1、11分类加法计数原理与分类加法计数原理与分步乘法计数原理分步乘法计数原理第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点：重点：两个原理的理解与应用两个原理的理解与应用难点：难点：学生对事件的把握学生对事件的把握栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理1.分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m种不同的种不同的方法，在第方法，在第2类方案中有类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法种不同
2、的方法mn做一做做一做1.若你班有男生若你班有男生26人，女生人，女生24人，从中选一位同学为数学课代人，从中选一位同学为数学课代表，有表，有_种不同选法种不同选法答案：答案：50栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1步有步有m种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同种不同的方法的方法mn 想一想想一想 分步乘法计数原理中的分步乘法计数原理中的“各步方法各步方法”能单独能单独“完成这件事完成这件事”吗？吗？提示：
3、提示：不能不能 做一做做一做2.已知集合已知集合A1，2，B3，4，5，从集合，从集合A和集合和集合B中分别中分别取一个元素作为平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，可确定取一个元素作为平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，可确定_个不同点个不同点答案：答案：6栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型一分类加法计数原理题型一分类加法计数原理在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？多少个？【解解】法一法一:按十位上的数字分别是按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成的情况分成8类类,在每一类中满足题目条件的两
4、位数分别是在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个.由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有符合题意的两位数共有 8765432136(个个).栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理法二法二:按个位上的数字是按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在每一类中满足条在每一类中满足条件的两位数分别是件的两位数分别是1个个,2个个,3个个,4个个,5个个,6个个,7个个,8个个,所以按分类加所以按分类加法计数原理法计数原理,满足条件的两位数共有满足条件的两位数共有 1234567836(个个)
5、.【名师点评名师点评】分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都是相互独立的是相互独立的,且每一类方法中的每一种方法都可以独立地完成且每一类方法中的每一种方法都可以独立地完成这件事这件事.在应用该原理解题时在应用该原理解题时,首先要根据问题的特点首先要根据问题的特点,确定好分确定好分类的标准类的标准.分类时应满足分类时应满足:完成一件事的任何一种方法完成一件事的任何一种方法,必属于某必属于某一类且仅属于某一类一类且仅属于某一类.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理 互动探究互动探究1.本例条件不变本例条件不变,问个位数字小于十位数字的两位数共有多少
6、个问个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?解解:当个位数字为当个位数字为0,1,2,3,4,5,6,7,8时时,符合条件的两位数分别有符合条件的两位数分别有9,8,7,6,5,4,3,2,1个个,根据加法计数原理共有根据加法计数原理共有 98765432145(个个).栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型二分步乘法计数原理题型二分步乘法计数原理 已知已知a3,4,6,b1,2,7,8,r8,9,则方程则方程(xa)2(yb)2r2 可表示多少个不同的圆可表示多少个不同的圆?【解解】按按a、b、r取值顺序分步考虑取值顺序分步考虑:第一步第一步,a从从3、4、6中任取一个数中任取一个
7、数,有有3种取法种取法;第二步第二步:b从从1、2、7、8中任取一个数中任取一个数,有有4种取法种取法;第三步第三步:r从从8、9中任取一个数中任取一个数,有有2种取法种取法;由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,表示的不同圆有表示的不同圆有N34224(个个).【名师点评名师点评】利用分步乘法计数原理解决问题时利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设一定要正确设计计“分步分步”的程序的程序,即完成这件事共分几步即完成这件事共分几步,每一步的具体内容是每一步的具体内容是什么什么,各步的方法、种数是多少各步的方法、种数是多少,最后用分步乘法计数原理求解最后用分步乘法计数原理求解.栏目栏目
8、导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练2.一个乒乓球队里有男队员一个乒乓球队里有男队员5人人,女队员女队员4人人,从中选出男、女队员从中选出男、女队员各一名组成混合双打各一名组成混合双打,共有不同的选法种数为共有不同的选法种数为_.解析解析:“完成这件事完成这件事”需选出男、女队员各一人需选出男、女队员各一人,可分两步进行可分两步进行:第一步第一步:选一名男队员选一名男队员,共有共有5种选法种选法;第二步第二步:选一名女队员选一名女队员,共有共有4种选法种选法;由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,共有共有5420(种种)选法选法.答案答案:20栏目栏目导引导引第一章计数原理
9、第一章计数原理题型三两个计数原理的应用题型三两个计数原理的应用 一个袋子里装有一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里另一个袋子里装有装有12张不同的中国联通手机卡张不同的中国联通手机卡.(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用,共有多少种不共有多少种不同的取法同的取法;(2)某人手机是双卡双待机某人手机是双卡双待机,想得到一张移动卡和一张联通卡供自己想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用今后使用,问一共有多少种不同的取法问一共有多少种不同的取法?【思路点拨思路点拨】(1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法
10、从两个袋子中任取一张卡有两类取法,是分类是分类加法计数原理加法计数原理;(2)从两个袋子中各取一张卡从两个袋子中各取一张卡,要分两步完成要分两步完成,是分步乘法计算原理是分步乘法计算原理.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【解解】(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况从两个袋子中任取一张卡有两类情况:第一类第一类:从第一个袋子中任取一张移动手机卡从第一个袋子中任取一张移动手机卡,共有共有10种取法种取法;第二类第二类:从第二个袋子中任取一张联通手机卡从第二个袋子中任取一张联通手机卡,共有共有12种取法种取法.根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理,共有共有101222(种种)取法取
11、法.(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行:第一步第一步,从第一个袋子中任取一张移动手机卡从第一个袋子中任取一张移动手机卡,共有共有10种取法种取法.第二步第二步,从第二个袋子中任取一张联通手机卡从第二个袋子中任取一张联通手机卡,共有共有12种取法种取法.根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理,共有共有1012120(种种)取法取法.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】综合应用两个原理时综合应用两个原理时,一定要把握好一定要把握好分类分类与与分步分步.分类是根据完成方法的不同类别分类是根据完成方法的不同类别,分步是根
12、据一种方法分步是根据一种方法进程的不同步骤进程的不同步骤.分类与分步不是人为的主观臆造分类与分步不是人为的主观臆造,而是由题目中而是由题目中的客观条件所决定的的客观条件所决定的.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练3.将将1,2,3,9这这9个数字填在如图所示的个数字填在如图所示的9个空格中个空格中,要求每一行要求每一行从左到右从左到右,每一列从上到下分别依次增大每一列从上到下分别依次增大,当当3,4固定在图中的位置固定在图中的位置时时,填写空格的方法数为填写空格的方法数为()A.6种种 B.12种种 C.18种种 D.24种种解析解析:选选A.由题意可知由题意可知,第
13、一行从左到右前面两个格子只能填写第一行从左到右前面两个格子只能填写1,2,最右下角的格子只能是最右下角的格子只能是9,这样只剩下数字这样只剩下数字5,6,7,8去填剩下的去填剩下的四个格子四个格子.若右上角填若右上角填5,则右列中间可填则右列中间可填6,7,8,有有3种填法种填法,此时最此时最下面的两空只有一种填法下面的两空只有一种填法.同理同理,当右上角填当右上角填6时时,右列中间有右列中间有2种种填法填法,当右上角填当右上角填7时时,右列中间只有右列中间只有1种填法种填法,因此填写空格的方因此填写空格的方法数为法数为:3216(种种).栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理1.从从1
14、,2,3,4中选三个数字中选三个数字,组成无重复数字的整数组成无重复数字的整数,问问:满足下列满足下列条件的数有多少个条件的数有多少个?(1)三位数三位数;(2)三位数的偶数三位数的偶数.解解:(1)三位数有三个数位三位数有三个数位 ,故可分三个步骤完成故可分三个步骤完成:第第1步步,先排个位先排个位,从从1,2,3,4中选中选1个数字个数字,有有4种方法种方法;第第2步步,排十位排十位,从剩下的从剩下的3个数字中选个数字中选1个个,有有3种方法种方法;第第3步步,排百位排百位,可以从剩下的可以从剩下的2个数字中选个数字中选1个个,有有2种方法种方法.百百位位十十位位个个位位依据分步乘法计数原
15、理依据分步乘法计数原理,共有共有43224(个个)满足要求的三位数满足要求的三位数.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理(2)分三个步骤完成分三个步骤完成:第第1步步,先排个位先排个位,从从2,4中选中选1个个,有有2种方法种方法;第第2步步,排十位排十位,从余下的从余下的3个数字中选个数字中选1个个,有有3种方法种方法;第第3步步,排百位排百位,只能从余下的只能从余下的2个数字中选个数字中选1个个,有有2种方法种方法.故共有故共有23212(个个)三位数的偶数三位数的偶数.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理2.用用5种不同颜色给如图中的种不同颜色给如图中的A、B、C、D四个
16、区域涂色四个区域涂色,规定一个规定一个区域只涂一种颜色区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不相同相邻的区域颜色不相同,问有多少种不同的涂色问有多少种不同的涂色方法方法?解解:先分成两类先分成两类:第一类第一类,D与与A不同色不同色,则分成四步完成则分成四步完成.第一步涂第一步涂A有有5种方法种方法;第二第二步涂步涂B有有4种方法种方法;第三步涂第三步涂C有有3种方法种方法;第四步涂第四步涂D有有2种方法种方法.由由乘法原理乘法原理,共有共有5432120(种种)方法方法;栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理第二类第二类,A、D同色同色,则分成三步完成则分成三步完成.第一步涂第一步涂A和和D
17、有有5种方种方法法;第二步涂第二步涂B有有4种方法种方法;第三步涂第三步涂C有有3种方法种方法.由乘法原理由乘法原理,共有共有54360(种种)方法方法;所以共有所以共有12060180(种种)不同方法不同方法.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理方法技巧方法技巧1.使用两个原理解题的本质使用两个原理解题的本质栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理失误防范失误防范用两个计数原理解决具体问题时用两个计数原理解决具体问题时,首先要分清是首先要分清是“分类分类”还是还是“分分步步”,其次要清楚其次要清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准的具体标准,在在“分类分类”时要做到时要做到“不重不漏不重不漏”,在在“分步分步”时要正确设计时要正确设计“分步分步”的程序的程序,注意步与步注意步与步之间的完整性之间的完整性.2.两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法
