1、文科数学 第 1 页（共 13 页） 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）联考 数学（文科） （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1已知i为虚数单位，若复数 12i 1 2i z ，则z A 9 i 5 B1 i C1i Di 2已知集合 2 |1Ax x， |ln1Bxx ，则 A |0eABxx B |eABx x C |0eABxx D | 1eABxx 3 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F， 若双曲线
2、C的一条渐近线的倾斜角为 3 ， 且点F到 该渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴的长为 A1 B2 C4 D 8 5 5 4从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图： 根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A171.25cm B172.75cm C173.75cm D175cm 5某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为 文科数学 第 2 页（共 13 页） A 8 3 B 4 3 3 C1 D2 6已知实数 , x y满足约束条件 1 1 220 220 x y xy xy ，则2
3、 3xy 的最小值是 A2 B 7 2 C1 D4 7历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆 内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只 用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无 穷级数等各种值的表达式纷纷出现， 使得值的计算精度也迅速增加 华理斯在 1655 年求出一个公式： 224466 21 3 3 5 57 ，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行 该程序框图，已知输出的2.8T ，若判断框内填入的条件为?km，则正
4、整数m的最小值是 A2 B3 C4 D5 8函数 52sin ( )(,0)(0, ) 33 xx xx f xx 的大致图象为 文科数学 第 3 页（共 13 页） 9如图，在三棱锥DABC中，DC 平面ABC，AC BC，2ACBCCD，E，F，G分别是棱 AB，AC，AD的中点，则异面直线BG与EF所成角的余弦值为 A0 B 6 3 C 3 3 D1 10已知函数 ( )2sin()(0,0) 3 f xxA ，将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象，若函数 ( )g x的图象的一条对称轴是 6 x ，则的最小值为 A 1 6 B 2 3 C 5
5、 3 D 5 6 11已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（设点A位于 第一象限） ，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 1 A， 1 B，抛物线C的准线交x轴 于点K，若 1 1 | 2 | AK B K ，则直线l的斜率为 A1 B 2 C2 2 D 3 12在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 2 3 C ，1c 当, a b变化时，若zba存在 最大值，则正数的取值范围为 A(0,1) B(0,2) C 1 ( ,2) 2 D(1,3) 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，
6、共 20 分） 13已知向量 ( 2,1) a ， (1,)mb ，若向量ab与向量a平行，则实数m _ 14 已知函数 2 |1|,0 ( ) 4,0 xx f x xx ， 若函数 ( )yf xa 有3个不同的零点 123123 ,()x xx xxx ， 则12 3 a xx x 的取值范围是_ 文科数学 第 4 页（共 13 页） 15若 1 sin() 63 ，(0, )，则cos_ 16若存在直线 l 与函数 1 ( )(0)f xx x 及 2 ( )g xxa的图象都相切，则实数a的最小值为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
7、） 17 （本小题满分 12 分） 为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小 卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛现从全校学生中随机抽取 50 名学生，统计他们的竞 赛成绩，已知这 50 名学生的竞赛成绩均在50，100内，并得到如下的频数分布表： 分数段 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 人数 5 15 15 12 3 （1）将竞赛成绩在70,100内定义为“合格”，竞赛成绩在50,70)内定义为“不合格”请将下面的 22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是
8、高一 新生”有关？ 合格 不合格 合计 高一新生 12 非高一新生 6 合计 （2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这 50 名学生中抽取 5 名学生，再 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，求这 2 名学生竞赛成绩都合格的概率 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 满足 11 2(2) nn nn aa n aa ，且
9、 12 aa ， 3 1 5 a ， 125 ,a a a成等比数列 （1）求证：数列 1 n a 是等差数列，并求数列 n a 的通项公式； （2）记数列 1 n a 的前 n 项和为 n S， +1 1 4 nnnn ba aS ，求数列 n b 的前 n 项和 n T 19 （本小题满分 12 分） 如图，已知正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，BMAN，2NAAB，4BM ， 文科数学 第 5 页（共 13 页） 2 3CN （1）证明：MN 平面BCN； （2）求点 N 到平面 CDM 的距离 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab
10、 ab 过点 2 ( 2,) 2 ， 设椭圆的上顶点为B， 右顶点和右焦点分别为A， F，且 5 6 AFB （1）求椭圆的标准方程； （2） 设直线: (1)l ykxn n 交椭圆于P，Q两点， 设直线BP与直线BQ的斜率分别为 BP k ，BQ k ， 若 1 BPBQ kk ， 试判断直线l是否过定点？若过定点， 求出该定点的坐标； 若不过定点， 请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )(1)lnf xaxax x ，aR （1）当1a 时，讨论函数 ( )f x的单调性； （2）若1a ，当 1,2x 时，函数 23 412 ( )( )F xf x xxx
11、，求函数 ( )F x的最小值 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 8 2 4 2 x t t y t （t为参数） 以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2sin （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若射线 (0) 4 与l和C分别交于点, A B，求| |AB 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) |21|1|f xxax
12、，aR 文科数学 第 6 页（共 13 页） （1）当2a 时，求不等式 1( )1f x 的解集； （2）当 1 (,0) 2 x 时，不等式( )2f xx恒成立，求实数a的取值范围 答案+全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D B C C B B A B C C C 1B 【解析】因为 2 12i(12i)(2i)2i4i2i 1111i 2i(2i)(2i)5 z ，所以 1iz ，故选 B 2D 【解析】因为 2 |1 | 11Ax xxx ， |ln1 |0eBxxxx ， 所以 |01ABxx ， | 1eABxx ，故选 D 3B 【解析】双曲线
13、C的渐近线方程为 b yx a ，由题可知tan3 3 b a 设点 ( ,0)F c ，则点F到直线3yx的距离为 22 |3 | 3 ( 3)( 1) c ，解得2c ， 所以 222222 344cabaaa，解得 1a ，所以双曲线C的实轴的长为22a ，故选 B 4C 【解析】由题可得0.005 2 0.020 20.040(1) 10a ，解得0.010a ， 则(0.005 0.0100.020) 100.35 ，0.350.040 100.750.5， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为 0.50.35 17010173.75(cm) 100.040 ，故选 C 5C 【解
14、析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为3，所 以该几何体的体积 113 2231 322 V ，故选 C 6B 【解析】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设 23zxy ，则 21 33 yxz ，易知当直线 21 33 yxz 经过点D时，z 取得最小值， 由 1 220 x xy ，解得 1 1 2 x y ，所以 1 ( 1, ) 2 D ，所以 min 17 2( 1)3 22 z ，故选 B 文科数学 第 7 页（共 13 页） 7B 【解析】初始：1k ，2T ，第一次循环： 228 22.8 133 T ，2k ，继续循环
15、； 第二次循环： 844128 2.8 33545 T ，3k ，此时2.8T ，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ，所以正整数m的最小值是 3，故选 B 8A 【解析】因为 5()2sin()52sin ()( ) 3333 xxxx xxxx fxf x ，所以函数 ( )f x是偶函数，排除 B、D， 又 5 ( )0 33 f ，排除 C，故选 A 9B 【解析】根据题意可得BC 平面ACD，EFBC，则CBG即异面直线BG与EF所成的角，连接 CG，在RtCBG中，cos BC CBG BG ，易得 2 2BDADAB，所以6BG ，所以cos CBG 26
16、36 ，故选 B 10C 【解析】将函数 ( )f x的图象向左平移 3 个单位长度，得到函数( ) 2sin() 33 g xx 的图象，因 为函数 ( )g x的图象的一条对称轴是 6 x ， 所以sin()1 633 ， 即, 6332 kk Z， 所以 5 2 , 3 k kZ，又0 ，所以的最小值为 5 3 故选 C 11C 【解析】根据抛物线定义，可得 1 | |AFAA ， 1 | |BFBB ， 又 11 AAFKBB ，所以 1 1 | 2 | AKAF B KBF ，所以 11 11 | 2 | AKAA B KBB ， 设 1 |(0)BBm m ，则 1 | 2AAm
17、，则 11 1 |21 coscos |23 AABBmm AFxBAA ABmm ， 所以 2 2 sin 3 AFx，所以直线l的斜率tan2 2kAFx故选 C 12C 【解析】因为 2 3 C ，1c ，所以根据正弦定理可得 2 sinsinsin3 abc ABC ，所以 2 sin 3 aA ， 2 sin 3 bB ，所以 2222 sinsinsinsin()(1)sin 323333 zbaBABBB 22 323 cos (1)() sin() 2223 BB ，其中 3 tan 2 ，0 3 B ， 因为zba存在最大值，所以由 2, 2 Bkk Z，可得22, 62 k
18、kk Z， 文科数学 第 8 页（共 13 页） 所以 3 tan 3 ，所以 33 23 ，解得 1 2 2 ，所以正数的取值范围为 1 ( ,2) 2 ，故选 C 13 1 2 【解析】由题可得( 1,1)m ab，因为向量ab与向量a平行，所以2 (1)1 ( 1)0m ， 解得 1 2 m 14( 2,0 【解析】作出函数( )yf x 的图象及直线y a ，如下图所示，因为函数 ( )yf xa 有3个不同 的零点 123123 ,()x xx xxx ， 所以由图象可知 12 2xx ， 3 1 0 2 x， 2 33 ()4af xx， 所以12 3 a xx x 3 24( 2
19、,0x 15 2 61 6 【解析】因为 (0, )，所以 7 (,) 666 ，又 1 sin()0 63 ，所以 7 ( ,) 66 ， 则 2 12 2 cos()1() 633 ，所以coscos()cos()cossin()sin 666666 2 23112 61 ()() 32326 16 3 3 2 2 【解析】设直线 l 与函数 ( )f x及( )g x的图象分别相切于 1 ( ,)(0)A mm m ， 2 ( ,)B n na， 因为 2 1 ( )fx x ， 所以函数 ( )f x的图象在点A处的切线方程为 2 11 ()yxm mm ， 即 2 12 yx mm
20、， 因为 ( )2g xx ， 所以函数 ( )g x的图象在点B处的切线方程为 2 2 ()ynan xn， 即 2 2yn x na， 因为存在直线 l 与函数 ( )f x及( )g x的图象都相切，所以 2 2 1 2 2 n m na m ，所以 4 12 4 a mm ， 令 1 (0)tt m ，设 4 1 ( )2 (0) 4 h ttt t ，则 3 ( )2h tt， 当 3 2t 时， ( )0h t ，函数 ( )h t单调递减；当 3 20t 时， ( )0h t ，函数 ( )h t单调递增， 所以 3 3 min 3 2 ( )(2) 2 h th ，所以实数a的
21、最小值为 3 3 2 2 17 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）补充完整的22列联表如下： 合格 不合格 合计 高一新生 12 14 26 文科数学 第 9 页（共 13 页） 非高一新生 18 6 24 合计 30 20 50 （2 分） 则 2 K的观测值 2 50 (12 6 14 18)225 4.3273.841 30 20 24 2652 k ， （4 分） 所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关 （6 分） （2）抽取的 5 名学生中竞赛成绩合格的有 5 303 50 名学生，记为, ,a b c， 竞赛成绩不合格的有 5 202 5
22、0 名学生，记为,m n， （8 分） 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生的基本事件有：,ab ac bc am an bm bn cm cn mn， 共 10 种，（10 分） 这 2 名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：,ab ac bc，共 3 种， （11 分） 所以这 2 名学生竞赛成绩都合格的概率为 3 10 P （12 分） 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）因为 11 2(2) nn nn aa n aa ，所以 0 n a ，所以 11 112 nnn aaa ， 所以数列 1 n a 是等差数列， （2 分） 设数列 1 n a 的公差为d，由 12 aa
23、可得0d ， 因为 125 ,a a a成等比数列，所以 2 1 52 aaa，所以 2 152 111 aaa ，所以 2 333 111 (2 )(2 )()ddd aaa ， 因为 3 1 5 a ，所以 2 (52 )(52 )(5)ddd， （4 分） 解得0d （舍去）或2d ，所以 3 11 (3)21 n ndn aa ，所以 1 21 n a n （6 分） （2）由（1）知 1 21 n a n ， 2 (121) 2 n nn Sn ， 所以 2 +1 111111 () 4(21)(21)44(21)(21)8 2121 nnnn n ba aS nnnnnn ， （9
24、 分） 所以 11111111 (1)(1) 8335212182184 n n T nnnn （12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】（1） 因为正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直， 平面ABCD平面ABMNAB， BCAB，所以BC 平面 ABMN， 因为MN 平面 ABMN，BN 平面 ABMN，所以BCMN，BCBN， （2 分） 因为2,2 3BCCN，所以 22 2 2BNCNBC ， 因为2NAAB，所以 222 ABANBN，所以AB AN， 因为在直角梯形 ABMN 中，4BM ，所以2 2MN ， （4 分） 文科数学 第 10 页（共
25、13 页） 所以 222 BNMNBM，所以BN MN，因为BCBNB，所以MN 平面BCN （6 分） （2）如图，取 BM 的中点 E，则BEAN， 又 BMAN，所以四边形 ABEN 是平行四边形，所以 NEAB， 又 ABCD，所以 NECD，因为NE 平面 CDM，CD 平面 CDM，所以 NE平面 CDM， 所以点 N 到平面 CDM 的距离与点 E 到平面 CDM 的距离相等， （8 分） 设点 N 到平面 CDM 的距离为 h，由BEEM可得点 B 到平面 CDM 的距离为 2h， 由题易得CD 平面 BCM，所以CDCM，且 2222 242 5CMBCBM ， 所以 111
26、14 5 222 52 32323 B CDM h VCDCMhh ， （10 分） 又 11118 224 32323 MBCD VBCCDBM ，所以由 B CDMMBCD VV 可得 4 58 33 h ， 解得 2 5 5 h ，所以点 N 到平面 CDM 的距离为 2 5 5 （12 分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）因为椭圆过点 2 ( 2,) 2 ，所以 22 21 1 2ab ， （1 分） 设O为坐标原点，因为 5 6 AFB ，所以 6 BFO ，又 22 |BFcba，所以 1 2 ba ， （3 分） 将联立解得 2 1 a b （负值舍去） ，所以
27、椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y （4 分） （2）由（1）可知 (0,1)B ，设 11 (,)P x y ， 22 (,)Q xy 将y kxn 代入 2 2 1 4 x y，消去y可得 222 (1 4)8440kxknxn， （5 分） 则 22222 (8)4(1 4)(44)16(41)0knknkn， 12 2 8 14 kn xx k ， 2 12 2 44 14 n x x k ， （7 分） 所以 122121211212 121212 11()()2(1)() BPBQ yyx kxnxx kxnxkx xnxx kk xxx xx x 2 22 2 2 448
28、2(1) 8 (1)2 1414 1 444(1)(1)1 14 nkn kn k nk kk nnnn k ， （10 分） 所以21nk ，此时 22 164( 21)1640kkk ，所以0k ， 文科数学 第 11 页（共 13 页） 此时直线l的方程为 21ykxk ，即 (2) 1yk x ， （11 分） 令2x ，可得 1y ，所以直线l过定点，该定点的坐标为(2, 1) （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题可得函数 ( )f x的定义域为(0,)， 2 222 11(1)1(1)(1) ( )(0) aaxaxxax fxax xxxx ， 当0
29、a 时，10ax ，令 ( )0fx ，可得1x ；令 ( )0fx ，可得01x， 所以函数 ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减； （2 分） 当01a时，令 ( )0fx ，可得 1 1x a ；令( )0fx，可得01x或 1 x a ， 所以函数 ( )f x在(0,1)， 1 (,) a 上单调递增，在 1 (1, ) a 上单调递减； 当1a 时， ( )0fx 恒成立，所以函数 ( )f x在(0,)上单调递增 （5 分） 综上， 当0a 时， 函数 ( )f x在(0,1)上单调递增， 在(1,)上单调递减； 当01a 时， 函数 ( )f x在(0,1)
30、， 1 (,) a 上单调递增，在 1 (1, ) a 上单调递减；当1a 时，函数 ( )f x在(0,)上单调递增 （6 分） （2）方法一：当1a 时， 2323 412312 ( )( )2lnF xf xxx xxxxxx ，1,2x， 设 ( )2lng xxx ， 1,2x ，则 22 ( )10 x g x xx ， 所以函数 ( )g x在1,2上单调递减，所以( )(2)22ln2g xg ，当且仅当2x 时取等号 （8 分） 当 1,2x 时，设 1 t x ，则 1 ,1 2 t ，所以 23 23 312 32ttt xxx ， 设 23 ( )32h tttt， 1
31、 ,1 2 t ，则 22 119 ( )3266() 66 h tttt ， 所以函数 ( )h t 在 1 ,1 2 上单调递减，且 15 ( )0 22 h ， (1)10 h ， 所以存在 0 1 ( ,1) 2 t ，使得 0 ( )0h t ，所以当 0 1 2 tt 时， ( )0h t ；当 0 1tt 时，( )0h t ， （10 分） 所以函数 ( )h t在 0 1 ( ,) 2 t 上单调递增，在 0 ( ,1)t 上单调递减， 因为 13 ( ) 22 h ，(1) 2h ， 所以 13 ( )( ) 22 h th ， 所以 23 3123 2xxx ， 当且仅当
32、2x 时取等号 （11 分） 所以当2x 时，函数 ( )F x取得最小值，且 min 37 ( )22ln22ln2 22 F x ， 故函数 ( )F x的最小值为 7 2ln2 2 （12 分） 方法二：当1a 时， 2323 412312 ( )( )2lnF xf xxx xxxxxx ， 1,2x ， 则 32 2344 2326(1)(46) ( )1 xxxx F x xxxxx ， 文科数学 第 12 页（共 13 页） 令 32 ( )46g xxxx， 1,2x ，则 22 113 ( )3243() 33 g xxxx， 所以函数 ( )g x 在1,2上单调递增， （
33、8 分） 又 (1)3,(2)4gg ，所以存在 0 (1,2)x ，使得 0 ()0g x ， 所以函数 ( )g x在 0 1,)x 上单调递减，在 0 ,2x 上单调递增， （9 分） 因为 (1)100, (2)100gg ，所以当 1,2x 时， ( )0g x 恒成立， 所以当 1,2x 时， ( )0F x 恒成立，所以函数 ( )F x在1,2上单调递减， （11 分） 所以函数 ( )F x的最小值为 23 3127 (2)22ln22ln2 2222 F （12 分） 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】 （1）由 8 2 x t 可得0x
34、 ， 由 8 2 4 2 x t t y t ，消去参数t，可得直线l的普通方程为 40(0)xyx （2 分） 由 2sin 可得 2 2 sin，将 siny ， 222 xy代入上式，可得 22 20xyy， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 20xyy （5 分） （2）由（1）得，l的普通方程为 40(0)xyx ， 将其化为极坐标方程可得 cossin40() 2 ， （7 分） 当 0 4 时，2 2 A ，2 B ， 所以| | |2 22 |2 AB AB （10 分） 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】 （1）当2a 时， 1 2, 2 11
35、( ) |21|21|4 , 22 1 2, 2 x f xxxxx x ， （2 分） 当 1 2 x 或 1 2 x 时，| ( )| 2f x ，所以 1( )1f x 可转化为11 2 4 2 11x x ， 解得 11 44 x ，所以不等式 1( )1f x 的解集为 1 1 , 4 4 （5 分） （2）因为 1 (,0) 2 x ，所以|2 1| 21xx ， 文科数学 第 13 页（共 13 页） 所以 ( )2f xx ，即2 1 |1| 2xaxx ，即| 1| 1ax 当0a 时，因为 1 (,0) 2 x ，所以|1| 1ax ，不符合题意 （7 分） 当0a 时，解| 1| 1ax 可得 2 0x a ， （8 分） 因为当 1 (,0) 2 x 时，不等式( )2f xx恒成立，所以 12 (,0)(,0) 2a ， 所以 21 2a ，解得40a ，所以实数a的取值范围为 4,0) （10 分）
