1、 河北省衡水中学河北省衡水中学 2017 届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 若集合|0Bx x，且ABA，则集合A可能是（ ） A 1,2 B|1x x C1,0,1 DR 2. 复数 1 i z i 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知平面向量, a b满足 5a ab，且2,1ab，则向量a与b夹角的余弦值为（ ） A 3 2 B 3 2
2、C 1 2 D 1 2 4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a值为1，则输出的k值为（ ） A 1 B 2 C3 D4 5. 已知数列 n a中， 11 1,21, nnn aaanNS 为其前n项和， 5 S的值为（ ）来源:ZXXK A57 B61 C62 D63 6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A 2 3 B 3 C 2 9 D16 9 7.为了得到cos2yx，只需将sin 2 3 yx 作如下变换（ ） A 向右平移 3 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 12 个单位 D向右平移 12 个单位 8. 若A为不等式组 0 0 2
3、x y yx ， 表示的平面区域， 则当a从2连续变化到1时， 动直线xya扫过A中 的那部分区域的面积为（ ） A1 B 3 2 C 3 4 D 7 4 9. 焦点在x轴上的椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ， 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形， 该三角形内切圆的半径为 3 b ，则椭圆的离心率为（ ）来源:学#科#网 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 来源:163文库 10. 在四面体SABC中，,2,2ABBC ABBCSASC，二面角SACB的余弦值是 3 3 ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A8 6 B6 C24 D6 11. 已知函数 5
4、2 log 11 221 xx f x xx ，则关于x的方程fxa aR实根个数不可能为 （ ） A 2个 B3个 C 4个 D5 个 12. 函数 sin 2,0 2 f xAxA 部分图象如图所示，且 0f af b，对不同的 12 ,x xa b，若 12 f xf x，有 12 3f xx，则（ ） A f x在 5 , 12 12 上是减函数 B f x在 5 , 12 12 上是增函数 C f x在 5 , 36 上是减函数 D f x在 5 , 36 上增减函数 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 41 11x x 的展
5、开式中 2 x项的系数为 14. 已知抛物线 2 20ypx p上一点1,Mm到其焦点的距离为5， 双曲线 2 2 1 y x a 的左顶点为A， 若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a 15. 如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角 60 ,MANC点的仰角45CAB以及75MAC，从C点测得60MCA，已知山高 100BCm，则山高MN m 16. 设函数 2 1, x xx f xg x xe ， 对任意 12 ,0,x x ， 不等式 12 1 g xf x kk 恒成立， 则正数k 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 7
6、0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口 老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区 2015 年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始 到 2025 年每年人口比上年增加0.5万人，从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 0 0 99. （1）求实施新政策后第n年的人口总数 n a的表达式（注：2016 年为第一年）; （2） 若新政策实施后的 2016 年到
7、 2035 年人口平均值超过49万， 则需调整政策， 否则继续实施, 问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明: 10 10 0.991 0.010.9）. 18. （本小题满分 12 分） 如图, 已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB ,且 2,1,ABBPADAEAEAB ,且 AEBP . （1） 设点M为棱PD中点, 在面ABCD内是否存在点N,使得MN 平面ABCD？若存在, 请证明, 若 不存在, 说明理由; （2）求二面角DPEA的余弦值. 19. （本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次1
8、,2,.8，其中 5X 为 标准A， 3X 为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B生 产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数 1 X的概率分布列如下所示： 1 X 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 1 X的数学期望 1 6E X,求, a b的值; （2） 为分析乙厂产品的等级系数 2 X， 从该厂生产的产品中随机抽取30件， 相应的等级系数组成一个样本， 数据如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2 X的数学期望； （3）在（1） 、 （
9、2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注： 产品的“性价比”； “性价比”大的产品更具可购买性. 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三 角形，直线3460xy与圆 2 22 xyba相切. （1）求椭圆C的方程; （2）已知椭圆C的左顶点A的两条直线 12 ,l l分别交椭圆C于,M N两点, 且 12 ll,求证: 直线MN过定 点, 并求出定点坐标； (3) 在(2) 的条件下求AMN面积的最大值. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 1 x f xa xe
10、a(常数0aRa且). （1）证明: 当0a时, 函数 f x有且只有一个极值点; （2）若函数 f x存在两个极值点 12 ,x x,证明: 12 22 44 00f xf x ee 且. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图, ,A B C D 四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上. （1）若 11 , 32 ECED EBEA ,求 DC AB 的值; （2）若 2 EFFA FB,证明:EFCD.来源:学,科,网 Z,X,X,K 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为: 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数), 曲线C的极坐标方程为:4cos. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; （2）设直线l与曲线C相交于,P Q两点, 求PQ的值. 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 223,12f xxaxg xx . （1）解不等式 5g x ; （2）若对任意 1 xR,都有 2 xR,使得 12 f xg x成立, 求实数a的取值范围.
