1、 1 北京四中北京四中 2019-2020 学年度第二学期学年度第二学期高三测试高三测试 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合 Ax|x22x0，B0，1，2，则 AB（ ） A0 B0，1 C0，2 D0，1，2 2在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为（2，1） ，则（1+i）z 等于（ ） A3+i B2+i C1+i D1i 3已知数列an，a21，an+an+12n，nN*，则 a1+a3的值为（ ） A4 B5 C6 D8 4已知 a，bR，则“ab”是“log2alog2b”的（
2、） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人 记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采 摘的果实的个数（用十进制表示）是（ ） A492 B382 C185 D123 6设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（3 2 x）f（x） ，当1x0 时，f（x）log3（6x+3） 则 f （2020）的值为（ ） A1 B2 C1 D2 7已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离
3、心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 43，则 C 的方程为（ ） A 2 3 + 2 2 =1 B 2 3 +y21 C 2 12 + 2 8 =1 D 2 12 + 2 4 =1 8某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） 2 A2 3 B4 3 C8 3 D3 9有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为 2 个，现有一个这样的细菌 和 200 个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要（ ） A6 秒钟 B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟 10已知点 A（1，2） ，B（2，0） ，P 为曲线 = 3 3 4
4、2上任意一点，则 的取值范围为（ ） A1，7 B1，7 C,1，3 + 23- D,1，3 + 23- 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11直线 x3y+10 的倾斜角大小为 12已知 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f（x）g（x）x3+x2+1，则 f（1）+g （1） 13BC 中，若面积为 6，c5，tanA= 4 3，则 a 的值为 14设函数 f（x）= ( + 2)， ， ， 若 a1，则 f（x）的零点的个数为 若 f（x）的值域为1，+） ，则实数 a 的取值范围是 15
5、 已知向量1 ， 2 是平面 内的一组基向量， O 为 内的定点， 对于 内任意一点 P， 当 =x1 +y2 时， 则称 有序实数对（x，y）为点 P 的广义坐标若点 A、B 的广义坐标分别为（x1，y1） （x2，y2） ，关于下列命 题： 线段 A、B 的中点的广义坐标为（1:2 2 ， 1:2 2 ） ； A、B 两点间的距离为(1 2)2+ (1 2)2； 3 向量 平行于向量 的充要条件是 x1y2x2y1； 向量 垂直于 的充要条件是 x1x2+y1y20 其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （1）证明：PB平面 AEC （2）已知 AP1，AD= 3，AB2，求二面角 DAEC 的余弦值 17为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两 公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制 表如图： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35 件 以内（含 35 件）的部分每件 4
7、 元，超出 35 件的部分每件 7 元 （）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； （）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 18在an2anan13an190，an2an12+3，Snn22n+2 这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中 已知：数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11， 求：对大于 1 的自然数 n，是否存在大于 2 的自然数 m，使得 a1，an，am成等比数列若存在，
8、求 m 的 最小值；若不存在，说明理由 4 19已知函数 f（x）alnx+ 1 （a0） （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f （1） ）处的切线方程： （）求函数 f（x）的单调区间； （）若x|f（x）0且x|f（x）0（0，1） ，求实数 a 的取值范围 20 （15 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(0，3)，且离心率为1 2设 A，B 为椭圆 C 的左、右顶 点，P 为椭圆上异于 A，B 的一点，直线 AP，BP 分别与直线 l：x4 相交于 M，N 两点，且直线 MB 与 椭圆 C 交于另一点 H （）求椭圆 C 的标准方程； （）求证：直线 AP 与
9、 BP 的斜率之积为定值； （）判断三点 A，H，N 是否共线，并证明你的结论 21若数列 Ana1，a2，an（n2）满足|ak+1ak|1（k1，2，n1） ，数列 An为 E 数列，记 S（An） a1+a2+an （）写出一个满足 a1a50，且 S（A5）0 的 E 数列 A5； （）若 a113，n2008，证明：E 数列 An是递增数列的充要条件是 an2020； （）对任意给定的整数 n（n2） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）0？如果存在，写出 一个满足条件的 E 数列 An；如果不存在，说明理由 5 答案与详解 一、选择题（本大题共一、选择题（本大
10、题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1Ax|x22x00，2，B0，1，2， AB0，2 故选：C 2由已知得，z2i， （1+i）z（1+i） （2i）3+i 故选：A 3数列an，a21，+ :1= 2， ， 可得 a1+a22，a2+a34， 解得 a11，a33， a1+a34 故选：A 4log2alog2b， 0ab， “ab”是“log2alog2b”的必要不充分条件， 故选：B 5由题意满六进一，可得该图示为四进制数， 化为十进制数为 1 43+3 42+2 4+3123 故选：D 6f（x）是奇函数， f（x）关于（0，0）对称， 又 f（
11、3 2 x）f（x） ， f（x）关于 = 3 4对称， 函数 f（x）的一个周期为4 | 3 4 0| = 3， f（2020）f（1+3 673）f（1）f（1）log392 故选：B 7AF1B 的周长为 43， AF1B 的周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a， 6 4a43， a= 3， 离心率为 3 3 ， = 3 3 ，c1， b= 2 2= 2， 椭圆 C 的方程为 2 3 + 2 2 =1 故选：A 8该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥， 红色线四棱锥 ABCDE 为三视图还原后的几何体， CBA 和 ACD 是两个全等的直角三角形：AC
12、CDBC2， 几何体的体积为：1 3 2 2 2 = 8 3， 故选：C 91+2+22+23+2n 1200， 1;2 1;2 200， 2n201， 解得 n8， 即至少需 8 秒细菌将病毒全部杀死， 故选：C 10设 P（x，y）则由 y= 3 32 4 可得 2 4 + 2 3 = 1（y0） ， 令 x2cos = 3， （0， =（x1，y+2） ， =（1，2） ， =x1+2y+4x+2y+32cos+23sin+34sin（ + 6）+3， 0， 7 6 + 6 7 6 ， 1 2 ( + 6) 1， 1 4( + 6) + 3 7， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题
13、（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11直线 x3y+10 化为斜截式为 y= 3 3 x+ 3 3 故直线的斜率是 3 3 ， 直线的倾斜角 满足 tan= 3 3 ， 结合 0 ，180 ） ，可得 30 故答案为：30 12由 f（x）g（x）x3+x2+1，将所有 x 替换成x，得 f（x）g（x）x3+x2+1， f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， f（x）f（x） ，g（x）g（x） ， 即 f（x）+g（x）x3+x2+1， 再令 x1，得 f（1）+g（1）1 故答案为：1 13 【解答】解：tanA= 4 30，
14、A (0， 2)， = 4 5， = 3 5， S= 1 2 = 1 2 5 4 5 =6， b3， 由余弦定理得：cosA= 2:2;2 2 = 3 5， a4， 故答案为：4 14当 x1 时，令 f（x）x（x+2）0，解得 x0 或 x2，此时函数 f（x）有两个零点； 当 x1 时，令 f（x）lnx0，解得 x1（舍） ，此时函数 f（x）无零点； 综上，当 a1 时，函数 f（x）有 2 个零点； 8 作出函数 yx（x+2）及函数 ylnx 的图象如下图所示， 由图象可知，若 f（x）的值域为1，+） ，则实数 a 的取值范围是,1 ，+ ) 故答案为：2，,1 ，+ ) 15
15、根据题意得，由中点坐标公式知正确； 只有平面直角坐标系中两点间的距离公式 B 才正确，未必是平面直角坐标系因此错误； 由向量 与 平行的充要条件是 =k ，即（x1，y1）k（x2，y2） ，x1y2x2y10，因此正确； 与 垂直的充要条件为 =0， 即 （x11 +y12 ） （x21 +y22 ） 0； x1x21 2+y 1y22 2 + （x1y2+x2y1） 1 2 =0，因为1 ，2 未必垂直，也未必是单位向量，因此错误； 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16 （
16、1）证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE， E 为 PD 中点，O 为 BD 中点， PBOE， PB 不在平面 AEC 内，OE 在平面 AEC 内， PB平面 AEC； （2）以点 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则(0，0，0)，(0， 3 ，0)，(0， 3 2 ， 1 2)，(2， 3 ，0)，则 = (0， 3 2 ， 1 2)， = (0， 3 ，0)， = (2， 3 ，0)， 设平面 AEC 的一个法向量为 = (，)， 则 = 3 2 + 1 2 = 0 = 2 + 3 = 0
17、， 可取 = (3，2， 23)， 9 易知平面 DAE 的一个法向量为 = (2，0，0)， 设二面角 DAEC 的平面角为 ，则 = | | | = ;23 23:4:12 = 57 19 ， 显然二面角 DAEC 的平面角为锐角， 故二面角 DAEC 的余弦值为 57 19 17 （）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为： = 1 10（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）36， 众数为 33 （2 分） （）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则 当 a34 时，X136 元，当 a35 时，X35 4+（a35） 7 元， X 的可能取值为 136，147，
18、154，189，203， P（X136）= 1 10， P（X147）= 3 10， P（X154）= 2 10， P（X189）= 3 10， P（X203）= 1 10， X 的分布列为： X 136 147 154 189 203 P 1 10 3 10 2 10 3 10 1 10 （9 分） 10 () = 136 1 10 + 147 3 10 + 154 2 10 + 189 3 10 + 203 1 10 = 1655 10 = 165.5(元) （11 分） （）根据图中数据，由（）可估算： 甲公司被抽取员工该月收入36 4.5 304860 元， 乙公司被抽取员工该月收入1
19、65.5 304965 元 （13 分） 18由 a11，an2an12+3，即 an2an123， 可得数列an2是首项为 1，公差为 3 的等差数列， 则 an21+3（n1）3n2， 假设对大于 1 的自然数 n，存在大于 2 的自然数 m，使得 a1，an，am成等比数列， 可得 an2a1am，即 3n2= 3 2， 两边平方可得 3m2+（3n2）23（3n24n+2）33（n 2 3） 2+2 3， 由 f（n）3n24n+2 在 n1，且 nN*递增，可得 n2 时，f（n）取得最小值 6， 可得此时 m 取得最小值 6， 故存在大于 2 的自然数 m，使得 a1，an，am成
20、等比数列，且 m 的最小值为 6 19 （）若 a1，则() = + 1 ，故() = 1 1 2 ，(1) = 1，(1) = 0， 所求切线方程为 y1； （）函数的定义域为（0，+） ，() = 1 2 = ;1 2 ， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递减， 当a0时， 令f （x） 0得 1 ， 令f （x） 0得0 1 ， 故函数f （x） 在(0， 1 )单调递减， 在( 1 ， + )单调递 增； （）当 a0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递减， 又(; 1 ) = (; 1 )+ 1 1 = 1 10，而; 1 (0，1)，不合题意； 当 a
21、0 时，由（）可知，()= (1 ) = (1 )， （i）当(1 ) = (1 )0，即 0ae 时，x|f（x）0，不合题意； （ii）当(1 ) = (1 ) = 0，即 ae 时，*|() 0+ = * 1 + (0，1)，满足题意； （iii）当(1 ) = (1 )0，即 ae 时，则0 1 1， f（1）10，函数 f（x）在(1 ， + )单调递增， 当 x1 时，f（x）0， 11 又函数的定义域为（0，+） ， x|f（x）0（0，1） ，满足题意 综上，实数 a 的取值范围为e，+） 20 （）根据题意可知 = 3 = 1 2 2= 2+ 2 解得 = 2 = 3 = 1
22、. 所以椭圆 C 的方程 2 4 + 2 3 = 1； （）根据题意，直线 AP，BP 的斜率都存在且不为零A（2，0） ，B（2，0） ， 设 P（x0，y0） ，则0 2 4 + 02 3 = 1（2x02） 则 = 0 0:2 0 0;2 = 0 2 0 2;4， 因为点 P 在椭圆上，则0 2 4 + 0 2 3 = 1，所以，0 2 = 3(1 0 2 4 ) = 3(4;0 2) 4 ， 所以 = 0 2 0 2;4= 3 4(4;0 2) 0 2;4 = 3 4， 所以直线 AP 与 BP 的斜率之积为定值 3 4； （III） 三点 A、H、N 共线证明如下： 设直线 AP 的
23、方程为 yk（x+2） （k0） ，则直线 BP 的方程为 = 3 4 ( 2)， 所以，M（4，6k） ，(4， 3 2)， = 6 4;2 = 3， 设直线 HM：y3k（x2） ， 联立方程组 = 3( 2) 2 4 + 2 3 = 1 ，消去 y 整理得， （1+12k2）x248k2x+48k240 设 H（x1，y1） ，则21= 482;4 122:1，所以1 = 242;2 122:1，1 = 3(1 2) = ;12 122:1 所以(24 2;2 122:1， 12 122:1)， 因 A（2，0） 、(4， 3 2)， = ; 3 2 6 = 1 4， = ; 12 12
24、2+1 2422 122+1:2 = 1 4， 所 kANkAH，所以三点 A，H，N 共线 21 （）0，1，0，1，0 是一个满足条件的 E 数列 A5 （）必要性：因为 E 数列 An是递增数列 所以 ak+1ak1（k1，2，2007） 所以 An是首项为 13，公差为 1 的等差数列 所以 a200813+（20081） 12020 12 充分性：由于 a2008a20071 a2007a20061 a2a11， 所以 a2008a12003，即 a2008a1+2003 又因为 a113，a20082020 所以 a2008a1+2003 故 ak+1ak10（k1，2，2007）
25、 ，即 An是递增数列 综上所述，结论成立 （）设 ckak+1ak（k1，2，n1） ，则 ck 1 因为 a2a1+c1 a3a1+c1+c2 ana1+c1+c2+cn1 所以 S（An）na1+（n1）c1+（n2）c2+（n3）c3+cn1 （n1）+（n2）+1（1c1） （n1）+（1c2） （n2）+（1cn1） = (;1) 2 （1c1） （n1）+（1c2） （n2）+（1cn1） 因为 ck 1，所以 1ck为偶数（k1，2，n1） ） 所以（1c1） （n1）+（1c2） （n2）+（1cn1）为偶数 所以要使 S（An）0，必须= (;1) 2 使为偶数 即 4 整除 n（n1） ，亦即 n4m 或 n4m+1（mN*） 当 n4m（mN*）时，E 数列 An的项满足 a4k+1a4k10，a4k21，a4k1（k1，2，n1） ） 此时，有 a10 且 S（An）0 成立 当 n4m+1（mN*）时，E 数列 An的项满足 a4k+1a4k10a4k21a4k1（k1，2，n1） ） a4m+10 时，亦有 a10 且 S（An）0 成立 当 n4m+2 或 n4m+3（mN*） （mN*）时，n（n1）不能被 4 整除，此时不存在数列数列 An，使 得 a10 且 S（An）0 成立
