1、1231.已知抛物线已知抛物线则它的焦点坐标是则它的焦点坐标是（）A.B.C.D.抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为焦点焦点在在y轴上，其坐标为（轴上，其坐标为（0,），选），选D.易错点：研究抛物线的几何性质时，易错点：研究抛物线的几何性质时，方程必须是标准方程方程必须是标准方程.234yx，D30,16（）3,016（）1,03（）10,3（）243xy，1342.若抛物线若抛物线 的准线过双曲线的准线过双曲线 的左焦点，则的左焦点，则p的值为（的值为（）A.4 B.-4C.2 D.-2 双曲线双曲线的左焦点为的左焦点为（-2,0），抛物线），抛物线y2=2px的准线方程为的准线方程为所
2、以有所以有 所以所以p=4，选，选A.22ypx 2213yx A2213yx 2px ，22p ，53.抛物线抛物线x2=4y上一点上一点A的纵坐标为的纵坐标为4，则点则点A与抛物线焦点与抛物线焦点F的距离为（的距离为（）A.2B.3C.4D.5D6解法解法1：y=4代入代入x2=4y，得，得x=4，所以所以A（4,4），焦点坐标为（），焦点坐标为（0,1），），由两点间距离公式知距离为由两点间距离公式知距离为解法解法2：抛物线的准线方程为抛物线的准线方程为y=-1，所以，所以A到准线的距离为到准线的距离为5.又因为又因为A到准线的距离与到准线的距离与A到焦点的距离相等，所以距离为到焦点的距
3、离相等，所以距离为5,选选D.22441255.（）（）74.已知抛物线过点已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线），则抛物线的标准方程为的标准方程为.当焦点在当焦点在y轴上时，方程可设为轴上时，方程可设为x2=my，因为过点，因为过点P（-1,2），所以），所以m=，方程，方程为为x2=y；当焦点在；当焦点在x轴上时，方程可设为轴上时，方程可设为y2=nx，因为过点，因为过点P（-1,2），所以），所以n=-4，方程，方程为为y2=-4x.填填x2=y或或y2=-4x.易错点：求抛物线的标准方程，应分易错点：求抛物线的标准方程，应分析焦点所在的位置析焦点所在的位置.22142xyyx 或或1
4、2121285.已知过点已知过点M（2,2）的直线）的直线l与抛物线与抛物线C：y2=4x交于交于A,B两点，且两点，且M是线段是线段AB的的中点中点,则弦长则弦长=.显然直线显然直线l的斜率必存在，设的斜率必存在，设l：y-2=k（x-2），），y-2=k（x-2）y2=4x，AB4 2则由则由，消去，消去x得得y2-y+2-2k=04k9设设A（x1,y1）,B（x2,y2），），M是线段是线段AB的中点，的中点，所以所以得得k=1，则则y2-y=0，得，得y=0或或y=4.所以所以A（0,0）,B（4,4），），所以所以填填1244yyk ，1422444 2AB ，4 2.101.抛物
5、线的定义平面内到一定点抛物线的定义平面内到一定点F的距离的距离与到一条定直线与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程(1)方程方程y2=2px(p0)，x2=2py(p0)叫叫做抛物线的标准方程，其中做抛物线的标准方程，其中“”号决定抛物号决定抛物线的开口方向线的开口方向.11(2)抛物线抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标是的焦点坐标是(,0)，准线方程准线方程x=-，开口向右；，开口向右；抛物线抛物线y2=-2px(p0)
6、的焦点坐标是的焦点坐标是(-,0)，准线方程准线方程x=，开口向左；，开口向左；抛物线抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标是的焦点坐标是(0,)，准线方程准线方程y=-，开口向上；，开口向上；抛物线抛物线x2=-2py（p0）的焦点坐标是）的焦点坐标是（0,-），准线方程），准线方程y=，开口向下，开口向下.2p2p2p2p2p2p2p2p12(3)抛物线抛物线y2=2px(p0)上的点上的点M(x0,y0)与焦与焦点点F的距离的距离抛物线抛物线y2=-2px(p0)上的点上的点M(x0,y0)与焦点与焦点F的距离的距离02pMFx；0.2pMFx 133.抛物线的几何性质抛物线的几何性质(1
7、)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为心率，其值为1.(2)设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点，顶点到准线的距离到准线的距离，焦点到准线的距离为，焦点到准线的距离为p.2p2p14(3)已知过抛物线已知过抛物线y2=2px(p0)焦点的直
8、线焦点的直线交抛物线于交抛物线于A、B两点，则线段两点，则线段AB称为焦点弦，称为焦点弦，设设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长，则弦长=x1+x2+p或或(为直线为直线AB的倾斜角的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=(叫做焦半径叫做焦半径).AB22sinpAB 24p，12pAFx AF15重点突破：抛物线的定义及其应用重点突破：抛物线的定义及其应用 已知抛物线已知抛物线y2=2x的焦点是的焦点是F，点，点P是是抛物线上的动点，又点抛物线上的动点，又点A（3,2），求），求的最小值，并求取最小值时点的最小值，并求取最小值时点P的坐标的坐标.由定义知，抛物线上点由定义知，抛物线上
9、点P到焦到焦点点F的距离等于点的距离等于点P到准线到准线l的距离，求的距离，求的问题可转为求的问题的问题可转为求的问题.PAPF PAPF PAd 16将将x=3代入抛物线方程代入抛物线方程y2=2x，得，得y=.因为因为 2，所以，所以A在抛物线内部在抛物线内部.设抛物线上的点设抛物线上的点P到准线到准线l：x=-的距离的距离为为d，由定义知当由定义知当PAl时，时，取到最小，为取到最小，为.此时点此时点P(2，2).即的最小值为，且即的最小值为，且P(2，2).6612PAPFPAd ，PAd 72PAPF 7217重视定义在解题中的应用，重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上点到焦点
10、的距离与灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化，是解决抛物到准线的距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的主要途径线焦点弦有关问题的主要途径.18在抛物线在抛物线y2=4x上求点上求点P到点到点A(-1,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x=-1的距离之和的的距离之和的最小值最小值.如图，易知如图，易知抛物线的焦点为抛物线的焦点为F(1,0)，准线是准线是x=-1，由抛物线，由抛物线的定义知，点的定义知，点P到直线到直线x=-1的距离等于点的距离等于点P到到焦点焦点F的距离，的距离，19于是问题转化为在曲线上求一点于是问题转化为在曲线上求一点P，使点使点P到点到点A（
11、-1,1）的距离与点）的距离与点P到到F（1,0）的距离之和最小，显然，连接）的距离之和最小，显然，连接AF交曲线于交曲线于P点时有最小值为点时有最小值为 即即.221 ，520 重点突破：抛重点突破：抛物线的标准方程及其物线的标准方程及其几何性质几何性质 如图，抛物如图，抛物线线y2=2px(p0)的焦点的焦点为为F，A在抛物线上，在抛物线上，其横坐标为其横坐标为4，且位于，且位于x轴上方，轴上方，A到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为5，过，过A作作AB垂直于垂直于y轴，垂足为轴，垂足为B，OB的中点为的中点为M.()求抛物线的方程，求抛物线的方程，()过过M作作MNFA，垂足为，垂足
12、为N,求点求点N的的坐标坐标.21()利用点利用点A到准线的距离到准线的距离可求得可求得P.()可求点可求点A的坐标，联立两直线方的坐标，联立两直线方程，看求得交点程，看求得交点N的坐标的坐标.()抛物线抛物线y2=2px(p0)准线为准线为x=-，于是，于是4+=5，所以，所以p=2，所以抛物，所以抛物线的标准方程线的标准方程y2=4x.2p2p22()由由()得点得点A的坐标是的坐标是(4,4)，由题意，由题意得得B(0,4),M(0,2),又因为又因为F(1,0),所以所以kFA=，因为因为MNFA,所以所以kMN=-,则则FA所在的所在的直线方程为直线方程为y=(x-1)，MN所在的直
13、线方程所在的直线方程为为y-2=-x，y=(x-1)y-2=-x43344334解方程组解方程组得得所以所以433485x 45y ，8 4(,).5 5N23求抛物线的标准方程常采求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用已知条件确定抛用待定系数法，利用已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离物线的焦点到准线的距离p的值的值.24抛物线的顶点在原点，焦点抛物线的顶点在原点，焦点在在y轴上，抛物线上一点轴上，抛物线上一点P（m,-3）到焦点的）到焦点的距离为距离为5，则抛物线的准线方程为，则抛物线的准线方程为y=2.由题意可设抛物线方程为由题意可设抛物线方程为x2=-2py（p0），因为），因为P（
14、m,-3）到焦点的距离为）到焦点的距离为5，所以所以P到准线的距离为到准线的距离为+3=5，所以，所以p=4.所以抛物线的准线方程为所以抛物线的准线方程为y=2，填，填y=2.2p25重点突破：直重点突破：直线与抛物线的位置关系线与抛物线的位置关系 如图：如图：AB是过是过抛物线抛物线y2=2px(p0)焦点焦点F的弦，的弦，M是是AB的中点，的中点，l 是 抛 物 线 的 准 线，是 抛 物 线 的 准 线，MNl，N是垂足，设是垂足，设A(x1,y1),B(x2,y2).求证：求证：()y1y2=-p2，x1x2=；()()设设BDl，D为垂足，则为垂足，则A、O、D三点共线三点共线.24
15、p1FA 12;FBp 26（）设出直线设出直线AB的方程，的方程，与抛物线方程联立，消去与抛物线方程联立，消去x得关于得关于y的一元的一元二次方程，结合韦达定理及点二次方程，结合韦达定理及点A、B在抛物在抛物线上，可求得线上，可求得.（）由焦点弦公式可求得由焦点弦公式可求得.（）要证要证A、O、D三点共线，只要三点共线，只要证明点证明点D在直线在直线OA上即可上即可.27()由已知直线由已知直线AB的方程为的方程为y=k(x-)与与y2=2px联立，消去联立，消去x，得：，得：ky2-2py-kp2=0(k0)，根据韦达定理，根据韦达定理，y1y2=-p2.因为因为 所以所以所以所以(当当A
16、Bx轴时，上述的结论显然成立轴时，上述的结论显然成立)2p22112222ypxypx，22212124y yp x x，2121.4x xp 28（）因为因为所以所以由（由（）代入上式，代入上式，化简可得化简可得1222ppFAxFBx ，12111122ppFAFBxx12212121244222242xxpxpxpx xp xxp（）（）21214x xp，112.FAFBp29（）因为点因为点D的坐标为（的坐标为（-,y2），直），直线线OA的方程为的方程为要证要证A、O、D三点共线，只要证明点三点共线，只要证明点D在直线在直线OA上即可，上即可，因此只需证明即证明因此只需证明即证明2
17、x1y2=-py1即可，即可，因为所以只需证明因为所以只需证明即证明即证明y1y2=-p2即可，这已由（即可，这已由（）证明，）证明，所以结论成立所以结论成立.2p11y xyx，1212pyyx ，2112yxp，22121y yp y ，30 解决直线与抛物线的焦点弦问解决直线与抛物线的焦点弦问题，一般设交点坐标，联立方程组，借助题，一般设交点坐标，联立方程组，借助韦达定理及点在抛物线上等条件解题，须韦达定理及点在抛物线上等条件解题，须关注过焦点的弦的一些性质，如关注过焦点的弦的一些性质，如x1x2=，y1y2=-p2，弦长，弦长 =x1+x2+p等等.24p12pAFx ，AB31设设A
18、BC为等腰三角形，为等腰三角形，ABC=120,则则已知抛物线已知抛物线C：y=2x2，直，直线线y=kx+2交交C于于A、B两点，两点，M是线段是线段AB的的中点，过中点，过M作作x轴的垂线交抛物线轴的垂线交抛物线C于点于点N.求证：抛物线求证：抛物线C在点在点N处的切线处的切线l与与AB平行平行.32设设A（x1,）,B（x2,）,将将y=kx+2代入，得代入，得2x2-kx-2=0.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得x1+x2=；x1x2=-1.因为因为所以所以N点的坐标为（点的坐标为（），又因为），又因为y=2x2，所以，所以y=4x，所以过所以过N点切线的斜率点切线的斜率kl=
19、4=k，即，即kl=kAB.所以所以lAB，即，即lAB.212x222x2k1224NMxxkxx，2,48k k4k33已知点已知点A(-1,0)，F(1,0)和抛物线和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点为坐标原点，过点A的的动直线动直线l交抛物线交抛物线C于于M、P两点，直线两点，直线MF交抛物线交抛物线C于另一点于另一点Q，如图，如图()若若POM的面积为，求向量的面积为，求向量与的夹角；与的夹角；()判断直线判断直线PQ与与y轴的位置关系，并说轴的位置关系，并说明理由明理由.OMOP 5234()设设M(x1,y1),P(x2,y2)，利用，利用A、M、P三点共线及与三点共线及
20、与SMOP的关系求解的关系求解.()求出点求出点P、Q坐标的关系，可判断结论坐标的关系，可判断结论.()设点设点M(,y1)、P(,y2),因为因为P、M、A三点共线，三点共线，所以所以kAM=kPM,即即则所以则所以y1y2=4.OP OM 214y224y1122221121444yyyyyy ，1211214yyyy，35所以所以设设POM=，则，则因为因为SPOM=，所以所以由此可得由此可得tan=1，又又（0,），），所以所以=45，故向量与的夹角为故向量与的夹角为45.221212544yyOP OMy y ，cos5OP OM ，52sin5OP OM ，OMOP 36()直线直
21、线MF的方程为的方程为联立抛物线方程联立抛物线方程y2=4x，消去，消去x得：得：即即所以所以 或或y=y1.从而知道点从而知道点Q的纵坐标的纵坐标yQ=-，又由，又由()知，知，y1y2=4，所以，所以y1=.故得故得xP=xQ,所以直线所以直线PQ与与y轴平行轴平行.121(1)41yyxy，21111044yyyyy （），114yy （）11yy （），14yy 14y24y371.抛物线的标准方程有四种形式，在抛物线的标准方程有四种形式，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而
22、不能判断开口方向，可设为而不能判断开口方向，可设为x2=ay（a0）或或y2=ax（a0），然后利用待定系数法和），然后利用待定系数法和已知条件求解已知条件求解.382.抛物线没有中心，只有一个顶点，一抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率e=1，所以与椭圆、双曲线相比，必有许多，所以与椭圆、双曲线相比，必有许多特殊的性质，可以借助几何知识来解决特殊的性质，可以借助几何知识来解决.3.明确明确p的几何意义的几何意义焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线线y2=2px（p0）上的点常设为）上的点常设
23、为 便便于简化计算于简化计算.2,2yyp（），394.重视抛物线的定义在解题中的应用重视抛物线的定义在解题中的应用(1)凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离处理一般运用定义转化为到准线的距离处理.(2)若若P(x0,y0)为抛物线为抛物线y2=2px(p0)）上一）上一点，由定义易得点，由定义易得 若过焦点的弦若过焦点的弦AB的端点坐标为的端点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则弦长为，则弦长为=x1+x2+p，x1+x2可由根与系数的关系整体求出可由根与系数的关系整体求出若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长可若遇到其他
24、标准方程，则焦半径或焦点弦长可由数形结合的方法类似的得到由数形结合的方法类似的得到.02pPFx ；AB；401.（2009山东卷）山东卷）设斜率为设斜率为2的直线的直线l过抛物线过抛物线y2=ax（a0）的焦点）的焦点F,且和且和y轴交轴交于点于点A.若若OAF（O为坐标原点）的面积为坐标原点）的面积为为4,则抛物线方程为（则抛物线方程为（）A.y2=4xB.y2=8xC.y2=4xD.y2=8xB41抛物线抛物线y2=ax（a0）的焦点）的焦点F的的坐标为（坐标为（,0）,则直线则直线l的方程为的方程为y=2（x-）,它与它与y轴的交点为轴的交点为A（0,-）,所以所以OAF的面积为解得的
25、面积为解得a=8.所以抛物线方程为所以抛物线方程为y2=8x,故选故选B.4a4a2a14,2 4 2a a 42本题考查了抛物线的标准方本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算三角形面积的计算.考查数形结合的数学考查数形结合的数学思想思想,其中还隐含着分类讨论的思想其中还隐含着分类讨论的思想,因参因参数数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况情况,这里加绝对值号可以做到合二为一这里加绝对值号可以做到合二为一.432.（2009宁夏宁夏/海南卷）海南卷）已知抛物线已知抛物线C的顶的顶点为坐标原点，焦点在点为坐标原点，焦点在x轴上，直线轴上，直线y=x与抛物与抛物线线C交于交于A，B两点两点.若若P（2,2）为）为AB的中点，的中点，则抛物线则抛物线C的方程为的方程为.设抛物线方程为设抛物线方程为y2=kx，与，与y=x联立，联立，消去消去y得得x2-kx=0,则则x1+x2=k=22=4,故故y2=4x.本题考查抛物线的标准形式，利用本题考查抛物线的标准形式，利用待定系数法确定抛物线的方程待定系数法确定抛物线的方程.y2=4x
