1、 第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动 切线长定理教学设计切线长定理教学设计 河南省三门峡市灵宝实验中学河南省三门峡市灵宝实验中学 贺艳贺艳 一、一、教材分析教材分析 切线长定理是在学生已学过切线的定义、切线的判定定理和切 线的性质定理的基础上提出的，它简单明了、广泛应用、可以推出较 多的结论，再次体现了圆的对称性.它又是今后证明线段相等、角相 等、弧相等、线段成比例的重要工具.因此，它在教材中起着承上启 下的重要作用. 一、一、 目标分析目标分析 1. 理解切线长定义. 2. 掌握切线长定理，并能灵活运用. 3. 了解内切圆、内心的概念，会作三
2、角形的内切圆. 4. 经历探索切线长定理的过程，发展探究意识，体会并实践“实验 几何-论证几何”的探究方法. 5. 通过体会定理的应用，培养学生分析、总结问题的习惯，提高学 生综合运用知识解决问题的能力. 6. 通过体验内切圆相关知识解决问题，体会数形结合的数学思想， 掌握方程思想解决几何问题的方法. 二、二、 学情分析学情分析 九年级学生已经具备了一定程度的观察能力和抽象思维能力， 也 能比较迅速地进入教学中构造的情境中来， 能通过合作学习达到更好 的效果，因此在知识生成过程中让学生通过小组合作学习大胆猜想、 积极验证、逻辑推理发展学生的探究意识，并且在探究过程中获取知 识获得自信. 九年级
3、学生也有一定语言概括能力， 但概括起来还不够细致准确. 因此在应用定理时，多让学生说明理由、讲解思路，不断培养学生分 析、总结问题的能力，同时提高学生综合运用知识解决问题的能力， 并让学生从中体验成功的快乐. 三、三、 教学重、难点教学重、难点 重点: 探索切线长定理. 难点：利用切线长定理解决问题. 四、 教法、学法分析 本节课以“观察-猜想-证明-剖析-应用-归纳”为主线，以 一个基本图形为起点，教师启发引导学生通过动手画、动眼看、动口 说、动脑想、动笔做等活动，引领学生认知、运用、发展、实践切线 长定理. 五、五、 教学过程设计教学过程设计 教学环节教学环节 师生活动师生活动 学生活动学
4、生活动 设计意图设计意图 创设情境创设情境 导入新课导入新课 导入语导入语： 古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切立体图形中最美的是球，一切平 面图形中最美的是圆.”大家也这样认 为吗？老师就特别喜欢圆形的物体， “圆”总给人美满、和谐的感觉.从数学 的角度看，圆具有独特的对称美，因此， 也被广泛应用于生活中，请大家欣赏一 组图片，你能从图中抽象出什么几何图 形？ 这是生活中一条直线与圆相切的情 形，那么两条直线与圆相切又是怎样的 情形呢？一起进入今天的学习切线长 定理. 从图片中抽象 出生活中直线 与圆相切的情 形 学生通过 观察图片 发现生活 中处处有 数学，体 会数学来 源于生活 又服务
5、于 生活，感 受学习数 学 的 价 值 。 活动一：活动一： 绘制图形绘制图形 画一画：两条直线与圆相切画一画：两条直线与圆相切 问：两条直线与圆相切有几种情况？ 学生动手画图 并展示图形： 画 一 画 的 设 置 学习概念学习概念 教师引导学生看图： 师引导学生观察图形并给出切线长定 义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切 点之间线段的长，叫做这点到圆的切线 长. 追问追问 1 1： 图中表示点： 图中表示点P P到到O O的切线长是的切线长是 哪条线段的长？过圆外一点可作圆的几哪条线段的长？过圆外一点可作圆的几 条切线？条切线？ 追追问问 2 2：切：切线与切线长有什么区别？线与切线长有
6、什么区别？ 这个图形就是本节课要探究的基本图 形，望着大家可爱的笑脸，老师突然发 现这个图形特别像一个人双手托腮的动 作，两条切线就像张开的双手，美丽的 圆像不像大家灿烂的笑脸？大家也做一 做这个动作. 出示测一测测一测 1 1： 1.如图,直线PE、 EF 分别切O于A、 D， 直线PF 交O于B、C,图中表示点P到 O 的切线长是 的长. A、线段PA 的长 B、线段PB 的长 C、线段PC 的长 D、线段PF 的长 进而得到：两 条直线与圆相 切 有 两 种 情 况 :(1) 两 条 切 线 平 行 .(2) 两 条切线交于圆 外一点. 学生回答： 点 P 到圆 O 的切线 长是： 线段
7、PA、 PB的长，过圆 外一点可作圆 的 2 条切线. 学生回答：切 线是直线，不 可以度量。切 线长是切线上 一条线段的 长， 可以度量. 学生口答问题 并说明原因。 以 开 放 的形式， 为 学 生 创 造 广 泛 的 思 考空间， 同 时 赋 予 学 生 充 分 的 思 考 时 间， 接着 展 示 图 形， 对比 图形， 激 发 了 学 生 的 学 习兴趣， 这样， 不 仅 增 强 了 学 生 的 直 观 体验， 更 易 于 学 生 发 现 切 线 与 切 线 长 的区别， 为 课 堂 自 由 生 成 切 线 长 的 概 念 做 好 了铺垫。 通过画出 图形、展 示作法、 辨认切线 长、
8、形象 比喻等活 动帮助学 生直观理 解切线长 定义，牢 图中表示点E 到O的切线长是线段 的长, 图中表示点F 到O的切线长是线段 的长. 记基本图 形 的 形 状。 通过测一 测，了解 学生对概 念的掌握 情况，为 学习切线 长定理打 好基础。 活动二：活动二： 观察图形观察图形 探究定理探究定理 问题：问题：PAPA、PBPB切切O O于于A A、B B两点，根据两点，根据 圆的对称性，你觉得两切线长圆的对称性，你觉得两切线长PAPA、PBPB 有什么关系？连接有什么关系？连接POPO，APOAPO 与与 BPOBPO又有什么关又有什么关系呢？系呢？ 教师提问：这个基本图形是轴对称图形教师
9、提问：这个基本图形是轴对称图形 吗？两切线长有什么数量关系？吗？两切线长有什么数量关系？引导学 生通过观察图形猜想两切线长的数量关 系、圆外一点和圆心的连线与两切线夹 角的关系.学生猜想后， 教师追问：你有什么方法能验证猜想？教师追问：你有什么方法能验证猜想？ 学生小组交流后， 教师引导学生通过折 叠、 度量的方法验证猜想PA=PB， APO BPO。 教师也利用几何画板软件的度量 功能进行演示. 度量线段PA和PB的 长度度量APO和BPO的度数.引导 学生发现，在演示过程中，不管点 P 处 于圆外的哪个位置，线段PA和PB的长 度始终保持不变. APO和BPO的度 数也保持不变. 教师再次
10、追问：还有别的方法证明教师再次追问：还有别的方法证明PAPA PBPB，APOAPOBPOBPO吗？吗？继续引导学生通 过严谨的几何证明方法证得PAPB， APOBPO. 学生猜想PA、 PB的关系. APO与BPO 的关系. 在教师引导下 学 生 用 折 一 折、量一量、 证一证不同方 法验证猜想、 证明猜想. 此环节让 学生经历 观察、猜 想、 验证、 最后证明 切线长定 理，使学 生的直观 操作与逻 辑推理有 机整合到 一起，进 一步明晰 定理。让 学生在探 究过程中 体验数学 活动充满 着探索性 和 创 造 性，感受 证明的必 要性，证 明过程的 严谨性以 及结论的 确定性。 发展学生
11、 探究意识 并 实 践 “实验几 何 - 论 出示定理：出示定理：从圆外一点可以引圆的两条 切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角. 接着教师又追问：接着教师又追问：这个命题的题设和结 论是分别什么？ 让学生再次叙述定理的证明过程感受几 何证明的严谨性. 最后强调切线长定理的作用：可以证明 线段相等、角相等. 测一测测一测 2 2： 如图，PA、PB 切O于A、B 两点， APB =50 0，连接 PO,则 APO = .连接OA、OB，则 AOB = . 链接生活：链接生活： 1.出示生活中两条直线与圆相切的情形 2.展示学生小制作:圆的半径测量仪. 引导学生说出这个
12、小制作的制作原理. 学生回答：题 设：PA、PB 分 别切O 于A、 B 两点 结论：PA=PB， APO =BPO 证明过程：证明过程： 连接OA 和OB. PA 和PB 是O 的两条 切线， OAAP， OBBP. 又 OA=OB， OP=OP. RtAOP RtBOP. PA=PB, APO=BPO. 1.观察图片 2.思考小制作 的制作原理并 说明理由: PA、 PB是 的切线，连 接A、B， OAPA，OB PB， APB=90 0 四边形 APBO 为矩形 又PA=PB APBO 为正方 形 PO=OB， 即切 线长就是圆的 半径长. 证几何” 的探究方 法. 测一测 2 的第一问
13、 考察学生 对定理的 掌 握 情 况。同时 让学生明 白应用切 线长定理 可以求角 的度数。 观察生活 中两条切 线与圆相 切的情形 和“学生 小制作” 再次让学 生感受数 学来源于 生活又服 务 于 生 活，鼓励 学生将数 学知识应 用于生活 中去. 活动三：活动三： 变化图形变化图形 拓展定理拓展定理 在几何学习过程中，我们常通过添加辅 助线使我们的解题思路达到柳暗花明的 效果. 教师提问：那么在这个基本图形中，可教师提问：那么在这个基本图形中，可 以添加哪些线段帮助我们更好地应用定以添加哪些线段帮助我们更好地应用定 理解决问题呢理解决问题呢? ? 学生观察图形 后回答：连接 圆外一点和圆
14、 心，连接圆心 和切点，连接 两切点. 此活动通 过变化图 形，引导 学生发现 在利用切 线长定理 教师几何画板演示：（1）连接OA、OB、 PO可以得到哪些特殊的三角形呢？（2） 连接OA、OB、AB呢？（3）连接PO、AB 呢？你又发现全等的三角形了吗？你能 证明吗？ 追问：通过证明三角形全等，你发现追问：通过证明三角形全等，你发现P PO O 与与ABAB有什么关系吗？还有其他方法证有什么关系吗？还有其他方法证 明吗？明吗？ 教师引导学生归纳整理得到的结论：图 中直角三角形有 6 个 等腰三角形有 2 个 全等三角形有 3 对 PO与AB的关系是 PO垂直平分AB . 在利用切线长定理解
15、决问题时，通常连 接以下辅助线： （1）连接圆外一点和圆心. （2）连接圆心和切点. （3）连接两切点. 学生证明三角 形全等. 学生思考后回 答：可用等腰 三角形三线合 一的性质证明 PO 垂直平分 AB.也可用线 段垂直平分线 的 判 定 证 明 PO 垂直平分 AB. 解决问题 时可通过 添加适当 的辅助线 更好地解 决问题， 进一步对 定理进行 了拓展、 深化 .让 学生再次 经 历 发 现、猜想 证明、归 纳总结的 过程，并 从中获得 知识、技 能, 并能 结合图形 发展逻辑 思维能力 体会数形 结合的数 学思想. 活动四：活动四： 辨识图形辨识图形 解决问题解决问题 引导学生观察基
16、本图形是两条直线与圆 相切，若再作一条直线与圆相切，你有 什么发现呢？图中又有几个基本图形 呢？ 出示例题：例题：如图，ABC 的三边 BC、CA、 AB 与O 分别相切于点 D、 E、 F， 且 AB=9， BC=14,CA=13,求 AF、BD、CE 的长 学生观察图形 回答问题：三 条直线与圆相 切有三个基本 图形. 思考后一名学 生讲解思路. 例题是对 本节知识 的延伸， 让学生发 现利用切 线长定理 解决问题 的根本是 找基本图 形，让学 生再次体 会数形结 合的数学 思想，并 能自己发 现用方程 思想解决 . 师生活动：师生活动：师生共同分析已知条件、引 导学生思考欲求 AF、BD
17、、CE 的长，首先 要找出三个基本图形，教师指名一位同 学到白板前在图中找出三个基本图形， 并讲解解题思路： 解：设AF =x,则AE =x, CD =CE =AC-AE =13-x, BD =BF =AB-AF =9-x. 由BD +CD =BC，可得 （13-x）+（9-x）=14 解得 x=4 因此 AF =4,BD =5,CE =9. 教师追问：教师追问：设BF或CD为x可以吗？还 有其方法吗？ 教师继续引导学生观察图形，如将这条 直线平移至圆的左侧与圆相切，你还会 解答吗？ 问题问题: :如图，线段AB、CE、CD分别与O 相切于点F、E、D，已知线段CD的长等 于 8，求ABC的周
18、长. 教师引导学生观察例题的图形，三角形 的三边与圆什么关系？得出内切圆定 义。 出示内切圆定义出示内切圆定义：与三角形各边都相切 的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 教师引导学生通过小组交流得出：内心教师引导学生通过小组交流得出：内心 一名学生讲解 思路. 再请一名同学 讲解思路 学生独立完成. 请一名学生到 讲台前讲解思 路. 学 生 小 组 合 作，共同探讨 交流得出内心 性质 几何问题 记忆更加 深刻。并 通过讲一 讲、试一 试培养学 生口头表 达能力、 推理能力 和动手操 作能力. 这样引出 内切圆、 内心概念 自 然 流 畅、降低 了难度， 再利用内 切圆知识
19、 到三角形三边的距离相等到三角形三边的距离相等. .内心是三角内心是三角 形三条角平分线的交点形三条角平分线的交点. . 教师继续引导学生利用所学知识解决实 际问题. 试一试：试一试：在一张三角形的卡纸上，剪裁 出一个圆形教具，如何剪裁出一个最大 的圆 ？ 测一测测一测 3 3： 1.如图，PA、PB为O的切线，A、B为 切点.有以下结论： （1）PA=PB （2）APO=BPO （3）AOP=BOP （4）AB垂直平分OP （5）AB被OP垂 直平分，其中正确的结论（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 2.如图， ABC中， ABC=50 0 ， ACB=70 0，点 O是
20、ABC的内心，则 BOC= . 学生完成作图 学生独立完成 解决实际 问题更符 合学生的 认 知 规 律. 通过测一 测 3，了 解学生对 本节知识 的掌握情 况。 活动五：活动五： 回忆图形回忆图形 畅谈收获畅谈收获 师生活动：师生活动：教师引导学生对照图形对本 节课所学内容从以下方面进行总结归 纳： 你收获了哪些数学知识？ 你收获了哪些数学思想和方法？ 培养学生 归纳概括 能力，把 知识纳入 系统，便 于学生存 储 和 应 用. 进一 步明确本 结束语：结束语： 大家收获真多，学习知识很重要， 但善于总结、善于归纳、也是我们在学 习中必须要养成的良好的学习习惯。前 三个图形都只是两条直线与
21、圆相切，都 包含一个基本图形；后两个图分别是三 条直线与圆相切的两种不同情况，都包 含了三个基本图形. 在几何学习过程中，无论图形怎样 复杂多变，但万变不离其宗，找基本图 形是解决问题的根本.再来回看切线长 定理的基本图形，一起做做这个动作， 老师多希望这双手是我的，而我托起的 就是未来实现梦想的你，同学们加油！ 节课的数 学知识、 数学思想 解决问题 的方法. 布置作布置作业业 课外延伸课外延伸 书面作业：课本 102 页 11 题. 课外作业：探索四条直线与圆相切. 在课堂探 索 结 束 后，鼓励 学生继续 进行课外 探索，做 到“课虽 尽，思不 止”. 六、六、 目标检测设计目标检测设计
22、 测一测测一测 1 1： 1.如图,直线PE、EF 分别切O于A、D，直线PF 交O于B、C,图中 表示点P到O 的切线长是 的长. A、线段PA 的长B、线段PB 的长C、线段PC 的长 D、线段PF 的长 图中表示点E 到O的切线长是线段 的长, 图中表示点F 到O的切线长是线段 的长. 设计意图：考查学生是否理解切线长定义，能否辨认切线长设计意图：考查学生是否理解切线长定义，能否辨认切线长. . 测一测测一测 2 2： 如图，PA、PB 切O于A、B 两点，APB =50 0，连接 PO,则 APO = .连接OA、OB，则 AOB = . 设计意图设计意图: :考查学生能否利用切线长定
23、理解决简单问题考查学生能否利用切线长定理解决简单问题. . 测一测测一测 3 3： 1.如图，PA、PB为O的切线，A、B为切点.有以下结论： （1）PA=PB （2）APO=BPO （3）AOP=BOP （4）AB垂直平分OP （5）AB被OP垂直平分， 其中正确的结论 （ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 设计意图：考查学生对切线长定理推出的结论是否掌握设计意图：考查学生对切线长定理推出的结论是否掌握. . 2.如图， ABC中， ABC=50 0 ，ACB=700，点 O是ABC的内心， 则BOC= . 设计意图：考查学生能否用内切圆有关知识解决问题设计意图：考查学生能否用内切圆有关知识解决问题. .
