1、ddd模拟滤波器的设计2 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所示。)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c通常只观察正通常只观察正频部分频部分设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法模拟低通滤波器的设计指标构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s)Butterworth（巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近模拟低通滤波
2、器的设计指标有p,p,s和s。p；通带截止频率 s：阻带截止频率 p：通带中最大衰减系数 s；阻带最小衰减系数 p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：2222(0)(0)10lg 10lg()()aapsasapHjHjHjHj1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法(续续)如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图所示。图中c称为3dB截止频率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj ()1/220lg()3acacHjHjdB 滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的
3、指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此2()()()()()aaasjaaHjHjHjHs Hs 逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用。(1)由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数2*()()()aaaHjHjHj()()aasjHs Hs h(t)是实函数2()aHj()aHs()()aaHjHj 将左半平面的的极点归()aHs将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归()aHs()aHs由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将 因式分解，得
4、到各零极点()()aaHs Hs对比 和 ，确定增益常数()aHj()aHs由零极点及增益常数，得()aHs2()()aaHjHs由确定的方法2、Butterworth 低通的设计方法幅度平方函数 1）幅度函数特点 2）幅度平方函数的极点分布 3）滤波器的系统函数 4）滤波器的设计步骤1）幅度平方函数221()1aNcHj当2()1/2acHj时称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽c(0)20lg3()apacHjdBHjN为滤波器的阶数c为通带截止频率2）幅度函数特点：221()1aNcHj20()1aHj 2()1/23capHjdB 3dB不变性c 通带内有最大平坦的幅度特
5、性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22()()()()()()()11aaasjNcHjHjHjH jHjH s Hssj 1211222(1)0.1,2,.,21kjNNkccsjekN 2）幅度平方函数的极点分布：2N个极点等间隔分布在半径为 的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是N rad。cc 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为/N rad 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点一半极点
6、在左半平面一半极点在右半平面？为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为230121 33231345 jccjjccjccsessesesse 10()()NcaNkkHsss设N=3，极点有6个，它们分别为32233()()()()aajjcccHssss 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101()()
7、aNkkccHsss101()()aNkkHppp3）归一化系统函数pk为归一化极点，用下式表示：将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示：121()22,0,1,1kjNkpekN2101211()aNNNHpbb pb pbpp 上式为Buttterworth低通滤波器的归一化系统函数，分母多项式的系数有表可查。4）阶数N与技术指标的关系221()1apNpcHj/10/10101101psspk根据技术指标求出滤波器阶数N：ppss确定技术指标：20lg()PapHj 由12/10110pNpc得：2/10110sNsc同理：sspp令lglgspspkN 则：/10
8、/10101101psNps技术指标转技术指标转化为阶数化为阶数取大于等于N的最小整数关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可由下式求出10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 因为反归一时要用此参数5）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1)根据技术指标p,p,s和s，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点pk，由pk构造归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)反归一化，()()aaacsHsHpH10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 阻带指标有富裕通带指标有富裕此环节可由查表得到巴特沃斯归一化低通滤波器的极点巴特沃斯归一化低通滤波器分母
9、多项式系数10Nbb注意：巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassspppkffNN (2)由 其极点为1121()222(1)()kjNNkccsje 3455016523754,jjjjjsesesesese传输函数401()()akkHpss或由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,
10、-8090j0.5878;-1.0000 系数：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23615432432101()aHppb pb pb pb pb先求3dB截止频率c10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 将c代入(6.2.18)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432()10cacccccHssbsbsbsbsb（3）为将Ha(p)去归一化 此时算出的截至频率比题目中给出的小，或者说在截至频率处的衰减大于30dB，所以说阻带指标有
11、富裕量。3.Chebyshev低通滤波器的设计方法提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数 22221()()1()aNpAHjC Chebyshev型滤波器的幅度平方函数2222211()1()1()aNNpcHjCC222,1()1()CppaNHjC 归一化N：滤波器
12、的阶数Chebyshev型滤波器幅度平方函数：2221()1()aNcHjC ：截止频率，不一定为3dB带宽c ，表示通带波纹大小，越大，波纹越大01 ：N阶Chebyshev多项式()NCxs=s/p当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)-C N-1(x)11cos(cos)1()()1NNxxCxch Nch xx等波纹幅度特性单调增加前两项给出后才前两项给出后才能迭代下一个能迭代下一个cxN=0,4,5切比雪夫多项式
13、曲线 2()1/1caHj 1）幅度函数特点：通带外：迅速单调下降趋向0c 221()1aNcHjC N为偶数2(0)1/1aHj N为奇数(0)1aHj 通带内：在1和 间等波纹起伏c 21/10 切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线2）Chebyshev滤波器的三个参量：221022220lg()10lg()11()101(1)1ppapapapNHjHjHjC ：通带截止频率，给定p ：表征通带内波纹大小由通带衰减决定20.1210lg(1)101pp 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示222220.1220.1220.10.120.10.10.10.11110lg()10
14、lg10lg1()1()()101101()=cosh(arccos)101101101arccos101101arccosarccosa101ssppssppsassNsNPaaNsNssaasaHjCCCCNNN 已知rccoss滤波器阶数N 的确定阻带衰减越大所需阶数越高3）幅度平方特性的极点分布 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：21sin()2,1,2,3,21cos()2ipipishNiNichN 122222211()1iippshNshch上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh
15、(x)，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：111121()21()2111NNNNab(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp，短半轴为ap的椭圆上的点。设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即11()()aNiiHpcpp(6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为111()2()aNNiiHppp(6.2
16、.33a)图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布去归一化后的传输函数为11()2()NpaNNipiHssp(6.2.33b)5.滤波器的设计步骤:0.12101ssp1111()schkNch1ppp归一化：12ps1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：0.1110.1101101spk其中：12ln1pch xxx 3）求出归一化系统函数：()aaapsHsHpH（）=或者由N和 ，直接查表得()aHp其中极点由下式求出：4）去归一化11/(21)(21)sincos221()2()()()piaNNiiaap skkpchjchNNHpppHsHp 例6.2.2设计
17、低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解 (1)滤波器的技术指标：0.1,260,21,4ppppssspspdBfdBfff (2)求阶数N和：11110.1110.1110.10.01()()1016553101(6553)9.474.6,52.06(4)1011010.1526sppsaaachkNchkchNNch此过程可直接查表(3)求归一化系统函数Ha(p):5(5 1)11()0.1526 2()aiiHppp由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：2211()2.442(0.5389)(0.33311.1949)0.87200.6359aHpppppp (4)将Ha(p)去归一化，得到：/7261427141()()(1.0158 10)(6.2788 104.2459 10)11.6437 102.2595 10paap sHsHpsssss此过程也可直接查表完成小结：模拟滤波器设计的步骤),(cN 通带截止频率 、通带衰减pp阻带截止频率 、阻带衰减ssu确定滤波器的技术指标：u将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器),(cNu构造归一化低通原型滤波器的系统函数u反归一
