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的。情境，以数学活动为路径而逐步实现的。情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径化是数学知识转化为数学素养的重要途径。构建构建系列数学系列数学活动活动，要要注重创设与现实生活紧密注重创设与现实生活紧密关联的、真实性的问题情境（这
29、样的情境必然具关联的、真实性的问题情境（这样的情境必然具有一定的复杂性），设计基于问题的、基于项目有一定的复杂性），设计基于问题的、基于项目的活动方式（如典型实例的共同特征的抽象与概的活动方式（如典型实例的共同特征的抽象与概括，数学对象的要素之间关系的探索，相关概念括，数学对象的要素之间关系的探索，相关概念之间联系性的研究等），引导学生开展体验学习之间联系性的研究等），引导学生开展体验学习、合作学习、建构学习，通过有结构、有逻辑的、合作学习、建构学习，通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结
30、构式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟化，使学生的理性思维不断走向成熟。例例6 三角函数中的系列三角函数中的系列数学数学活动活动设设计计 背景引入背景引入，通过通过典型而丰富的周而复始典型而丰富的周而复始的变化现象，着重解决研究三角函数的的变化现象，着重解决研究三角函数的必要性，要发挥信息技术的力量。必要性，要发挥信息技术的力量。预备预备概念，任意角与弧度制，通过生产概念，任意角与弧度制，通过生产、生活中的实际问题，使学生体会引入、生活中的实际问题，使学生体会引入任意角概念的必要性；通过类比长度的任意角概念的必要性；通过类比长度的度量单位的多样性，提出用长
31、度度量角度量单位的多样性，提出用长度度量角的方法的方法。三角函数的定义三角函数的定义 研究研究对象的获得，从事实到概念。注重数学化的对象的获得，从事实到概念。注重数学化的过程，通过数学抽象，从匀速圆周运动到单位圆过程，通过数学抽象，从匀速圆周运动到单位圆上点以单位速率运动时运动规律的刻画。上点以单位速率运动时运动规律的刻画。概念及其表示，注重认知过程的完整性概念及其表示，注重认知过程的完整性，认真解认真解决四个问题：决四个问题：（1 1）函数的现实背景是什么？刻画了哪类运动变化）函数的现实背景是什么？刻画了哪类运动变化现象？现象？（2 2）决定这类运动变化现象的要素是什么？）决定这类运动变化现
32、象的要素是什么？（3 3）要素之间的依赖关系是什么？）要素之间的依赖关系是什么？（4 4）可以用什么数学模型来刻画）可以用什么数学模型来刻画？通过对运动过程涉及的量及其关系的分通过对运动过程涉及的量及其关系的分析，析出点的坐标随任意角的变化而变析，析出点的坐标随任意角的变化而变化的规律；数与形的表示；与锐角三角化的规律；数与形的表示；与锐角三角函数的联系（在锐角范围内的一致性）函数的联系（在锐角范围内的一致性）。三角函数的性质三角函数的性质 要素要素间的关系，概念间的联系，间的关系，概念间的联系，结构结构有层次地研究有层次地研究（1）同角三角函数的关系，直接从定义出）同角三角函数的关系，直接从
33、定义出发，考察函数之间的关系，注意数形结合，发，考察函数之间的关系，注意数形结合，代数关系的转化。代数关系的转化。（2）图像与周期性、奇偶性、单调性。借）图像与周期性、奇偶性、单调性。借助直观想象就可得出周期性（助直观想象就可得出周期性（“旋转整数周旋转整数周”的代数表示），从定义就可以直接得出奇的代数表示），从定义就可以直接得出奇偶性，要发挥信息技术的力量；三角函数在偶性，要发挥信息技术的力量；三角函数在一个单调区间的单调性一个单调区间的单调性。三角函数的三角函数的应用应用（1）函数）函数y=A sin(x+)，从实际问题出，从实际问题出发，利用正弦函数，建立函数模型，再研发，利用正弦函数，
34、建立函数模型，再研究它的性质（从函数变换的角度，注意参究它的性质（从函数变换的角度，注意参数的实际意义的解释）。这里要体现一个数的实际意义的解释）。这里要体现一个完整的应用过程。完整的应用过程。（2）用三角函数解决简单的实际问题，体）用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。化的数学模型。5.教师的专业水平和育人能力教师的专业水平和育人能力是落实核心素养的关键是落实核心素养的关键理解数学理解数学理解学生理解学生理解技术理解技术理解教学理解教学 当前的主要问题是教师在当前的主要问题是教师在“理解数学理解数学”上不用功，数
35、学水平不高导致数学课教上不用功，数学水平不高导致数学课教不好数学，甚至数学课不教数学，机械不好数学，甚至数学课不教数学，机械解题训练成为课堂主旋律，而大量题目解题训练成为课堂主旋律，而大量题目又不能反映数学内容和思维的本质，使又不能反映数学内容和思维的本质，使数学学习越来越枯燥无趣、艰涩难学，数学学习越来越枯燥无趣、艰涩难学，大量学生的感受是大量学生的感受是“数学不好玩数学不好玩”，越，越学越学越糊涂。糊涂。四四、关于函数概念的教学关于函数概念的教学1.需要思考的一些问题需要思考的一些问题（1）以怎样的学习理论为指导？）以怎样的学习理论为指导？以概念形成方式安排学习过程，完成以概念形成方式安排
36、学习过程，完成“情境情境共性归共性归纳纳定义定义辨析辨析简单简单应用应用综合应用综合应用”的过程。的过程。（2）怎样的情境才有利于抽象函数概念）怎样的情境才有利于抽象函数概念？具体具体实例及其类型、数量等，实例的典型性、丰富性实例及其类型、数量等，实例的典型性、丰富性等；等；（3）如何引导学生发现和提出需要研究的问题）如何引导学生发现和提出需要研究的问题？（4）如何引导学生归纳函数概念的内涵）如何引导学生归纳函数概念的内涵？处理处理好讲解和自主探究的关系，加强好讲解和自主探究的关系，加强“如何如何观察、归纳观察、归纳”的引导，给出严谨规范的数学的引导，给出严谨规范的数学语言表述，适当使用模仿性
37、学习；语言表述，适当使用模仿性学习；（5）如何设计从）如何设计从“变量说变量说”到到“集合集合-对应说对应说”的的过程过程？这这是一个数学语言的学习过程，要让学生体是一个数学语言的学习过程，要让学生体验数学的表达方式；验数学的表达方式；（6）如何使学生体会强调定义域和对应关系）如何使学生体会强调定义域和对应关系的必要性，理解的必要性，理解“y=f(x)，xA”是一个整体？是一个整体？（7）如何使学生理解对应关系）如何使学生理解对应关系f的本质的本质？f把对象把对象x变成了对象变成了对象y，通过，通过f把把x对应到对应到y，等等；，等等；（8）为了）为了加强加强对对函数概念中函数概念中关键词关键
38、词的辨析的辨析从而推进对函数概念的理解，应该使用哪从而推进对函数概念的理解，应该使用哪些类型的具体例子？些类型的具体例子？2.精心设计抽象过程精心设计抽象过程数学核心数学核心素养的落实素养的落实 从从“事实事实”到到“概念概念”是一个是一个“数学化数学化”的过程：赋予实际问题数学意义的过程：赋予实际问题数学意义借助借助实际意义列对应关系实际意义列对应关系归纳共性（从哪归纳共性（从哪些角度归纳？如何安排归纳过程？）些角度归纳？如何安排归纳过程？）给出定义。给出定义。以概念形成方式，要完成以概念形成方式，要完成“事实事实共性共性归纳归纳定义定义辨析辨析简单应用简单应用”的的过程。过程。其中，对其中
39、，对“事实事实”的分析、共性归纳是关的分析、共性归纳是关键之一，键之一，“辨析辨析”又是一个关键。又是一个关键。新教材所作出的新教材所作出的变化变化3.教学过程教学过程认真讲好实例认真讲好实例 有解析式的，要引导学生关注有解析式的，要引导学生关注x在哪个范围在哪个范围取值，例如取值，例如“高铁加速到高铁加速到300km/h后，运行后，运行半小时，路程半小时，路程S随时间随时间t的变化而变化的规律的变化而变化的规律是是S=300t”，应该问：，应该问：时间时间t的变化范围是什么？的变化范围是什么？你能回答你能回答“1小时后对应的距离是多少小时后对应的距离是多少”吗吗？为什么？为什么？你认为如何描
40、述才能真实反映列车的运动你认为如何描述才能真实反映列车的运动过程？过程？空气质量指数变化图空气质量指数变化图（1）时间的变化范围是什么？）时间的变化范围是什么？AQI的值的值I变化范变化范围是什么？围是什么？（2）I是是t的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？不能仅仅以不能仅仅以“因为任意一个时间因为任意一个时间t都有唯一一个都有唯一一个AQI的值与之对的值与之对应应”了事，应该让学生在图上找出来，再借助信了事，应该让学生在图上找出来，再借助信息技术，把对应过程表达出来！息技术，把对应过程表达出来！（3）从所给的图中能回答）从所给的图中能回答“11月月24日日8时对应的时对应的AQI是多少是多少
41、”吗？吗？（4）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把这个图搬出来吗？出这个函数，你会怎么做？把这个图搬出来吗？符号意识，符号意识，I=f(t)呼之欲出。呼之欲出。恩格尔系数变化表恩格尔系数变化表年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔恩格尔系数系数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（1）这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能）这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能用用2006,2015表示？恩格
42、尔系数的变化范围是什么？表示？恩格尔系数的变化范围是什么？（可以是（可以是0.2857，0.3817，其实是，其实是(0,1）（2）由这个表格，能判断恩格尔系数是不是年份的）由这个表格，能判断恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？（3）由这个表格，能得到）由这个表格，能得到2016年的恩格尔系数吗？年的恩格尔系数吗？（4）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把这个函数，你会怎么做？把这个表搬出这个表搬出来吗？来吗？符符号意识号意识，设恩格尔系数为，设恩格尔系数为r，年份为
43、，年份为y，r=f(y)呼之欲出呼之欲出。归纳共同特征归纳共同特征 它们都是函数，有什么共同特征？它们都是函数，有什么共同特征？数集数集A，B，一，一个对应关系；对应关系的表示形式不同（解析式、图个对应关系；对应关系的表示形式不同（解析式、图、表），但本质一样：对于集合、表），但本质一样：对于集合A中任意一个数，在中任意一个数，在集合集合B中都有唯一一个数与之对应。中都有唯一一个数与之对应。怎样简捷地表示出来？怎样简捷地表示出来？用符号化表达是数学的智用符号化表达是数学的智慧，数学家是这么做的：慧，数学家是这么做的：f：AB x y=f(x)如何辨析概念如何辨析概念 还可以让学生根据解析式构建
44、实际问题或还可以让学生根据解析式构建实际问题或数学问题，如：数学问题，如：（1）y=x2，xR任意一个实数对应于任意一个实数对应于它的平方；它的平方；（2）y=x2，x(0,10正方形的边长正方形的边长x对对应于它的面积；应于它的面积；（3）y=x(10 x)，x(0,10长方形的长方形的边长之和为边长之和为20，一边长，一边长x对应于它的面积；对应于它的面积；4.基本初等函数的归纳过程基本初等函数的归纳过程 四个基本问题四个基本问题（1）函数的函数的现实现实背景各是什么背景各是什么？刻画？刻画了哪了哪类运动变化现象？类运动变化现象？（2）决定这些运动变化现象的要素是什么）决定这些运动变化现象
45、的要素是什么？（3）要素之间的相互关系如何？）要素之间的相互关系如何？（4）可以用什么数学模型来刻画？）可以用什么数学模型来刻画？（1）是搞清楚）是搞清楚这这类变化过程的基本特征，明确类变化过程的基本特征，明确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变化现象，是明确问题的过程；化现象，是明确问题的过程；（2）、（）、（3）是对这类运动变化现象的深入分析）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的“依赖关系依赖关系”常常要借助于运算而建立对应关系；常常要借助于运算而建立对应关系；（4）是
46、以）是以“依赖关系依赖关系”为导向，利用代数、几为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等加以明确等加以明确。指数指数函数函数 现实背景现实背景举例举例：由于旅游人数不断增加由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自两地景区自2001年起采取了不同年起采取了不同的应对措施，的应对措施，A地提高了景区门票价格，地提高了景区门票价格，而而B地则取消了景区门票地则取消了景区门票下下表是表是A，B两地景区两地景区2001年至年至2015年的游客人次的年的游客人次的逐年增加量逐年增加量两地的旅游人数有什么变两地的旅游人数有什么变化规律？化规律？
47、时间时间/年年A地景区地景区B地景区地景区总人次/万次年增加量/万次总人次/万次年增加量/万次20016 00 278 20026 0993093120036 20113443520046 31113833920056 41104274420066 5094754820076 61115285320086 71105886020096 81106556720106 91107297420117 02118118220127 1199039220137 21101 00510220147 32111 11811320157 43111 244126要素之间的相互关系要素之间的相互关系 从从200
48、1年开始，年开始，B地景区游客人次的变化规律可以地景区游客人次的变化规律可以描述为：描述为：1年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.111倍；倍；2年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.112倍；倍；3年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.113倍；倍；x年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.11x倍倍 如果设经过如果设经过x年后的游客人次为年后的游客人次为2001年的年的y倍，那倍，那么么 y1.11x（x0，+）数学模型数学模型：对于不同类型的问题，都有一个：对于不同类型的问题，都有一个从具体事例到一般规律的归纳过程，得到了从具体事例
49、到一般规律的归纳过程，得到了各种各样的各种各样的指数指数函数。在此基础上，再对它函数。在此基础上，再对它们进行共性的归纳，可以得到们进行共性的归纳，可以得到指数指数函数模型函数模型y=a x。这里，特别要注意这里，特别要注意a1或或1a是增长率是增长率 一般地有一般地有指数增长指数增长模型：设原有量模型：设原有量为为k，每每次的增长率为次的增长率为p，经过，经过x次增长，该量增长到次增长，该量增长到y，则则y=k(1+p)x。结束语 数学育人数学育人使学生在数学学习中使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。启迪智慧，净化心灵。谢谢谢谢倾听倾听请提宝贵意见请提宝贵意见
