1、 . 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.复数 1 3 1 i i ( ) A2i B2 i C1 2i D1 2i 2.已知集合1,3,Am，1, Bm，ABA，则m（ ） A0 或3 B0 或 3 C1 或3 D1 或 3 3.已知函数( )sin()cos()() 66 f xxxxR ，则下列结论错误的是（ ） A函数( )f x的最小正周期为
2、B函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 C函数( )f x的图象关于点(,0) 6 对称 D函数( )f x在区间 5 0, 12 上是增函数 4.若 3* 1 () () n yxnN xy 的展开式中存在常数项，则常数项为（ ） A15 B20 C30 D120 5.已知函数 2 ,0 ( ) 21,0 x xax x f x x ，若不等式( )10f x 在xR上恒成立，则实数a的取值范围为 （ ） A(,0 B 2,2 C(,2 D(0,2 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（ ） A2 B 1 3 C 1 2 D-3 . 7.某种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种
3、了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种 的种子数记为X，则X的数学期望为（ ） A100 B200 C300 D400 8.已知公比为 2 的等比数列 n a的前n项和为 n S，若 456 16aaa，则 9 S （ ） A48 B128 C144 D146 9.点A为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点，过右焦点(1,0)F且倾斜角为 6 的直线与直线 2 xa 交于点P，若APF为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A2 B2 C3 D3 10.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ） A28 B246 2 C202 13
4、D166 22 13 11.设实数, x y满足不等式组 250 270 0,0 xy xy xy ，若, x y为整数，则34xy的最小值是（ ） . A13 B16 C17 D19 12.已知函数( )f x的定义域为R，且 ( ) ( )2 x fxf xxe，若(0)1f，则函数 ( ) ( ) fx f x 的取值范围为 （ ） A(,0 B 2,0 C0,1 D0,2 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填分，将答案填在答题纸上）在答题纸上） 13.已知平面内点(1,2)A，点(12,22)B，把点B绕点A沿
5、顺时针方向旋转 4 后得点P，则点P的 坐标为 . 14.抛物线 2 yx与直线0x、1x 及该抛物线在(01)xtt 处的切线所围成的图形面积的最小值 为 . 15.已知菱形ABCD的边长为3，且60BAD，将ABD沿BD折起，使,A C两点间的距离为3， 则所得三棱锥的外接球的表面积为 . 16.如图，在正方形ABCD中作如下操作，先过点D作直线 1 DE交BC于 1 E，记 11 CDE， 第一步，作 1 ADE的平分线交AB于 2 E，记 22 ADE， 第二步，作 2 CDE的平分线交BC于 3 E，记 33 CDE， 第三步，作 3 ADE的平分线交AB于 4 E，记 44 ADE
6、， 以此类推，得数列 123 , n ，若 1 12 ，那么数列 n 的通项公式为 . 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 2 3 3 b c ，3AC. . （1）求cosC的值； （2）求sinB的值； （3）若3 3b ，求ABC的面积. 18. （本小题满分 12 分） 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行，下表
7、是近五届奥运会中 国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）. （1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代 表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ； （2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获 得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 4 5 ，丙猜中国代表团的概率为 3 5 ，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设 三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及
8、数学期望EX. 19. （本小题满分 12 分） 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，/EFBD， 1 2 EFBD，平面EFBD 平面ABCD. （1）证明：/DE平面ACF； （2）若梯形EFBD的面积为 3，求二面角ABFD的余弦值. . 20. （本小题满分 12 分） 已知点(0,1)F，直线 1: 1ly ，直线 12 ll于P，连接PF，作线段PF的垂直平分线交直线 2 l于点H， 设点H的轨迹为曲线r. （1）求曲线r的方程； （2）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为,C D. （）求证：直线CD过定点； （）若(1,
9、1)P，过点P作动直线L交曲线r于点,A B，直线CD交L于点Q，试探究 | | PQPQ PAPB 是 否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )21 x f xeaxax. （1）当 1 2 a 时，讨论( )f x的单调性； （2）设函数 ( )( )g xfx，讨论( )g x的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在 的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）. 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，
10、则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于,C D两点，交圆O于,E F两点， . 过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点. （1）求证：,B D H F四点共圆； （2）若2,2 2ACAF，求BDF外接圆的半径. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为： 2 4 (cossin )6，若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C的参数方程； （2）在直角坐标系中，点( , )P x y是圆C上动点
11、，试求xy的最大值，并求出此时点P的直角坐标. 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知,m n都是实数，0m，( ) |1|2|f xxx. （1）若( )2f x ，求实数x的取值范围； （2）若| |( )mnmnm f x对满足条件的所有,m n都成立，求实数x的取值范围. 衡水中学 20152016 学年度第二学期五调考试 高三年级数学（理科）试卷答案 . 一、选择题：CBCBC DBDAB BB 12.解：由 x xexfxf 2)()(得xxfxfex2)()(所以xxfex2) )( 设cxxfex 2 )(，由1)0(f得1c，所以 x e x xf 1
12、 )( 2 ，则 x e x xf 2 ) 1( )( 所以 )( )( xf x f 1 2 1 2 x x 0 , 2 二、填空题： 13. (1,0) 14. 12 1 15. 2 9 16. 1 ) 2 1 ( 126 n n 或 n n ) 2 1 (1 6 三、解答题： 17.【解析】 （1）因为AB C，3AC， 所以2BC. 由正弦定理得： sinsin bc BC ， 所以 sin sin bB cC ，即 2 32sincos 3sin CC C . 又sin0C . 故化简得 3 cos 3 C . （2）因为(0, )C， 所以 2 16 sin1 cos1 33 CC
13、， 所以 632 2 sinsin22sincos2 333 BCCC. （3）因为2BC， 所以 2 11 coscos22cos121 33 BCC ， 因为AB C， 所以sinsin()sincoscossinABCBCBC . 2 23166 () 33339 . 因为 2 3 3 b c ，3 3b . 所以 9 2 c . 所以ABC的面积 11969 2 sin3 3 22294 SbcA. 18. 【解析】 （）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 3 分 2 432 (0)( )( )( )(1)(1) 55125 P XP AP BP C (1)()()()P XP ABC
14、P ABCP ABC 12 2 4434319 (1) (1)(1) 55555125 C (2)()()()P XP ABCP ABCP ABC 21 2 4344356 ( )(1)(1) 55555125 C (3)( )( )( )P XP AP BP C 2 4348 ( ) 55125 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2 125 19 125 56 125 48 125 中国 俄罗斯 1 2 3 4 5 6 8 2 8 1 4 3 7 6 2 . 10 分 219564811 0123 1251251251255 EX 12 分 19.【解析】 （）设ACBD、的交点为O，
15、则O为BD的中点，连接OF 由BDEFBDEF 2 1 ,/，得ODEFODEF,/ 所以四边形EFOD为平行四边形，故OFED/ 3 分 又ED平面ACF,OF平面ACF 所以DE/平面ACF 6 分 （）方法一：因为平面EFBD平面ABCD，交线为BD，AOBD 所以AO 平面EFBD，作BFOM 于M，连AM AO平面BDEF，AOBF，又=OMAO O BF平面AOM，AMBF , 故AMO为二面角ABFD的平面角. 8 分 取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OPBD 因为 1 () 2 EFBD SEFBDOP 梯形 1 ( 22 2)3 2 OP 所以2OP.
16、由 12 22 PFOB，得 22 10 2 BFOFOPPF 因为 11 22 FOB SOB OPOM BF 所以 2 10 5 OB OP OM BF ，故 22 3 10 5 AMOAOM 10 分 所以 2 cos 3 OM AMO AM 故二面角ABFD的余弦值为 2 3 12 分 方法二：取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OPBD，又平面EFBD平面 . ABCD，交线为BD，故OP平面ABCD，如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为 1 () 2 EFBD SEFBDOP 梯形 1
17、 ( 22 2)3 2 OP 所以2OP, )2, 2 2 0(),00 ,2(),0 ,20(),00 ,2(，FCBA 因此 2 (2,2 0),(0,2) 2 ABBF ， 设平面ABF的法向量为( , , )nx y z 由 0 0 n AB n BF ，得 220 2 20 2 xy yz ，令1z ，则(2,2,1)n 因为AOBD，所以AO 平面EFBD， 故平面BFD的法向量为( 2,0,0)OA 于是 22 2 22 cos, 3 2212 OA n OA n OA n 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角ABFD的余弦值为 2 3 12 分 20. 【解析】 （
18、）由题意可知，|HF|=|HP|， 点 H 到点 F（0，1）的距离与到直线 l1：y=1 的距离相等， 点 H 的轨迹是以点 F（0，1）为焦点，直线 l1：y=1 为准线的抛物线 点 H 的轨迹方程为 x 2=4y2 分 . （）（）证明：设 P（x1，1），切点 C（xC，yC），D（xD，yD） 由 2 1 4 yx，得 1 2 yx直线 PC： 1 1 1() 2 C yxxx ， 又 PC 过点 C， 2 1 4 CC yx， 2 11 111 1() 242 cccc yx xxxx x ， 1 1 12 2 ccc yyx x ，即 1 1 10 2 cc x xy 同理 1
19、1 10 2 DD x xy ， 直线 CD 的方程为 1 1 10 2 xxy 直线 CD 过定点（0，1） 6 分 （）由（） （）P（1，1）在直线 CD 的方程为 1 1 10 2 xxy ， 得 x1=1，直线 CD 的方程为 1 10 2 xy 设 l：y+1=k（x1） ， 与方程 1 10 2 xy 联立，求得 42 21 Q k x k 设(,) AA A xy，(,) BB B xy 联立 y+1=k（x1）与 2 4xy，得 2 4440xkxk，由根与系数的关系，得 4 AB xxk44 AB x xk 1,1,1 QAB xxx同号， |11 |() | PQPQ P
20、Q PAPBPAPB 2 2 111 1|1|() |1|1| 1 Q AB kx xx k 11 |1|() |1|1| Q AB x xx 242 (1) 21(1)(1) AB AB xxk kxx 542 2 215 k k | | PQPQ PAPB 为定值，定值为 2. 12 分 21.【解析】 （）当=1a时， ( )=1 x fxex . 易知( )fx在R上单调递增，且(0)0 f ， 因此，当0x 时，( )0fx；当0x 时，( )0fx 故( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增 4 分 （）由条件可得( )22 x g xeaxa，( )2 x g xea
21、（i）当0a 时，( )0 x g xe，( )g x无零点 （ii）当0a 时，( )0g x，( )g x在R上单调递增 (0)12 , (1)0ga ge 若1 20a，即 1 2 a 时，(0)120ga ，( )g x在(0,1)上有一个零点 若1 20a，即 1 2 a 时，(0)0g，( )g x有一个零点0 若1 20a， 即 1 0 2 a时 ， 21 2 21 ()10 2 a a a ge a ，( )g x在 21,0 2 a a 上 有 一 个 零 点 8 分 （iii）当0a 时，令( )0g x，得ln( 2 )xa；令( )0g x，得ln( 2 )xa 所以(
22、 )g x在,ln( 2 )a单调递减，在ln( 2 ),a单调递增， min ( )(ln( 2 )2ln( 2 )2g xgaaa 若ln( 2 )20a，即 2 0 2 e a时，( )0g x ，( )g x无零点 若ln( 2 )20a，即 2 2 e a 时，(2)0g，( )g x有一个零点2 若ln( 2 )20a，即 2 2 e a 时，(1)0ge，(ln( 2 )0ga，( )g x在1,ln( 2 )a有一个零 点； 10 分 设 2 ( )(1) x h xexx，则( )2 x h xex，设( )2 x u xex，则( )2 x u xe， 当1x 时，( )2
23、20 x u xee，所以( )( )u xh x在1,)单调递增，( )(1)20h xhe， 所以( )h x在1,)单调递增，( )(1)10h xhe ，即1x 时， 2x ex，故 2 ( )22g xxaxa 设( )ln(1)k xxx x，则 11 ( )10 x k x xx ，所以( )k x在1,)单调递减， ( )(1)10k xk ，即1x 时，ln xx . 因为 2 2 e a 时， 2 21ae，所以ln( 2 )2aa ， 又 2 ( 2 )( 2 )2 ( 2 )220gaaaaaa ，( )g x在ln( 2 ), 2aa上有一个零点，故( )g x有两个
24、零 点 综上，当 2 2 e a 时，( )g x在1,ln( 2 )a和ln( 2 ), 2aa上各有一个零点，共有两个零点；当 2 2 e a 时，( )g x有一个零点2；当 2 0 2 e a时，( )g x无零点；当 1 0 2 a时，( )g x在 21,0 2 a a 上有一 个 零 点 ； 当 1 2 a 时 ，( )g x有 一 个 零 点0； 当 1 2 a 时 ，( )g x在(0,1)上 有 一 个 零 点. 12 分 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明讲 证明:() AB为圆O的一条直径； ,BFFH DHBD ,B D H F 四点共圆4 分
25、解：() AH与圆B相切于点F， 由切割线定理得 2 AFAC AD，即 2 2 22 AD， 解得4AD ，所以 1 1,1 2 BDADACBFBD， 又AFBADH，则 DHAD BFAF ，得 2DH ， 连接BH，由（1）知BH为BDF的外接圆直径， 22 3BHBDDH ，故BDF的外接圆半径为 3 2 10 分 （23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解： （）因为 2 4 (cossin )6，所以 22 446xyxy， 所以 22 4460xyxy， 即 22 (2)(2)2xy为圆 C 的普通方程 所以所求的圆 C 的参数方程为 22cos 22
26、sin x y (为参数) 5 分 （）由（）可得，42(sincos )42sin() 4 xy 当 4 时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， . xy取到最大值为 6. 10 分 （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：() 2, 32 21 , 1 1,23 )( xx x xx xf由2)(xf得 1 223 x x 或 232 2 x x ， 解得 2 1 x或 2 5 x.故所求实数x的取值范围为), 2 5 () 2 1 ,(.5 分 （）由)(xfmnmnm且0m得 )(xf m nmnm 又2 m nmnm m nmnm 2)(xf. 2)(xf的解集为), 2 5 () 2 1 ,(，2)(xf的解集为 2 5 , 2 1 ， 所求实数x的取值范围为 2 5 , 2 1 .10 分
