1、 . 2017201720182018 学年度高三十七模考试学年度高三十七模考试 高三年级高三年级数学试卷数学试卷( (理科理科) ) 第第卷卷 一、一、选择题：选择题： （每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .下列每小题所给选项只有一个项符合题意下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答请将正确答 案的序号填涂在答题卡上）案的序号填涂在答题卡上） 1. 设集合 0.41 x Ax,集合 2 |lg2 Bx yxx,则集合 R AC B（ ） A 0 2， B0, C1, D, 10, 2. 已知复数 3 ai za i (aR，i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚
2、部为 1 2 , 则复数z在复平面 内对应的点位于（ ） A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限 3. 若 012 (21)2 nn n xaa xa xa x的展开式中的二项式系数和为 32，则 12n aaa（ ） A 241 B 242 C 243 D 244 4. 运行如图所示程序,则输出的S的值为（ ） A 1 44 2 B 1 45 2 C. 45 D 1 46 2 5. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为抛物线 2 12yx 的焦点，双曲线的渐近线方程为 2yx ,则实数a（ ） A 3 B 2 C. 3 D2 3 6. 已知 10 s
3、in 10 ，(0,) 2 a ，则cos 2 6 a 的值为（ ） . A 4 33 10 B 4 3+3 10 C. 43 3 10 D 3 34 10 7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ） A6 B 9 C. 12 D18 8. 已知2OAOB,点C在线段AB上,且OC的最小值为 1,则OAtOB (tR)的最小值为 （ ） A2 B3 C. 2 D5 9. 函数 2 2sin33 y(,0)(0,) 1 44 1 x x x 的图像大致是（ ） A B C. D 10. 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的左、右顶点分别为A,B，P为双曲线左支上一点，ABP为等
4、腰三角形且 外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为（ ） A 15 5 B 15 4 C. 15 3 D 15 2 11. 设函数 sin 2 3 f xx .若 12 0x x ,且 12 0f xf x，则 21 xx的取值范围为（ ） A (,) 6 B (,) 3 C. 2 (,) 3 D 4 (,) 3 12. 对于函数 f x和 g x， 设 /0xf x; /0x g x,若所有的,， 都有1， . 则称 f x和 g x互为“零点相邻函数”. 1 ( )2 x f xex 与 2 3g xxaxa 与 互为“零点相邻 函数”,则实数a的取值范围是（ ） A 2,4 B 7 2,
5、 3 C. 7 ,3 3 D2,3 第第卷（卷（非选择题非选择题 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，分，共共 2020 分，分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置把每小题的答案填在答卷纸的相应位置） 13. 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 14. 已知a是区间1,7上的任意实数,直线 1: 220laxya与不等式组8 30 xm xy xy 表示的平面区域 总有公共点，则直线:30( ,)l mxynm nR的倾斜角的取值范围为 15. 如图， 四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，
6、2OAOB，3OC ，D为四面体OABC 外一点，给出下列命题. 不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形； 不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥； 存在点D，使CD与AB垂直并且相等； 存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，其中真命题的个数是 16. 已知只有 50 项的数列 n a满足下列三个条件： 1,0,11,250 i ai 1250 9aaa； 22 2 1250 101(1)11111aaa. 对所有满足上述条件的数列 n a， 222 2250 aaa共有k个不同的值，则k 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 个个小题，共小题，共 7070 分分. .
7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 在等差数列 n a中， 2 4a ，其前n项和 n S满足 2 n SnnR. . （1）求实数的值，并求数列 n a的通项公式； （2）若数列 1 n n b S 是首项为为，公比为2的等比数列，求数列 n b的前n项和 n T. 18. 在 2018 年 2 月12K联盟考试中，我校共有 500 名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态 分布 2 95,175N，数学成绩的频率分布直方图如图： （1） 如果成绩大于 130 的为特别优秀， 这 500 名学生中本次考试语文、 数学成绩特别优
8、秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（1）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科 都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望. （3）根据以上数据，是否有 99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ 若 2 ,XN ， 则0.68PX，220.96PX 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P KK 0.50 0.40 0.010 0.005 0.001 0 K 0.455 0.708 6.635 7.879 10.828 19.已知在直角梯形ABCD中，B90A ，1ADAB,2BC，将C
9、BD沿BD折起至 CBD，使二面角CBDA为直角. （1）求证：平面ADC 平面ABC； （2）若点M满足AMAC，0,1，当二面角MBD C为45时，求的值. . 20. 己知椭圆 22 22 :0 xy Cl ab ab 的一个焦点与抛物线 2 3 : 12 E xy的焦点相同，A为椭圆C的右 顶点，以A为为圆心的的圆与直线 b yx a 相交交于P，Q两点，且0AP AQ，3OPOQ. （）求椭圆C的标准方程和圆A的方程； （） 不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点， 已知OM. 直线l，ON为直径的圆的面积分别为 1 S、 2 S，试探究 12 SS的值是否为定值，若是，求出此值；若
10、不是，说明理由. 21. 已知函数( ) x f xeaxa aR，其中e为自然对数的底数. （1）讨论函数( )yf x的单调性； （2）函数( )yf x的图像与x轴交于 1 ( ,0)A x， 2,0 B x两点， 12 xx，点C在函数 yf x的图像上， 且ABC为等腰直角三角形，记 2 1 1 1 x t x ，求atat的值. 二选一：二选一：请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑并在相应题号前的方框中涂黑. . 22. 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y （其中为参数） ，
11、曲线 22 2 1 84 xy C：. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 1 C、 2 C的极坐标方程； （2）射线:0l 与曲线 1 C、 2 C分别交于点,A B (且,A B均异于原点O)，当 0 2 时，求 22 OBOA的最小值. . 23.已知函数 4 +13f xxx . （1）求不等式( )2f x 的解集； （）若直线2ykx与函数( )f x的图象有公共点，求k的取值范围. . 2017201720182018 学年度学年度下学期下学期高三十七模考试高三十七模考试 高三年级高三年级数学试卷数学试卷( (理科理科) )答案答案 一、选择题一、选择
12、题 1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11、12：BB 二、填空题二、填空题 13. 1 6 14. 0, 42 15.6 16.2 个 三、解答题三、解答题 17.（1）设等差数列 n a的公差为d，因为 221 4213aSS , 所以34,所以 1.所以 11 2aS,所以 21 2daa. 所以 1 (1)2 n aandn （2）由（1）知1，所以 -11 1 1 22 nn n n b S 所以 11 111 22 (1)1 nn n b n nnn . 所以 011 11111 2221 2231 n n T nn 1 2121 12 1 2111 n n n nn
13、18.【解析】解： （1）语文成绩服从正态分布 2 (95,17.5 )N， 语文成绩特别优秀的概率为 1 1 1301 0.960.02 2 pP X， 数学成绩特别优秀的概率为 2 0.0012 200.024p ， 语文文特别优秀的同学有500 0.0210人， 数学特别优秀的同学有 500x0.024=12 人 （2）语文数学两科都优秀的有 6 人，单科优秀的有 10 人， X的所有可能取值为 0，1，2，3， . 3 10 3 16 3 P X0 14 C C , 21 106 3 16 27 (1) 56 C C P X C 12 106 3 16 15 (2) 56 C C P
14、X C ， 3 6 3 16 1 (3) 28 C P X C ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 3 14 27 56 15 56 1 28 3271519 0123 145656288 E X E(X)=0+1 （3）2 2列联表： 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀 4 484 488 合计 10 490 500 2 2 500 (6 4844 6) 144.56.635 10 490 12 4888 k 有 99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. 由题设知， 2 22 121212 12 121212 ()()()y
15、 ykxm kxmkm xxm kk kk x xx xx x 2 12 0km xxm， 22 2 2 8 0 1 4 k m m k ，0m， 2 1 4 k ， 则 12 SS 22 22 12 12 11 444 xx xx 2 22 121212 33 2 162162 xxxxx x 2 22 2 2 81 364 161 421 4 m k m kk 22 35 441 1624 mm 故 12 SS为定值，该定值为 5 4 . 21.(理)解:（1） fxea. 当0a时，则 0fx，则函数 f x在(,) 是单调增函数. . 当0a时,令 0fx，则lnxa， 若lnxa，(
16、 )0fx,所以( )f x在(,ln )a上是单调减函数； 所以lnxa，( )0fx，所以( )f x在ln , a 上是单调增函数. （2）由（1）可知当0a时，函数 yfx其图象与x轴交于两点， 则有0 i i eaxa，则 1001(1,2) i iii a xexxi. 于是 12 12 (1)(1) 2 eaxx ，在等腰三角形ABC中，显然90c，所以 12 012 ( ,) 2 xx xx x ，即 00 ()0yf x， 由直角三角形斜边的中线性质，可知 21 0 2 xx y , 所以 21 0 0 2 xx y ，即 1221 12 ()0 222 xxxxa exxa
17、 所以 21 1212 (1)(1)()0 22 xxa axxxxa ， 即 21 1212 (1)(1) (1)(1)(1)(1)0 22 xxa axxxx . 因为 1 10x ，则 2 221 11 1 1 111 10 1212 x xxxa a xx ， 又 2 1 1 1 x t x ，所以 22 1 (1)(1)0 22 a attt， 即 2 1 1 a t ，则(1)(1)2at 所以()1atat. 22.（） 1 C的极坐标方程为2cos， 2 C的极坐标方程为 2 8 1 sin （2）8 28 【试题解析】 （1）曲线 1 C的普通方程为 22 (1)1xy， 1
18、 C的极坐标方程为2cos， 2 C的极坐标方程为 2 2 8 1 sin （2）联立0a与 1 C的极坐标方程得 2 2 4cosOA， . 联立0a与 2 C的极坐标方程得 2 222 88 cos2sin1 sin OB aaa ， 则 22 22 22 88 4cos4(1 sin) 1 sin1 sin OBOA 2 2 8 4(1 sin)8 1 sin 2 2 8 2 () 4(1 sin)88 28 1 sin a .(当且仅当sina21时取等号). 所以 22 OBOA的最小值为8 28. 23.（1）0,5:（2） 1 , 2, 2 试题解析：解： （1）由( )2f x ，得 1 222 x x 或 14 02 x 或 4 282 x x ， 解得05x，故不等式( )2f x 的解集为0,5. （2） 22 ,1 ( )413 0,14 28,4 x x f xxxx xx ， 作出函数( )f x的图象，如图所示, 直线2ykx过定点(0, 2)C,当此直线经过点(4,0)B时， 1 2 k ； 当此直线与直线AD平行时，2k ，故由图可知， 1 (, 2), 2 k . . .
