1、1.1 函数(59)31.1.1 1.1.1 变量与区间变量与区间1.1.集合集合 具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA|所所具具有有的的特特征征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma,Ma.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA记作记作1.1 函数(59)4数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:R.QQ,ZZN,.,相等相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA)(BA ,2,1 A例如
2、例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,|2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.1.1 函数(59)52.2.区间区间 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且|bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作|bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboab1.1 函数(59)6|bxax|bxax 称为半闭区间称为半闭区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作|
3、),xaxa|),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义：区间长度的定义：两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的称为区间的长度长度.1.1 函数(59)73.3.邻域邻域.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.|)(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.|0|)(axxaU,|邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 1.1 函数(59)84.4.常量与变量常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变
4、的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.1.1 函数(59)95.5.绝对值绝对值0,0,aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:1.1 函数(59)101.1.2 1.1.2 函数的概念函数的概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn si
5、n2,5,4,3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)1.1 函数(59)11因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(值域称为函数的称为函数的函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy ).()(DfDxfyf 和值 的定义 函数域域域域 1.1 函数(59)12()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素：函数的两要素：定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意
6、义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（即自然定义域）的一切实数值（即自然定义域）.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D1.1 函数(59)13定义：定义：.)(),(|),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做数叫做单值函数单值函数，否，否则叫与则叫与多值函数多值函数例如，例如，222ayx C1.1 函数(59)14 (1)符号函数符号函数 010001sg
7、nxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn1.1 函数(59)15(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x1.1 函数(59)16 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数1.1 函数(59)17(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg1.1
8、函数(59)18 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数。1.1 函数(59)19例例 1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0(tt解解UtoE),2(E)0,(2,2,0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即1.1 函数(5
9、9)20,),(时时当当 t.0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(,0,2(),(22,0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2 1.1 函数(59)21例例 2 2.)3(,212101)(定义域定义域的的求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故1.1 函数(59)221.1.3 1.1.3 函数的特性函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX1函数的有界性函数的有界性:.)(否否
10、则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf1.1 函数(59)232函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf)1(),()(21xfxf恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI1.1 函数(59)24)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上
11、任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI)2(),()(21xfxf恒有恒有1.1 函数(59)253函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf1.1 函数(59)26有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 1.1 函数(59)274函数的周期性函数的周期性:（通常周期函数的周期是指其最小正（通常周期函数的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的
12、定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 期函数，称为周 恒成立，则)(xf且任意使得数,DlxDxl 对于.)(的周期 称为xfl2l 2l23l 23l1.1 函数(59)28例例 3 3解解,01)(QxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD ,1)57(D,0)21(D,1)(xDDoxy1单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,1.1 函数(59)291.1.4 1.1.4 复合函数与反函数复合函数与反函数1.复合函数复
13、合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y1.1 函数(59)30注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 1.1 函数(59)310 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o2.反函数反函数1.1 函数(59)32)(xfy 直直接接
14、函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称。对称。xy 1.1 函数(59)331.1.5 1.1.5 初等函数初等函数(1)幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 1.基本初等函数基本初等函数1.1 函数(59)34(2)指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 1.1 函数(59)35(3)对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(1.1 函数(59)36(4)三角函
15、数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 1.1 函数(59)37xycos xycos 余弦函数余弦函数1.1 函数(59)38正切函数正切函数xytan xytan 1.1 函数(59)39xycot 余切函数余切函数xycot 1.1 函数(59)40正割函数正割函数xysec xysec 1.1 函数(59)41xycsc 余割函数余割函数xycsc 1.1 函数(59)42(5)反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数1.1 函数(59)43xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数1.1 函数(59)44xyarctan x
16、yarctan 反正切函数反正切函数1.1 函数(59)45 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc1.1 函数(59)462.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数函数,称为称为初等函数初等函数。例例4 4 设22,0e,1(),(),1,0,1().xxxxf xxxxxxfx 求求解解()e,()1()(),()1xxfxxx
17、 1.1 函数(59)4701()1,x ,0 x或或()21,xx ;20 x,0 x或或2()11,xx;1 x02()1,x ,0 x或或()21,xx ;2 x,0 x或或2()11,xx ;01 x1.1 函数(59)48综上所述综上所述2212e,12,10().02e,1,2xxxxxfxxxx 1.1 函数(59)491.1.6 1.1.6 小结与思考题小结与思考题基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数1.小结小结1.1 函数(
18、59)50函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项的函数有无穷多项的函数等等)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)1.1 函数(59)512.思考题一思考题一设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.1.1 函数(59)52思考题一解答思考题一解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故).0(,11)(2 xxxxf1.1 函数(59)533.思考题二思考
19、题二下下列列函函数数能能否否复复合合为为函函数数)(xgfy ，若若能能，写写出出其其解解析析式式、定定义义域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)(xxgu1.1 函数(59)54思考题二解答思考题二解答2)()1(xxxgfy ,10|xxDx21,0)(Df)2(不能不能01sin)(xxg)(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集的定义域之交集是空集.1.1 函数(59)55课堂练习题课堂练习题._)(ln31)(4的的定定义义域域为为，则则函函数数，的的定定义义域域为为、函函数数xfxf1.1 函数(59)56._2lnsi
20、n5复复合合而而成成由由、函函数数xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(62的的定定义义域域为为，的的定定义义域域为为，的的定定义义域域为为，为为）的的定定义义域域（，则则，的的定定义义域域为为、若若 aaxfaxfaaxfxfxfxf11()01()e11()().xxf xxg xxf g xg f x ，二二、若若，求求，1.1 函数(59)57.)()()(30.05020.0500220之之间间的的函函数数关关系系千千克克于于行行李李重重量量元元元元，试试建建立立行行李李收收费费超超出出部部分分每每千千克克千千克克元元，超超出出千千克克每每千千克克收收费费费费，千千克克以以下下不不计计定定如如下下：四四、火火车车站站行行李李收收费费规规xxf1.1 函数(59)58课堂练习题答案课堂练习题答案1.1 函数(59)59
