1、2020 年年高考模拟高考模拟高考数学模拟试卷（理科）高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题一、选择题 1已知集合已知集合 Ax|x24，xR，Bx|4，xZ，则，则 AB（ ） A（0，2） B0，2 C0，1，2 D0，2 2复数复数（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A（3，1） B（1，3） C（3，1） D（2，4） 3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C8 D16 4等比数列等比数列an每项都是正数，设其前每项都是正数，设其前 n 项和为项和为 Sn，若
2、满足，若满足 q1，a3+a520，a2a664， 则则 S5（ ） A31 B36 C42 D48 5设设 zx+y，其中实数，其中实数 x，y 满足满足，若，若 z 的最大值为的最大值为 6，则 ，则 z 的最小值为（的最小值为（ ） A3 B2 C1 D0 6有有 6 名优秀毕业生到母校的名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派 方法种数为（方法种数为（ ） A540 B729 C216 D420 7执行如图的程序框图，则输出执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（的值为（ ） A2016 B2 C D
3、1 8若（若（x6）n的展开式中含有常数项，则的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等的最小值等于（于（ ） A3 B4 C5 D6 9已知函数已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的图象与）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数的等差数列，把函数 f（x）的图象沿）的图象沿 x 轴向左平移轴向左平移个单位，得到函数个单位，得到函数 g（x）的图）的图 象，则下列关于函数象，则下列关于函数 g（x）的命题中正确的是（）的命题中正确的是（ ） Ag（x）在）在上是增函数上是增函数 Bg（x）的图象关于直线）的图象关于直线 x对称对称 C函数
4、函数 g（x）是奇函数）是奇函数 D当当 x时，函数时，函数 g（x）的值域是）的值域是2，1 10设函数设函数 f（x）log4x（）x，g（x）x（）x的零点分别是的零点分别是 x1，x2，则，则 （ ） Ax1x21 B0x1x21 C1x1x22 Dx1x22 11在正三棱锥在正三棱锥 SABC 中，中，M 是是 SC 的中点，且的中点，且 AMSB，底面边长，底面边长 AB2，则正三，则正三 棱锥棱锥 SABC 外接球表面积为（外接球表面积为（ ） A6 B12 C32 D36 12过曲线过曲线 C1：1（a0，b0）的左焦点）的左焦点 F1作曲线作曲线 C2：x2+y2a2的切线，
5、设的切线，设 切点为切点为 M，延长，延长 F1M 交曲线交曲线 C3：y22px（p0）于点）于点 N，其中曲线，其中曲线 C1与与 C3有一个共有一个共 同的焦点，若同的焦点，若|MF1|MN|，则曲线，则曲线 C1的离心率为（的离心率为（ ） A B1 C+1 D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题） 13已知已知 （1，2），）， + （0，2），则），则| | 14设随机变量设随机变量 XN（3，2），若），若 P（Xm）0.3，则，则 P（X6m） 15函数函数 f（x），若方程，若方程 f（x）mx恰有四个不相等的实数根，则恰有四个不相等的实数根，则 实数实数 m 的取
6、值范围是的取值范围是 16设数列设数列an的的 n 项和为项和为 Sn，且，且 a1a21，nSn+（n+2）an为等差数列，则为等差数列，则an的通项的通项 公式公式 an 三、解答题（三、解答题（6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写 在答卷纸的相应位置上）在答卷纸的相应位置上） 17在在ABC 中，角中，角 A、B、C 的对边分别为的对边分别为 a、b、c，面积为，面积为 S，已知，已知 acos2+ccos 2 b （1）求证：）求证：a、b、c 成等差数列；成等差数列； （2）若）若 B
7、，S4 求求 b 18如图，平面如图，平面 ABEF平面平面 ABC，四边形，四边形 ABEF 为矩形，为矩形，ACBCO 为为 AB 的中点，的中点， OFEC （1）求证：）求证：OEFC； （2）若）若时，求二面角时，求二面角 FCEB 的余弦值的余弦值 19为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字 路口处现从路口处现从符合条件的符合条件的 500 名志愿者中随机抽取名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表名志愿者，他们的年龄情况如表 所示所示 （1） 频率分布表中
8、的） 频率分布表中的、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图 （如位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图 （如 图），再根据频率分布直方图估计这图），再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在名志愿者中年龄在30，35）岁的人数；）岁的人数； （2）在抽出的）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机人参加“规范摩的司机 的交通意识”培训活动，从这的交通意识”培训活动，从这 20 人中选取人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者名志愿者 中“年
9、龄低于中“年龄低于 30 岁”的人数为岁”的人数为 X，求，求 X 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 分组（单位：岁）分组（单位：岁） 频数频数 频率频率 20，25） 5 0.05 25，30） 0.20 30，35） 35 35，40） 30 0.30 40，45 10 0.10 合计合计 100 1.00 20椭圆椭圆 C：+1（ab0）的上顶点为）的上顶点为 A，P（，）是）是 C 上的一点，以上的一点，以 AP 为直径的圆经过椭圆为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点的右焦点 F （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2）动直线）动直线 l 与椭圆与椭圆 C 有且只有一个公共点
10、，问：在有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到轴上是否存在两个定点，它们到 直线直线 l 的距离之积等于的距离之积等于 1？如果存在， 求出这两个定点的坐标； 如果不存在， 请说明理由？如果存在， 求出这两个定点的坐标； 如果不存在， 请说明理由 21函数函数 f（x），若曲线，若曲线 f（x）在点（）在点（e，f（e）处的切线与直线）处的切线与直线 e2xy+e0 垂直（其中垂直（其中 e 为自然对数的底数）为自然对数的底数） （1）若）若 f（x）在（）在（m，m+1）上存在极值，求实数）上存在极值，求实数 m 的取值范围；的取值范围； （2）求证：当）求证：当 x1
11、 时，时， 请考生在（请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑 选修选修 4 一一 4： 坐标系与参数方程： 坐标系与参数方程 22已知直线已知直线 C1（t 为参数），为参数），C2（ 为参数），为参数）， （）当（）当 时，求时，求 C1与与 C2的交点坐标；的交点坐标； （）过坐标原点（）过坐标原点 O 做做 C1的垂线，垂足为的垂线，垂足为 A，P 为为 OA 中点，当中点，当 变化时，变
12、化时，求求 P 点的轨点的轨 迹的参数方程，并指出它是什么曲线迹的参数方程，并指出它是什么曲线 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设设 f（x）|x1|+|x+1| （1）求）求 f（x）x+2 的解集；的解集； （2）若不等式）若不等式，对任意实数，对任意实数 a0 恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范的取值范 围围 参考答案参考答案 一、选择题：（共一、选择题：（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1已知集合已知集合 Ax|x24，xR，Bx|4，xZ，
13、则，则 AB（ ） A（0，2） B0，2 C0，1，2 D0，2 解：解：由由 A 中不等式解得：中不等式解得：2x2，即，即 A2，2， 由由 B 中不等式解得：中不等式解得：0x16，xZ，即，即 B0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12，13，14，15，16， 则则 AB0，1，2， 故选：故选：C 2复数复数（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A（3，1） B（1，3） C（3，1） D（2，4） 解：解：， 复数复数 z 所对应点的坐标是（所对应点的坐标是（3，1） 故选：故选：A 3已知某几何体的三视图如图
14、所示，则该几何体的体积为（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C8 D16 解：解：由已知中的由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱和圆锥的底面直径为圆柱和圆锥的底面直径为 4，故底面半径为，故底面半径为 2，故底面面积，故底面面积 S4， 圆柱和圆锥的高圆柱和圆锥的高 h2， 故组合体的体积故组合体的体积 V（1）Sh， 故选：故选：B 4等比数列等比数列an每项都是正数，设其前每项都是正数，设其前 n 项和为项和为 Sn，若满足，若满足 q1，a3+a520，a2a664， 则
15、则 S5（ ） A31 B36 C42 D48 解：解：a3a5a2a664， a3+a520， a3和和 a5为方程为方程 x220x+640 的两根，的两根， an0，q1， a3a5， a516，a34， q2， a11， S531 故选：故选：A 5设设 zx+y，其中实数，其中实数 x，y 满足满足，若，若 z 的最大值为的最大值为 6，则 ，则 z 的最小值为（的最小值为（ ） A3 B2 C1 D0 解：解：作出不等式对应的平面区域，作出不等式对应的平面区域， 由由 zx+y，得，得 yx+z， 平移直线平移直线 yx+z，由图象可知当直线，由图象可知当直线 yx+z 经过点经过
16、点 A 时，直线时，直线 yx+z 的截距最的截距最 大，大， 此时此时 z 最大为最大为 6即即 x+y6经过点经过点 B 时，直线时，直线 yx+z 的截距最小，此时的截距最小，此时 z 最小最小 由由得得，即，即 A（3，3），）， 直线直线 yk 过过 A， k3 由由，解得解得，即，即 B（6，3） 此时此时 z 的最小值为的最小值为 z6+33， 故选：故选：A 6有有 6 名优秀毕业生到母校的名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派 方法种数为（方法种数为（ ） A540 B729 C216 D
17、420 解：解：根据题意，分根据题意，分 2 步进行分析：步进行分析： ，先将，先将 6 名优秀毕业生分为名优秀毕业生分为 3 组，若分为组，若分为 1、1、4 的三组，有的三组，有 C6415 种分组方法，种分组方法， 若分为若分为 1、2、3 的三组，有的三组，有 C63C3260 种分组方法，种分组方法， 若分为若分为 2、2、2 的三组，的三组，15 种分组方法，种分组方法， 则有则有 15+60+1590 种分组方法；种分组方法； ，将分好的三组对应三，将分好的三组对应三个班级，有个班级，有 A339 种情况，种情况， 则每个班至少去一名的不同分派方法有则每个班至少去一名的不同分派方
18、法有 906540 种；种； 故选：故选：A 7执行如图的程序框图，则输出执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（的值为（ ） A2016 B2 C D1 解：解：模拟执行程序框图，可得模拟执行程序框图，可得 s2，k0 满足条件满足条件 k2016，s1，k1 满足条件满足条件 k2016，s，k2 满足条件满足条件 k2016，s2k3 满足条件满足条件 k2016，s1，k4 满足条件满足条件 k2016，s，k5 观察规律可知，观察规律可知，s 的取值以的取值以 3 为周期，由为周期，由 20153*671+2，有，有 满足条件满足条件 k2016，s2，k2016 不满足条件不满足条
19、件 k2016，退出循环，输出，退出循环，输出 s 的值为的值为 2 故选：故选：B 8若（若（x6）n的展开式中含有常数项，则的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（的最小值等于（ ） A3 B4 C5 D6 解：解：由题意， （由题意， （x6） n的展开式的项为 的展开式的项为 Tr+1nr（x6） nr（ （） r nr nr 令令 6nr0，得，得 nr，当，当 r4 时，时，n 取到最小值取到最小值 5 故选：故选：C 9已知函数已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的图象与）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数的等差数
20、列，把函数 f（x）的图象沿）的图象沿 x 轴向左平移轴向左平移个单位，个单位，得到函数得到函数 g（x）的图）的图 象，则下列关于函数象，则下列关于函数 g（x）的命题中正确的是（）的命题中正确的是（ ） Ag（x）在）在上是增函数上是增函数 Bg（x）的图象关于直线）的图象关于直线 x对称对称 C函数函数 g（x）是奇函数）是奇函数 D当当 x时，函数时，函数 g（x）的值域是）的值域是2，1 解：解：f（x）sinx+cosx， 由题意知由题意知，则，则 T， ， 把函数把函数 f（x）的图象沿）的图象沿 x 轴向左平移轴向左平移个单位，得个单位，得 g（x）f（x+） 22cos2x
21、其图象如图：其图象如图： 由图可知，函数在由图可知，函数在，上是减函数，上是减函数，A 错误；错误； 其图象的对称中心为（其图象的对称中心为（），），B 错误错误； 函数为偶函数，函数为偶函数，C 错误；错误； ， 当当 x，时，函数时，函数 g（x）的值域是）的值域是2，1，D 正确正确 故选：故选：D 10设函数设函数 f（x）log4x（）x，g（x）x（）x的零点分别是的零点分别是 x1，x2，则，则 （ ） Ax1x21 B0x1x21 C1x1x22 Dx1x22 解：解：由题意可得由题意可得 x1是函数是函数 ylog4x 的图象和的图象和 y（）x的图象的交点的横坐标，的图象的
22、交点的横坐标， x2是是 y的图象和函数的图象和函数 yy（）x的图象的交点的横坐标，且的图象的交点的横坐标，且 x1，x2都是正都是正 实数，如图所示：实数，如图所示： 故有故有x2log4x1，故故 log4x1x20，log4x1+log4x20， log4（x1 x2）0，0x1 x21， 故选：故选：B 11在正三棱锥在正三棱锥 SABC 中，中，M 是是 SC 的中点，且的中点，且 AMSB，底面边长，底面边长 AB2，则正三，则正三 棱锥棱锥 SABC 外接球表面积为（外接球表面积为（ ） A6 B12 C32 D36 解：解：取取 AC 中点，连接中点，连接 BN、SN N 为
23、为 AC 中点，中点，SASC ACSN，同理，同理 ACBN， SNBNN AC平面平面 SBN SB平面平面 SBN ACSB SBAM 且且 ACAMA SB平面平面 SACSBSA 且且 SBAC 三棱锥三棱锥 SABC 是正三棱锥是正三棱锥 SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直三条侧棱两两互相垂直 底面边长底面边长 AB2， 侧棱侧棱 SA2， 正三棱锥正三棱锥 SABC 的外接球的直径为：的外接球的直径为：2R 外接球的半径为外接球的半径为 R 正三棱锥正三棱锥 SABC 的外接球的表面积是的外接球的表面积是 S4R212 故选：故选：B 12过曲线过曲线 C1：1（a0，b0）
24、的左焦点）的左焦点 F1作曲线作曲线 C2：x2+y2a2的切线，设的切线，设 切点为切点为 M，延长，延长 F1M 交曲线交曲线 C3：y22px（p0）于点）于点 N，其中曲线，其中曲线 C1与与 C3有一个共有一个共 同的焦点，若同的焦点，若|MF1|MN|，则，则曲线曲线 C1的离心率为（的离心率为（ ） A B1 C+1 D 解：解：设双曲线的右焦点为设双曲线的右焦点为 F2，则，则 F2的坐标为（的坐标为（c，0） 因为曲线因为曲线 C1与与 C3有一个共同的焦点，所以有一个共同的焦点，所以 y24cx 因为因为 O 为为 F1F2的中点，的中点，M 为为 F1N 的中点，所以的中
25、点，所以 OM 为为NF1F2的中位线，的中位线， 所以所以 OMNF2， 因为因为|OM|a，所以，所以|NF2|2a 又又 NF2NF1，|FF2|2c 所以所以|NF1|2b 设设 N（x，y），则由抛物线的定义可得），则由抛物线的定义可得 x+c2a， x2ac 过点过点 F1作作 x 轴的垂线，点轴的垂线，点 N 到该垂线的距离为到该垂线的距离为 2a 由勾股定理由勾股定理 y2+4a24b2，即，即 4c（2ac）+4a24（c2a2） 得得 e2e10， e 故选：故选：D 二、填空题：（共二、填空题：（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分）分） 13已知已知 （1，2），）
26、， + （0，2），则），则| | 解：解：因为因为 （1，2），）， + （0，2），所以），所以（1，4），）， 所以所以； 故答案为：故答案为： 14设随机变量设随机变量 XN（3，2），若），若 P（Xm）0.3，则，则 P（X6m） 0.7 解：解：随机变量随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N（3，2），）， 曲线关于曲线关于 x3 对称，对称， P（Xm）0.3， P（X6m）10.30.7， 故答案为：故答案为：0.7 15函数函数 f（x），若方程，若方程 f（x）mx恰有四个不相等的实数根，则恰有四个不相等的实数根，则 实数实数 m 的取值范围是的取值范围是 （，） 解
27、：解：方程方程 f（x）mx恰有四个不相等的实数根可化为恰有四个不相等的实数根可化为 函数函数 f（x）与函数与函数 ymx有四个不同的交点，有四个不同的交点， 作函数作函数 f（x）与函数与函数 ymx的图象如下，的图象如下， 由题意，由题意，C（0，），），B（1，0）；）； 故故 kBC， 当当 x1 时，时，f（x）lnx，f（x）； 设切点设切点 A 的坐标为（的坐标为（x1，lnx1），）， 则则； 解得，解得，x1； 故故 kAC； 结合图象可得结合图象可得， 实数实数 m 的取值范围是（的取值范围是（，） 故答案为：（故答案为：（，） 16设数列设数列an的的 n 项和为项和为
28、 Sn，且，且 a1a21，nSn+（n+2）an为等差数列，则为等差数列，则an的通项的通项 公式公式 an 解：解：设设 bnnSn+（n+2）an， 数列数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a1a21， b14，b28， bnb1+（n1）（）（84）4n， 即即 bnnSn+（n+2）an4n 当当 n2 时，时，SnSn1+（1+）an（1+）an10 ， 即即 2 ， 是以是以为公比，为公比，1 为首项的等为首项的等比数列，比数列， ， 三、解答题（三、解答题（6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写分，解答应写出文字说明、证
29、明过程或演算步骤，并把解答写 在答卷纸的相应位置上）在答卷纸的相应位置上） 17在在ABC 中，角中，角 A、B、C 的对边分别为的对边分别为 a、b、c，面积为，面积为 S，已知，已知 acos2+ccos 2 b （1）求证：）求证：a、b、c 成等差数列；成等差数列； （2）若）若 B，S4 求求 b 解：解：（1）由正弦定理得：）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2sinB， 即即 sinA +sinC sinB， sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC3sinB，即，即 sinA+sinC+sin（A+C）3sinB， sin（A+C）sinB， sinA
30、+sinC2sinB， 由正弦定理化简得：由正弦定理化简得：a+c2b， a，b，c 成等差数列；成等差数列； （2）SacsinBac4， ac16， 又又 b2a2+c22accosBa2+c2ac（a+c）23ac， 由（由（1）得：）得：a+c2b， b24b248，即，即 b216， 解得：解得：b4 18如图，平面如图，平面 ABEF平面平面 ABC，四边形，四边形 ABEF 为矩形，为矩形，ACBCO 为为 AB 的中点，的中点， OFEC （1）求证：）求证：OEFC； （2）若）若时，求二面角时，求二面角 FCEB 的余弦值的余弦值 【解答】证明：（【解答】证明：（1）连结）
31、连结 OC，ACBC，O 为为 AB 的中点，的中点， OCAB，又平面，又平面 ABEF平面平面 ABC， 故故 OC平面平面 ABEF， OCOF，又，又 OFEC， OF平面平面 OEC，OFOE， 又又 OCOE，OE平面平面 OFC， OEFC 解：（解：（2）设）设 AB2，AC，取，取 EF 的中点的中点 D， 以以 O 为原点，为原点，OC，OB，OD 所在的直线分别为所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系， 则则 B（0，1，0），），C（，0，0），），E（0，1，1），），F（0，1，1）， （，1，1），），（0，2，0），）， 设
32、平面设平面 FCE 的法向量的法向量 （x，y，z），）， 则则，取，取 x1，得，得 （1，0，），）， 同理，可取平面同理，可取平面 BEC 的一个法向量为的一个法向量为 （1，0），）， cos， 二面角二面角 FCEB 的余弦值为的余弦值为 19为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字 路口处现从符合条件的路口处现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表名志愿者，他们的年龄情况如表 所示所示 （1） 频率分布表中的） 频率分
33、布表中的、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图 （如位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图 （如 图），图），再根据频率分布直方图估计这再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在名志愿者中年龄在30，35）岁的人数；）岁的人数； （2）在抽出的）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机人参加“规范摩的司机 的交通意识”培训活动，从这的交通意识”培训活动，从这 20 人中选取人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者名志愿者 中“年龄低于中“年
34、龄低于 30 岁”的人数为岁”的人数为 X，求，求 X 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 分组（单位：岁）分组（单位：岁） 频数频数 频率频率 20，25） 5 0.05 25，30） 0.20 30，35） 35 35，40） 30 0.30 40，45 10 0.10 合计合计 100 1.00 解：解：（1）由频数分布表和频率分布直方图，得到：）由频数分布表和频率分布直方图，得到： 处填处填 20，处填处填 0.35；补全频率分布直方图如图所示；补全频率分布直方图如图所示 根据频率分布直方图估计这根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在名志愿者中年龄在30，35）的人数为）
35、的人数为 5000.35175 （2）用分层抽样的方法，从中选取）用分层抽样的方法，从中选取 20 人，人， 则其中“年龄低于则其中“年龄低于 30 岁”的有岁”的有 5 人，“年龄不低于人，“年龄不低于 30 岁”的有岁”的有 15 人人 由题意知，由题意知，X 的可能取值为的可能取值为 0，1，2，且，且 P（X0） ， P（X1） ， P（X2） X 的分布列为：的分布列为： X 0 1 2 P E（X）0+1+2 20椭圆椭圆 C：+1（ab0）的上顶点为）的上顶点为 A，P（，）是）是 C 上的一点，以上的一点，以 AP 为直径的圆经过椭圆为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点的右焦点 F
36、 （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2）动直线）动直线 l 与椭圆与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到轴上是否存在两个定点，它们到 直线直线 l 的距离之积等于的距离之积等于 1？如果存在， 求出这两个定点的坐标； 如果不存在， 请说明理由？如果存在， 求出这两个定点的坐标； 如果不存在， 请说明理由 解：解：（1）F（c，0），），A（0，b），由题设可知），由题设可知，得，得 c2c+0（1 分）分） 又点又点 P 在椭圆在椭圆 C 上，上，a22 b2+c2a22 联立解得，联立解得，c1，b21 故所求椭圆故所求
37、椭圆的方程为的方程为+y21 （2）设动直线）设动直线 l 的方程为的方程为 ykx+m，代入椭圆方程，消去，代入椭圆方程，消去 y，整理，整理， 得（得（2k2+1）x2+4kmx+2m220（）（） 方程（）有且只有一个实根，又方程（）有且只有一个实根，又 2k2+10， 所以所以0，得，得 m22k2+1 假设存在假设存在 M1（1，0），），M2（2，0）满足题设，则由）满足题设，则由 |1 对任意的实数对任意的实数 k 恒成立恒成立 所以，所以， 解得，解得，或或， 所以，存在两个定点所以，存在两个定点 M1（1，0），），M2（1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点），它们恰好是椭圆的
38、两个焦点 21函数函数 f（x），若曲线，若曲线 f（x）在点（）在点（e，f（e）处的切线与直线）处的切线与直线 e2xy+e0 垂直（其中垂直（其中 e 为自然对数的底数）为自然对数的底数） （1）若）若 f（x）在（）在（m，m+1）上存在极值，求实数）上存在极值，求实数 m 的取值范围；的取值范围； （2）求证：当）求证：当 x1 时，时， 解：解：（1）f（x）， f（x）在点（）在点（e，f（ （e）处的切线斜率为）处的切线斜率为， 由切线与直线由切线与直线 e2xy+e0 垂直，垂直， 可得可得 f（e），即有，即有 解得得解得得 a1， f（x），f（x）（x0） 当当 0x1
39、，f（x）0，f（x）为增函数；）为增函数； 当当 x1 时，时，f（x）0，f（x）为减函数）为减函数 x1 是函数是函数 f（x）的极大值点）的极大值点 又又 f（x）在（）在（m，m+1）上存在极值）上存在极值 m1m+1 即即 0m1 故实数故实数 m 的取值范围是（的取值范围是（0，1）；）； （2）不等式）不等式 即为即为 令令 g（x） 则则 g（x）， 再令再令 （x）xlnx，则，则 （x）1， x1（x）0，（x）在（）在（1，+）上是增函数，）上是增函数， （x）（1）10，g（x）0， g（x）在（）在（1，+）上是增函数，）上是增函数， x1 时，时，g（x）g（1）
40、2 故故 令令 h（x），则，则 h（x）， x11ex0，h（x）0，即，即 h（x）在（）在（1，+）上是减函数）上是减函数 x1 时，时，h（x）h（1）， 所以所以h（x），即），即 请考生在（请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑 选修选修 4 一一 4： 坐标系与参数方程： 坐标系与参数方程 22已知直线已知直线 C1（t 为参数），为参数），C2（ 为参数），为参数）， （）当（）
41、当 时，求时，求 C1与与 C2的交点坐标；的交点坐标； （）过坐标原点（）过坐标原点 O 做做 C1的垂线，垂足为的垂线，垂足为 A，P 为为 OA 中点，当中点，当 变化时，求变化时，求 P 点的轨点的轨 迹的参数方程，并指出它是什么曲线迹的参数方程，并指出它是什么曲线 解：解：（）当（）当 时，时，C1的普通方程为的普通方程为，C2的普通方程为的普通方程为 x2+y21 联立方程组联立方程组， 解得解得 C1与与 C2的交点为（的交点为（1，0） （）（）C1的普通方程为的普通方程为 xsinycossin0 则则 OA 的方程为的方程为 xcos+ysin0， 联立联立可得可得 xsin2，ycossin； A 点坐标为（点坐标为（sin2，cossin
