1、5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.1.1 5.1.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 5.1.2 5.1.2 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 5.1.3 5.1.3 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质5.1.1 5.1.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念定义5.1.1 5.1.1 设A是数域P上上n阶方阵，是P上非零n维向量，若有数P使 A (5.1.1)则称为A的特征值，为A的属于的特征向量。从几何上看，矩阵A的一个特征向量经过作用后得到的向量AA与特征向量是共线的，而比例系数就是特征向量所属的特征值。对于数域P上给
2、定的n阶方阵A，它可能有多个特征值，也可能没有特征值.如果A有特征值，那么A的属于的特征向量有多少呢?定理5.1.1 5.1.1 若1,2,s是A的属于的特征向量，则1,2,s的任何非零线性组合=k11+k22+kss也是A的属于的特征向量。证 由条件有 Ai=i,i=1,2,s。从而 A=A(k11+kss)=k1A1+ksAs=k11+kss=(k11+kss)=。故由定义5.1.1，是A的属于的特征向量,证毕.由定理5.1.1可知，若A有特征值，则A的属于的特征向量有无穷多个.相反，若已知A有特征向量，则只能属于A的一个特征值.事实上，若属于A的特征值1，2，则A=1，A=2，从而1=2
3、，得(12)=0，由于特征向量0，故12=0，即1=2.下面给出寻找特征值与特征向量的方法.5.1.2 特征值与特征向量的求法设A=(aij)nn是数域P上 的n阶方阵，若是A的特征值，是A的属于的特征向量，由 nxx1A=,得 A=0,(EA)=0.即注意EA是一个n阶矩阵，把看作未知向量，式(5.1.2)就是一个齐次线性方程组.0)(,0)(,0)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(5.1.3)由于0，故x1,xn不全为零，即x1,xn是(5.1.3)的非零解.而齐次线性方程组(5.1.3)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零
4、,即 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAE定义5.1.2 5.1.2 设A是数域P上的上的n阶方阵，是在P上取值的变量.矩阵EA称为A的特征矩阵.行列式nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211(5.1.4)称为A的特征多项式.它是数域P上以为变元的一个n次多项式.上面分析说明，如果是方阵A的特征值，则必是A的特征多项式的一个根；反之，如果是A的特征多项式在数域P中的一个根，则齐次线性方程组(5.1.3)必有非零解.这样，就是A的一个特征值，而式(5.1.3)的非零解=(x1,xn)T就是A的属于的特征向量.综上所述，确定方阵A的特征值与特征向量的方法分
5、为以下几步:(1)写出A的特征多项式|EA|，并求出它在数域P中全部的根(称为A的特征根)，这些根也就是A的全部特征值;(2)把所求得的特征值逐个地代入方程组(5.1.3)，对每个特征值解方程组(5.1.3)，求出它的基础解系，它们就是属于这个特征值的线性无关特征向量.例5.1.1 5.1.1 求n阶数量矩阵kE的特征值与特征向量.解 kE的特征多项式为 nkkkkkEE特征多项式的根为=k，即kE的特征值只有k，它是一个n重特征根.把=k代入(EkE)=0,得 0 =0.这说明任何非0向量都是kE的特征向量.直接由特征向量的定义也可知，数量矩阵kE左乘任何向量后得到k.例5.1.2 5.1.
6、2 设232142131A为实数域R上的矩阵,求A的特征值与特征向量.解 A的特征多项式为2(1)(3)E A故A的特征值是1(二重特征根)和5.对于特征值解 ，齐次线性方程组 ，得属于特征值1的特征向量0XAE11313从而属于1的全部特征值为 ，。11k10k 对于二重特征值 ，解齐次线性3例5.1.3 5.1.3 设122212221A为实数域R上的矩阵,求A的特征值与特征向量.方程组 ，得属于特征值1的特征向量 ，从而属于特征值3的全部特征向量为 ，。30EA X1(1,1,1)T 11k10k 解 A的特征多项式为)5()1(1222122212AE故A的特征值是1(二重特征根)和5
7、.把特征值1代入 得 齐次线性方程组0XAE.0222,0222,0222321321321xxxxxxxxx它的基础解系是110,10121故属于-1的两个线性无关特征向量就是1，2，而属于-1的全部特征向量是k11+k22,其中k1,k2为不同时为零的所有实数.再把特征值5与代入EA=0得齐次线性方程组.0422,0242,0224321321321xxxxxxxxx它的基础解系是 1113它就是属于5的一个线性无关特征向量.属于5的全部特征向量就是k3，kR,k0。由上述两个例子看出，如果 是特征方程 的单根，那么属于 的线性无关特征向量的个数只有一个；如果 是特征方程 的单根，那么属于
8、 的线性无关特征向量的个数可能等于 的重数，也可能小于 的重数。一般来讲，有如下结果。定理定理5.1.2 5.1.2 设设 是是n n阶方阵阶方阵A A的的k k重特征值重特征值，则，则A A的属于特征值的属于特征值 的线性无关的特征的线性无关的特征向量的个数不超过向量的个数不超过k k。0EA0EA00000000证 反证法。设属于特征值 的线性无关的特征向量的个数为l(lk)个，分别用 表示，由习题3.4中练习题4可知，可找到n-l个n维向量 ，使得 )012,l 12,lln,12,l 12,lln,成为n维向量空间的一组基。以它们作列向量，得到n阶满秩矩阵121(,)llnP 由于 为
9、n维向量，故可由(1,)iAiln 线性表出，且表达式唯一。设12,n 1122(1)iiininAppplin 于是12101020101 1102 121210 1 1 11n 1(,)(,)0000 (,)00000000llnllnlnlnllnl ll nlllnlnnAPAAAAAAApppppppppp 012 0lEPPP即01120lEPP APP故102()lEAEP APEP这意味着 至少是A的l重特征值，而lk,这与 为A的k重特征值矛盾。证毕。005.1.3 特征值与特征向量的性质先看矩阵A的特征多项式 AEf)(的形式.由于 nnnnnnaaaaaaaaaAEf21
10、2222111211)(由行列式定义，展开式中有一项是主对角线元素的连乘积：Caaafnn)()()(2211而其余各项中至多包含n-2个主对角线的元素，它对的次数最多是 n-2因此特征多项式中含的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，所以 Caaafnnnn12211)()(把=0代入上式得:AAfCn)1()0(从而：Aaaafnnnnn)1()()(12211(5.1.5)定义5.1.3 5.1.3 方阵A的主对角线元素之和(a11+a22+ann)称 为A的迹，记为tr(A).定理5.1.3 5.1.3 若n阶方阵A在数域P上有n个特征值(重根按重数计)，则A的全体特征
11、值之和等于A的迹tr(A).A的全体特征值之积等于A的行列式A.证 设A的特征值为1,2,n,则 )()()(21nAEfnnnnnf21121)1()()(即 与(5.1.5)式比较即得.,21221121Aaaannnn证毕.推论 复数域方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.定理5.1.4 5.1.4 若n阶可逆阵A的特征值为1,2,n,则A1的特征值恰为 1/1,1/2,1/n.证 由于A可逆，由定理5.1.3知i0(i=1,2,n)，因此 1/1,1/2,1/n 有意义.设 i是A的属于特征值i的特征向量，则A i=i i,(i=1,2,n),此式左乘A-1得 i=i(A-1
12、i),即 iiiA11从而1/i是A-1的特征值.故A-1的全部特征值恰为 1/1,1/2,1/n.证毕.例5.1.4 5.1.4 证明若是正交矩阵Q的特征值，则1/也是Q的特征值.证 设Q为正交矩阵，则EQQQQTTTQQ1且 由定理5.1.4，1/是Q-1的特征值，从而是QT 的特征值.由于 TTQEQEQE)(故Q与QT的特征多项式相等，即Q与QT有相同特征值.这就证明了1/也是Q的特征值.例5.1.5 5.1.5 设A是准对角阵sAAAA21则A1,A2,As的所有特征值就是A的全部特征值.证 令Ei(i=1,2,s)是与Ai(i=1,2,s)同阶的单位阵，则有 ssAEAEAEAE2
13、211ssAEAEAE2211从而A的特征多项式是所有Ai(i=1,2,s)的特征多项式之积.故Ai(i=1,2,s)的所有特征值就是A的全部特征值.下面给出特征向量的一个重要性质.定理5.1.5 5.1.5 若1,2,m是A的m个不同特征值，1,2,m是分别属于它们的特征向量，则1,m是线性无关的.证 对不同特征值的个数m作归纳法.当m=1时，单个非零的特征向量总是线性无关的，定理成立.现设对m1个属于不同特征值的特征向量定理成立，考察m个属于不同特征值的特征向量1,2,m，令 02211mmkkk(5.1.6)用A左乘(5.1.6)式得0222111mmmkkk(5.1.7)再用m乘(5.
14、1.6)式并与(5.1.7)式相减得 0)()()(111222111mmmmmmkkk由归纳假设1,m-1线性无关，且 )1,2,1(0miim故k=k2=km-1=0，这时，式(5.1.6)变为 0mmk由于m0，又有km=0.这样证明了1,2,m线性无关.证毕。更一般地有如下定理。定理5.1.6 设阶方阵有m个互不相同的特征值 ，而属于 的所有线性无关特征向量有 个:那么m,21),2,1(miiir12,iiiir由这些特征向量组成的向量组 ，也线性无关.111211,r222221,rmmrmm,21证证 设112211 111121 2122110.mmrrrrmmmrmrkkkkkk (5.1.8)记mikkkijrjijiririiiiii,2,1,111则(5.1.8)式可以写成021m(5.1.9)显然这m个向量全为零向量.若有某些，由定理5.1.1可知，仍是属于的特征向量，而(5.1.9)式说明，这些属于不同特征值的特征向量线性相关，此与定理5.1.5矛盾.故必 全为0.即0ii12,m 110,1,2,iiiiiirirkkin又 线性无关，得kij=0,i=1,m；j=1,ri.从而向量组 ，,，线性无关.证毕.iiri,11111,r2221,rmmrm,1
